近世代数模拟题

近世代数1一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、 设A=B=R（实数集），如果A到B的映射屮：x-x+2,vx^R，则甲是从A到B的（）A、满射而非单射 B、单射而非满射C、一一映射 D、既非单射也非满射2、 设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（）个元素。A、2 B、5C、7 D、103、 在群G中方程ax=b，ya=b，a,b^G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一 B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、 当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。5、 n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。TOC\o"1-5"\h\z1、设集合A=丄 B=则有BxA二 。2、 若有元素e^R使每a^A,都有ae=ea=a，则e称为环R的 。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个 。4、偶数环是 的子环。5、一个集合A的若干个一变换的乘法作成的群叫做A的一个 。6、每一个有限群都有与一个置换群 。7、 全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a的逆元是 。8、设I和S是环R的理想且1匸S匸R，如果I是R的最大理想，那么 。9、一个除环的中心是一个 。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换b和1、设置换b和T分别为：b12345678,T641735281234567823187654，判断①和T的奇偶性，并把b和T写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合Mm二｛0,1,2,……M 1），定义Mm中运算“+m"为a+mb=（a+b）（modm）,则（Mm，+m）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设G是群。证明：如果对任意的xeG，有x2二e，则G是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、A、设G1、A、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（{a}是子群。2、下面的代数系统2、下面的代数系统（G,*）中，（A、G为整数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法）不是群B、 G为偶数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设b1、b2、Q3是三个置换，其中b1=(12)(23)(13),b2=(24)(14),C3=(1324),则b3=(A、b2A、b21B、bb12C、D、b2b15、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。A、不可能是群 B、不一定是群C、一定是群 D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。2、一个有单位元的无零因子 称为整环。3、 已知群G中的元素a的阶等于50,则a4的阶等于 4、 a的阶若是一个有限整数n那么G与 同构。TOC\o"1-5"\h\z5、A二{1.2.3}B={2.5.6}那么AGB二 。6、若映射p既是单射又是满射，则称p为 。7、 。叫做域F的一个代数元，如果存在F的——“，《，…,an使得a+a+a•…+adn=00 1 n 。8、 a是代数系统（A,0）的元素，对任何xeA均成立x。a=x，则称a为 。9、 有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、 。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是 。三、 解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、 设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,（12）}，写出H的所有陪集。2、 设E是所有偶数做成的集合，“•”是数的乘法，则“•”是E中的运算，（E,•）是一个代数系统，问（E,•）是不是群，为什么？3、 a=493,b=391,求（a,b）,[a,b]和p,q。四、 证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、 若＜G，*＞是群，则对于任意的a、b^G，必有惟一的x^G使得a*x=b。2、 设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系:ab当且仅当m丨a-b。近世代数3一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。TOC\o"1-5"\h\z1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。A、2阶 B、3阶 C、4阶 D、6阶2、 设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个 C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。A、偶数B、奇数 C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N,<) B、(Z,>)C、({2,3,4,6,12},|(整除关系)) D、(P(A),匸)5、 设S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有()A、(1),(123),(132) B、12),(13),(23)C、(1),(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。TOC\o"1-5"\h\z1、群的单位元是 的,每个元素的逆元素是 的。2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则八f(a)L 。3、区间［1,2］上的运算ab={mina,b}的单位元是 。4、可换群G中|a|=6,|x|二8,则|ax|二 。5、环Z的零因子有 。86、一个子群H的右、左陪集的个数 。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的 。8、 无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 。9、 设群G中元素a的阶为m,如果a=e,那么m与n存在整除关系为 三、 解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、 用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链？2、 S,S是A的子环，则Sns也是子环。S+S也是子环吗？1212123、 设有置换。二（1345）（1245），二二（234）（456）eS6o求m和TTQ；确定置换m和ttQ的奇偶性。四、 证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-i的充分必要条件是aba二a和ab2a=eo一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有()个元素。A.2B.5C.7D.102•设A=B=R(实数集)，如果A到B的映射屮：x—x+2,VxWR,贝W是从A到B的()满射而非单射 B.单射而非满射C.一一映射 D.既非单射也非满射3•设S3={(1),(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有()TOC\o"1-5"\h\zA.(1)， (123)，(132) B.(12)， (13)， (23)C.(1)，(123) D.S3中的所有元素4•设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有( )个。A.2 B.4C.6 D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是( )整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“。”：Vm，nWZ,m。n=0整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“。”：Vm，nWZ,mon=1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6•设“〜”是集合A的一个关系，如果“〜”满足 ，则称“〜”是A的一个等价关系。7.设(G,・)是一个群，那么，对于Va,b^G，则ab^G也是G中的可逆元，而且(ab)T=8•设O=(23)(35),T=(1243)(235)£S5，那么ot= (表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于Va^G，则元素a的阶只可能是在3次对称群S3中，设H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的TOC\o"1-5"\h\z元素(12)H= 。设Z6={ [0], [1], [2], [3], [4], [5] }是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是 。12•设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是 。13.设Z[x]是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)= 14•设高斯整数环Z[i]={a+bila,bWZ},其中i2=—1,则Z[i]中的所有单位是 15.有理数域Q上的代数元J2+73在Q上的极小多项式是 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)16•设Z为整数加群，Z为以m为模的剩余类加群，屮是Z到Z的一个映射，其中m 1 m屮：kf[k],Vk^Z,验证：屮是Z到Zm的一个同态满射，并求屮的同态核Ker屮。求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环，并说明这些子环都是Z/勺理想。6试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题(本大题共3小