对角因子循环矩阵

对角因子循环矩阵

1对角矩阵的组成循环矩阵广泛应用于许多应用（见文）。在本文中，j.l.studurt和j.r.war研究了角因子循环矩阵。当然，角因子循环矩阵是因子循环矩阵的推广。矩阵是一种特殊的扭转矩阵，而矩阵矩阵通常不是矩阵。然而，任何toeplitz矩阵可以表示为角矩阵的直和。在这项工作中，我们在基础上讨论了角矩阵的矩阵。首先，给出角矩阵的谱分解，然后，讨论角矩阵的广义逆。最后，作为应用的一个小方程，它被称为一个解决方案。为了方便起见,先列出一些概念及性质.设Mn为复数域上所有n阶方阵组成的集合,P为n阶基本循环矩阵,即Ρ=(010⋯0001⋯0⋯⋯⋯⋯⋯000⋯1100⋯0)A为n阶非奇异对角矩阵,记为A=D(a1,a2,…,an).记R=AP.我们称R为基本对角因子循环矩阵.对于Mn中的矩阵M,如果MR=RM,那么称M为对角因子循环矩阵,简称为DA-循环阵.如果A=D(1,1,…,1,k),那么DA-循环阵就是k-因子循环矩阵.用DCAn表示Mn中的所有DA-循环阵组成的集合.根据文中的定理8.3有:M∈DCAn当且仅当M=m1I+m2d-11R+…+mnd-1n-1Rn-1,(1.1)其中I为n阶单位矩阵,di=a1a2…ai(i=1,2,…,n-1).(m1,m2,…,mn)正好是M的第一行.此时记M=DCA(m1,m2,…,mn).(1.2)设w=e2πi/n是n次本原单位根,F表示n阶Fourier矩阵即F=(Fij),Fij=1√nw(i-1)(j-1)(1≤i,j≤n).记T=D(1,d-11k,…,d-1n-1kn-1).其中k=n√a1a2⋯an.(Τ是文中矩阵Δ的改进).再记FA=TF,那么FA=1√nD(1,d-11,⋯,d-1n-1)V(k,kw,⋯,kwn-1),(1.3)其中V(v1,v2,…,vn)表示关于v1,v2,…,vn的Vandermonde矩阵.于是,对任意M∈DCAn,有M=FAfM(DA)F-1A(1.4)其中DA=D(k,wk,…,wn-1k),fM(x)=m1+m2d-11x+…+mnd-1n-1xn-1为M的表示多项式,那么,M的谱为ρ(Μ)={fΜ(k),fΜ(kw),⋯,fΜ(kwn-1)}.(1.5)又M∈DCAn当且仅当F-1AMFA为对角矩阵.2ban-11113.2.3设w是n次本原单位根.对于1≤j≤n,令x(j)n=(1wj-1w2(j-1)…w(n-1)(j-1))T,(2.1)那么F=1√n(x(1)nx(2)n⋯x(n)n)‚设M=DCA(m1,m2,…,mn)∈DCnA.那么M=TFfm(DA)F*T-1.(2.4)对于1≤j≤n,令y(j)n=Tx(j)n=(1,wj-1d-11k,w2(j-1)d-12k2,…,w(n-1)(j-1)d-1n-1kn-1)T,(2.5)Z(j)n=T-1x(j)n=(1,wj-1d1k-1,…,w(n-1)(j-1)dn-1k1-n)T,(2.6)那么,Μ=∑j=1nn-1fΜ(wj-1k)yn(j)(Ζnn-j+2)Τ,(2.7)其中Z(n+1)n=Zn(1).令Ωj=D(0,⋯‚0‚1(j+1),0,⋯,0),BjA=n-1yn(j+1)(Ζnn-j+1)Τ,j=0,1,⋯,n-1.那么BjA=FAΩjF-1A,j=0,1,…,n-1.(2.8)于是BA={B0A,B1A,…,BAn-1}组成DCnA中谱矩阵基.即,∑j=0n-1BjA=Ι,(2.9)BAjBlA=δjlBjA,j,l=0,1,…,n-1.(2.10)此外,如果A是酉矩阵,那么B0A,B1A,…,BAn-1均是Hermitian矩阵.根据上述讨论可得如下谱分解定理.定理2.1设M=DCA(m1,m2,…,mn),那么M可表示为Μ=fΜ(R)=∑t=0n-1mt+1dt-1Rt=FAfΜ(DA)FA-1=∑j=0n-1n-1fΜ(wjk)yn(j+1)(Ζn(n-j+1))Τ=∑j=0n-1fΜ(wjk)BjA=∑j=0n-1CjBjA(2.11)其中d0=1,Cj=∑t=0n-1(wjk)tmt+1dt-1j=0,1,2,⋯,n-1,(2.12)mt+1=n-1∑j=0n-1(wjk)-tCjdtt=0,1,2,⋯,n-1.(2.13)证明只须证明(2.13).因为R=FADAFA-1=∑j=0n-1kwjBjA,(2.14)那么,由(2.10)知Rt=∑j=0n-1(kwj)tBjA‚t=0,1,2,⋯,n-1.(2.15)对任意0≤i≤n-1,用(wik)-t乘(2.15)得的每一式,然后相加得∑t=0n-1Rt(wjk)-t=∑t=0n-1∑j=0n-1(wj-i)tBjA=∑j=0n-1(∑t=0n-1(wj-i)t)BjA=nBiA.那么BiA=n-1∑t=0n-1Rt(wjk)-t,i=0,1,2,⋯,n-1.(2.16)于是∑t=0n-1mt+1dt-1Rt=∑j=0n-1CjBjA=∑j=0n-1Cj(n-1∑t=0n-1(wjk)-tRt)=∑t=0n-1(n-1∑j=0n-1(wjk)-tCj)Rt.那么mt+1=n-1∑j=0n-1(wjk)-tCjdt.推论2.2设g(z)是在ρ(R)的邻域内解析的函数,如果M∈DCnA,那么g(Μ)=∑t=0n-1gt+1dt-1RΤ(2.17)其中gt+1=n-1∑j=0n-1(kwj)-tg(∑s=0n-1(kwj)sms+1ds-1)dt,t=0,1,⋯,n-1.因此g(M)∈DCnA.证明g(Μ)=FAg(fΜ(DA))FA-1=∑j=0n-1g(fΜ(wjk))BAj=∑j=0n-1g(Cj)BAj.因为对任意非负整数tΜt=∑j=0n-1CjtBjA,那么g(Μ)=∑j=0n-1g(Cj)BjA=∑j=0n-1n-1∑t=0n-1(wjk)-tRtg(∑s=0n-1(kwj)sms+1ds-1)=∑t=0n-1[n-1∑j=0n-1(wjk)-tg(∑s=0n-1(kwj)sms+1ds-1)]Rt,所以gt+1=n-1∑j=0n-1(wjk)-5g(∑s=0n-1(kwj)sms+1ds-1)dt,t=0,1,⋯,n-1.3u3000a型的存根据文,对于M∈DCnA,如果M的谱为ρ(M)={λ1,λ2,…,λn},那么M的谱逆为:Mρ=FAD(τ1,τ2,…,τn)F-1A,(3.1)其中τj={0λj=01λjλj≠0j=1,2,⋯,n.此时,M的谱逆Mρ即为M的群逆M#.具体写出即有:定理3.1设M=DCA(m1,m2,…,mn).那么M#∈DCnA.如果记M#=DCA(u1,u2,…,un).那么ui+1=1n∑j=0n-1τjdj(kwj)-j‚i=0,1,2,⋯,n-1(3.2)其中k=dnn,d0=1,di=a1a2⋯ai,i=1,2,⋯n.对于k-因子循环矩阵M,M的Moore-Penrose逆不一定是k-因子循环矩阵(参见文),因此,对于M∈DCnA,当然,不一定有M+∈DCnA.如果M可逆,易知M-1∈DCnA.对于奇异的M,M+∈DCnA的充要条件是什么,这是我们下面要讨论的问题.为此,先给出几个引理.引理3.2设M∈DCnA,如果AA*=aI,a为正实数,那么,M+∈DCnA.证明由AA*=aI知,T=D(1,d-11k,…,d-1n-1kn-1)为酉矩阵,那么FA=TF也是酉矩阵.由M=FAfM(DA)F*知M+=FAfM(DA)+F*.而fM(DA)+为对角阵,那么M+∈DCnA.引理3.3设M∈DCnA,那么M*∈DCnB,其中B=(A*)-1.证明由MR=RM知R*M*=M*R*,即P*A*M*=M*P*A*.于是(A*)-1PM*=M*(PA*)-1.所以M*∈DCnB.引理3.4设A=D(a1,a2,…,an),B=D(b1,b2,…,bn)均为非奇异对角矩阵.M=DCnA(m1,m2,…,mn)=DCnB(m1,m2,…,mn).记QM是{1,2,…,n-1}中使mi+1≠0的所有i所组成的集合.令QM={i1,i2,…,it},设r是i1,i2,…,it,n的最大公约数,那么B=D(K,K,…,K)A,(3.3)其中K=D(b1/a1,b2/a2,…,br/ar)为r阶对角矩阵.证明根据M的结构,直接验证.引理3.5设M是DCnA中的奇异,E=M*(M*)#,QE={i1,i2,…,it},r=(ii,i2,…,it,n).如果M+∈DCnB(对某个非奇异对角矩阵B),那么B=D(K,K,…,K)(A*)-1(3.4)其中Κ=D(a¯1b1,a¯2b2,⋯,a¯rbr).证明由引理3.3知,M*∈DCnJ,其中J=(A*)-1,由于M的指数为1,那么M*的指数也为1,设H是包含M*的Mn的极大子群,那么E是H的单位元.由于(M*)#∈DCnJ∩H,那么E=M*(M*)#∈DCnJ,而M+∈H,M+∈DCnB.那么(M+)#∈DCnB∩H.于是E=(M+)(M+)#∈DCnB.因此由引理3.4知(3.4)式成立.下面的定理是文中定理3的推广.定理3.6设M是DCnA中的奇异矩阵.E为引理3.5中的,如果(i1,i2,…,it,n)=1(其中QE={i1,i2,…,it}),那么M+∈DCnA当且仅当AA*=aI(a为正实数).证明如果M+∈DCnA,那么由引理3.5知A=D(a,a,…,a)(A*)-1其中a=a¯1a1.那么AA*=aI.反之,如果AA*=aI,那么,由引理3.2知M+∈DCnA.定理3.6中的条件“AA*=aI”等价于条件“R是正规矩阵”.事实上由于A为对角矩阵,那么AA*=A*A,因此RR*=R*R等价于A*A为循环矩阵.所以RR*=R*R等价于A*A=aI.因此,根据文中定理1,可知定理3.7设M∈DCnA,如果AA*=aI,那么M+=M#=Mρ.下面的定理是文中定理5的推广,给出了M+的表达式.定理3.8设M∈DCnA,记Q是{1,2,…,n}中使M的特征值λi=0的i所组成的集合.如果AA*=aI,那么M+=(M+K)-1-K(3.5)其中Κ=∑i∈QΚi而Κi=1nDCA(1,d1w-i+1k,d2(w-i+1k)2,⋯,dn-1(w-i+1k)n-1).证明由定理2.1知F-1AKFA=D(γ1,γ2,…,γn)其中γi={1i∈Q0i∉Q由于FA为酉矩阵.根据文中定理1知,M+=(M+K)-1-K.4微向量函数中ue,u1,x,1.我们考虑线性微分算子L=detDCA(∂∂x0,⋯,∂∂xn-1).(4.1)此微分算子的实际意义参见文.根据(1.4)有DCA(∂∂x0,⋯,∂∂xn-1)=FA(∑j=0n-1∂∂xjdj-1DAj)FA-1.于是L=det(∑j=0n-1∂∂xjdj-1DAj)=∏t=0n-1(∑j=0n-1dj-1Κjwtj∂∂xj).(4.2)我们定义对角因子离散Fourier变换以及逆变换分别为:z=1nFA-1x,x=nFAz,(4.3)其中z=(z0,z1,…,zn-1)T,x=(x0,x1,…,xn-1)T.那么按分量写出即为zt=1n∑j=0n-1dj(kwt)-jxjxt=∑j=0n-1dj-1(kwt)jzjt=0,1,2,⋯,n-1.(4.4)对于可微向量函数u=(u0(x),u1(x),…,un-1(x))根据链式法则,有:dudz=dudxnFAdudx=1ndudzFA-1,(4.5)其中导数表示Jacobi矩阵,即dudx=(∂ui∂xj).由(4.5)可得∂∂zt=∑j=0n-1dj-1(kwt)j∂∂xj∂∂xt=1n∑j=0n-1dj(kwt)-j∂∂zjt=0,1,⋯,n-1,(4.6)把(4.6)用矩阵形式写出为∂∂z=n(FA)Τ∂∂x∂∂x=1n(FA-1)Τ∂∂z(4.7)其中∂∂z=(∂∂z0,⋯,∂∂zn-1)Τ,∂∂x类似.那么,通过变换z=1nFA-1x,算子L可化为标准形式:L(u)=(∏t=0n-1∂∂zt)(u)(4.8)其中L(u)=(L(u0),L(u1),…,L(un-1))T.u=(u0,u1,…,un-1).于是,我们可证得下面的定理定理4.1设u0,u1,…,un-1是关于n-维复变向量x=(x0,x1,…,xn-1)的复变整函数.如果u0,u1,…,un-1关于x0