二次函数的应用“十校联赛”一等奖

二次函数的应用

引例：如图，一边靠学校院墙，其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为S㎡。（1）写出S与x之间的函数关系式；ADCBS=x(12-2x)即S=-2x²+12x(2)S=-2x²+12x=-2(x-3)²+18x12-2xS（2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？如图，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。x1、设每个小矩形一边的长为xm,试用x表示小矩形的另一边的长。2.设四个小矩形的总面积为ym2,请写出用x表示y的函数表达式。3.你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗？4.你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗？xxxx由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方法：

（1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。

（2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值.

例1：用总长度为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD,AB平行。设AB=xm,当x为多少时，矩形框架ABCD的面积s最大?最大面积是多少平方米？

ABCD例2：已知AB=2,C是AB上的一点，四边形ACDE和CBFG都是正方形。设BC=x.ABCDEGF（1）AC=—————2-x2x（2）设正方形ACDE和正方形CBFG的总面积为S,用x表示S的函数表达式为S=_______（3）总面积S有最大值还是最小值？其值是多少？,（4）总面积S有最大值或最小值时，点C在AB的什么位置？2-x2x2-4x+4例3：一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元。产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件，如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？4、在⊙O的内接三角形ABC中，AB+AC=12，AD垂直于BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB为x。（1）求y与x的函数关系式；（2）当AB长等于多少时，⊙O的面积最大？最大面积是多少？·ODCBAE△ABD∽△AEC∟∟x12-x2y35、如图，在△ABC中∠B=90º，AB=12cm，BC=24cm，动点P从A开始沿AB边以2cm/s的速度向B运动，动点Q从B开始沿BC边以4cm/s的速度向C运动，如果P、Q分别从A、B同时出发。（1）写出△PBQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）当t为何值时，△PBQ的面积S最大，最大值是多少？QPCBABP=12-2t，BQ=4t△PBQ的面积:S=1/2(12-2t)•4t即S=-4t²+24t=-4(t-3)²+36122412-2t2t4t6、如图，在ABCD边长为6cm的正方形中，点E、F、G、H分别按AB、BC、CD、DA的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动。四边形EFGH的面积S（cm2）随时间t（s）变化的解析式是______________ABCDEFGHt6-t6S=2t2-12t+36（0≤t≤6）ABCDEFGHK7、某社区为了美化环境，准备在一块矩形土地ABCD上修建一个矩形休闲广场EFCG。为了使文物保护区△AKH不被破坏，休闲广场的顶点E不能在文物保护区内。已知AB=50m,AD=40m,AK=15m,AH=10m.50154010（1）当点E是HK的中点时，休闲广场的面积是多少平方米？（2）当点E在HK上什么位置时，休闲广场的面积最大？最大面积是多少平方米？PQ7、如图，△ABC是一块铁皮余料。已知底边BC=160cm，高AD=120cm。在铁皮余料上截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E,F在BC上，AD交HG于点M。ABCEFGHDM（1）HG=ycm,HE=xcm,确定用x表示y的函数关系式160120yx（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?（3）以面积最大的矩形EFGH为侧面，围成一个无底圆桶，怎样围，圆桶的体积最大?请说明理由。（接缝处忽略不计，结果可保留π）(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？8、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.ABCD┐MN40m30mx40-x(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?(1).设矩形的一边BC=xm,那么AB边的长度如何表示？如图,在