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文档简介

实验一投入产出平衡——矩阵和线性方程组一、国民经济投入产出综合平衡设有n个经济部门，xi为部门i的总产出，cij为部门j单位产品对部门i产品的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为部门j新创造的价值。那么各经济部门总产出应满足下列关系式：消耗平衡方程组j=1,2,…,n令C=（cij），X=(x1,…,xn)',D=(d1,…,dn)’，F=(f1,…,fn)’则X=CX+D令A=E－C，E为单位矩阵，则AX=DC称为直接消耗矩阵，A称为列昂杰夫（Leontief）矩阵。分配平衡方程组i=1,2,…,nY=[1,1,…,1]BY表示各部门的总投入，称为投入向量。新创造价值向量F=X–Y'B=CB表示各部门间的投入产出关系，称为投入产出矩阵。二、数学理论复习：线性代数1、线性方程组记为Ax=b其中A=(aij)m×nx=

(x1,…,xn)’,b=

(b1,…,bm)’若秩(A)

秩(A,b)，则无解；若秩(A)=秩(A,b)=n,存在唯一解；若秩(A)=秩(A,b)<n,存在无穷多解；通解是齐次线性方程组Ax=0的基础解系与Ax=b的一个特解之和。对于线性方程组Ax=b：Ax=0称为齐次的线性方程组2、逆矩阵方阵A称为可逆的，如果存在方阵B，使AB=BA=E，记B=A-1方阵A可逆的充分必要条件:

A

0求逆矩阵方法：

A-1=A*/|A|这里A*为A的伴随矩阵（AE）行变换（EA-1）3、特征值与特征向量对于方阵A，若存在数

和非零向量x使Ax=

x，则称

为A的一个特征值，x为A的一个对应于特征值

的特征向量。特征值计算归结为:特征多项式|A-

E|=0的求根。对应于特征值

的特征向量是齐次线性方程组(A-

E)x=0的所有非零解三、使用MATLAB

det方阵的行列式diag对角阵inv方阵的逆cond方阵的条件数trace方阵的迹orth正交规范化rank矩阵的秩null求基础解系rref矩阵的行最简形eig特征值与特征向量jordan约当标准形分解norm矩阵或向量范数1、特殊矩阵生成zeros(m,n)生成m行n列的零矩阵;ones(m,n)生成m行n列的元素全为1的阵;eye(n)生成n阶单位矩阵;当A是矩阵,diag(A)返回A的对角线元素构成的向量;当X是向量,diag(X)返回由X的元素构成的对角矩阵；rand(m,n)生成m行n列[0,1]上均匀分布随机数矩阵；linspace(x1,x2,n)生成x1与x2间的n维等距行向量,即将[x1,x2]n-1等分。2、行列式和逆矩阵det(A)返回方阵A的行列式;inv(A)返回A的逆矩阵。3、矩阵除法左除法A\B求解矩阵方程AX=B右除法B/A求解矩阵方程XA=B(1)当A为方阵，A\B与inv(A)*B基本一致：

(2)当A不是方阵，除法将自动检测。若方程组无解,

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