保险精算学课件

保险精算南通大学理学院主讲教师：陆志峰保险精算学保险精算南通大学理学院保险精算学1教材指定教材王晓军等，保险精算原理与实务（第二版），中国人民大学出版社，2010。参考资料Kellison,S.G.，TheoryofInterest，2ndEdition,SOA，1991.Bowers,N.L，ActuarialMathematics，2ndEdition，SOA，1997.

保险精算学教材指定教材保险精算学2课程结构基础利息理论基础生命表基础核心保费计算责任准备金计算多重损失模型保单的现金价值与红利拓展特殊年金与保险寿险定价与负债评估偿付能力与监管保险精算学课程结构基础保险精算学3第一章导论保险精算学第一章导论保险精算学4精算科学(ActuarialScience)精算科学是以概率论与数理统计为基础的，与经济学、金融学及保险理论相结合的应用与交叉性的学科。在保险和社会保障领域，精算科学通过对风险事件及其损失的预先评价，实现科学的风险管理，为保险和社会保障事业的财务稳健发展提供基本保障。保险精算学精算科学(ActuarialScience)精算科学是以5保险精算学的基本原理(1)要素未来事件不确定性财务收支预先评估(2)模型和方法模型：各因素相互关系的数学公式方法：借助精算模型实现预先评估(3)精算假设对未来风险发生规律的假设在过去经验的基础上，根据对未来的判断预先做出保险精算学保险精算学的基本原理(1)要素保险精算学6基本精算原理-例按照收支对等原则如果1人投保1年期100,000元寿险，假设1年内死亡概率4.3%，在不考虑保险公司的费用、投资收益、利润的情况下：保费=期望损失=100,000×0.0043=430元（忽略利息）保险精算学基本精算原理-例按照收支对等原则保险精算学7精算师精算师被称为金融、保险、投资和风险管理的工程师通过对风险和损失的预先评价，对风险事件做出预先的财务安排，保证风险经营的财务稳健性。保险精算学精算师精算师被称为金融、保险、投资和风险管理的工程师保险精算8精算师的主要职业领域保险公司（寿险、非寿险、健康保险）养老金计划社会保障银行、投资、公司财务、金融工程法律法规教育保险精算学精算师的主要职业领域保险公司（寿险、非寿险、健康保险）保险精9精算管理控制系统环境因素（法律、社会、人口、税收等）风险分析产品设计定价监测和分析经验数据偿付能力评估资产负债管理资产评估利润分析负债评估保险精算学精算管理控制系统环境因素（法律、社会、人口、税收等）风险分析10怎样成为精算师考试制度：英国精算学会、北美寿险精算学、北美非寿险精算学会、美国养老金精算师学会、加拿大精算学会。教育认可制度：澳大利亚：初级课程认可，高级课程考试；德国、意大利、法国、瑞士、西班牙、荷兰、巴西、墨西哥等国家主要采取学历认可制度。国际精算协会的精算师后续教育制度保险精算学怎样成为精算师考试制度：英国精算学会、北美寿险精算学、北美非11精算职业发展1775年，英国的公平人寿社团最早将精算师引入保险领域。1848年，英国在世界上最早成立了精算学会1889年，美国精算学会1892年，法国精算学会1895年，国际精算协会2006年，中国精算师协会保险精算学精算职业发展1775年，英国的公平人寿社团最早将精算师引入保12第二章利息理论基础保险精算学第二章利息理论基础保险精算学13利息理论要点利息的度量利息问题求解的原则年金收益率分期偿还表与偿债基金保险精算学利息理论要点利息的度量保险精算学14第一节利息的度量保险精算学第一节利息的度量保险精算学15第一节汉英名词对照积累值现实值实质利率单利复利名义利率贴现率利息效力AccumulatedvaluePresentvalueEffectiveannualrateSimpleinterestCompoundinterestNominalinterestDiscountrateForceofinterest保险精算学第一节汉英名词对照积累值Accumulatedvalue保16

一、利息的定义定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

影响利息大小的三要素：本金利率时期长度保险精算学

一、利息的定义定义：保险精算学17二、利息的度量积累函数金额函数贴现函数第N期利息0t1------------------------------K-----------------------------------------------------------1保险精算学二、利息的度量积累函数0t1----------------18累积函数累积函数是单位本金的累计额，以表示。

其中，，。保险精算学累积函数累积函数是单位本金的累计额，以表示。保险19累积函数a(t)01ta(t)01ta(t)01t图2-1图2-2图2-3a(t)通常为t的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。保险精算学累积函数a(t)01ta(t)01ta(t)01t20利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率第N期实质利率期初计息——贴现率第N期实质贴现率保险精算学利息度量一——计息时刻不同期末计息——利率保险精算学21利息率利息率1年内1单位本金的利息就是实际年利息率

以表示第n个基本计息时间单位的实际利率保险精算学利息率利息率保险精算学22现值和贴现率保险精算学现值和贴现率保险精算学23现值和贴现率在复利下，保险精算学现值和贴现率在复利下，保险精算学24现值和贴现率在单利下，保险精算学现值和贴现率在单利下，保险精算学25现值和贴现率贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。

d表示一年的贴现率:dn表示第n年贴现率:保险精算学现值和贴现率贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间以26可见，d<i现值和贴现率保险精算学可见，d<i现值和贴现率保险精算学27现值和贴现率保险精算学现值和贴现率保险精算学28现值和贴现率保险精算学现值和贴现率保险精算学29例2.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求分别等于多少？保险精算学例2.1实质利率/贴现率某人存1000元进入银行，第1年末30例2.1答案

保险精算学例2.1答案保险精算学31利息度量二——积累方式不同线形积累单利单贴现指数积累复利复贴现保险精算学利息度量二——积累方式不同线形积累指数积累保险精算学32单利和复利单利：只在本金上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为:

第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有保险精算学单利和复利单利：只在本金上生息保险精算学33单利和复利复利：在本金和利息上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为:

第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有保险精算学单利和复利复利：在本金和利息上生息保险精算学34单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。保险精算学单复利计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利35例2.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？保险精算学例2.2某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单利计36例2.2答案

保险精算学例2.2答案保险精算学37利息的度量三——利息转换频率不同实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实质利率，记为。名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记

为这一年的名义利率，。利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为。实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名义利率类似。保险精算学利息的度量三——利息转换频率不同实质利率：以一年为一个利息转38实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11保险精算学实质利率与实质贴现率初始值利息积累值11保险精算学39名义利率与名义贴现率名义利率:一年结算多次的规定的年利率。以表示，m表示结算次数，

保险精算学名义利率与名义贴现率名义利率:一年结算多次的规定的年利率。保40名义利率名义利率11保险精算学名义利率名义利率11保险精算学41名义贴现率名义贴现率11保险精算学名义贴现率名义贴现率11保险精算学42名义利率与名义贴现率名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。以表示，m表示结算次数，

保险精算学名义利率与名义贴现率名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率43例2.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值。2、如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。保险精算学例2.31、确定500元以季度转换8%年利率投资5年的积累值44例2.3答案1、2、3、保险精算学例2.3答案1、保险精算学45利息力定义：瞬间时刻利率强度保险精算学利息力定义：瞬间时刻利率强度保险精算学46利息力利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。定义利息力δ为，故，保险精算学利息力利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。故，保险精算学47等价公式一般公式恒定利息效力场合保险精算学等价公式一般公式保险精算学48例2.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值1、2、保险精算学例2.4确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值保险精49例2.4答案保险精算学例2.4答案保险精算学50三、变利息什么是变利息？常见的变利息情况连续变化场合：函数利息力离散变化场合：保险精算学三、变利息什么是变利息？保险精算学51例2.51、如果，试确定1在n年末的积累值。2、如果实质利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔资金初始投资额应该为多少？保险精算学例2.51、如果，试确定1在n年末的积累52例2.5答案保险精算学例2.5答案保险精算学53第二节利息问题求解原则保险精算学第二节利息问题求解原则保险精算学54一、利息问题求解四要素原始投资本金投资时期长度利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效力本金在投资期末的积累值

保险精算学一、利息问题求解四要素原始投资本金保险精算学55二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程）原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。0现金流时间坐标保险精算学二、利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是56例2.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？保险精算学例2.6：求本金某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在57例2.6答案以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）保险精算学例2.6答案以第7年末为时间参照点，有保险精算学58例2.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？（2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实质利率=？保险精算学例2.7：求利率（1）某人现在投资4000元，3年后积累到559例2.7答案（1）（2）保险精算学例2.7答案（1）保险精算学60例2.8：求时间假定分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？保险精算学例2.8：求时间假定分别为12%、6%、2%，问61例2.8精确答案

保险精算学例2.8精确答案保险精算学62例2.9近似答案——ruleof72保险精算学例2.9近似答案——ruleof72保险精算学63例2.10：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？保险精算学例2.10：求积累值某人现在投资1000元，第3年末再投资64例2.10答案

保险精算学例2.10答案保险精算学65第三节年金保险精算学第三节年金保险精算学66第三节汉英名词对照年金支付期延付年金初付年金永继年金变额年金递增年金递减年金AnnuityPaymentperiodAnnuity-immediateAnnuity-dueperpetuityVaryingannuityIncreasingannuityDecreasingannuity保险精算学第三节汉英名词对照年金Annuity保险精算学67一、年金的定义与分类定义按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。分类基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金保险精算学一、年金的定义与分类定义保险精算学68年金年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。期首付年金期末付年金保险精算学年金年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式69二、基本年金基本年金等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定分类付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永继年金保险精算学二、基本年金基本年金保险精算学70年金年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。期首付年金期末付年金保险精算学年金年金：每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式71基本年金图示

0123-------nn+1n+2---111----100---111----1000---11----111----111----111----延付永继年金初付永继年金延付年金初付年金保险精算学基本年金图示0172基本年金公式推导保险精算学基本年金公式推导保险精算学73期首付年金现值==保险精算学期首付年金现值==保险精算学74期末付年金现值==保险精算学期末付年金现值==保险精算学75期首付年金终值保险精算学期首付年金终值保险精算学76期末付年金终值保险精算学期末付年金终值保险精算学77等额确定年金的终值和现值n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图保险精算学等额确定年金的终值和现值n年定期的每年1单位元期首付年金、期78一年多次收付的年金对于n

年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以表示，保险精算学一年多次收付的年金对于n年定期，每年收付m次，每次1/m79一年多次收付的年金对于n

年定期，每年收付m次，每次1/m

元的期末付年金现值以表示，保险精算学一年多次收付的年金对于n年定期，每年收付m次，每次1/m80一年多次收付的年金对于n

年定期，每年收付m次，每次1/m

元的期首付年金在n年末的终值为，保险精算学一年多次收付的年金对于n年定期，每年收付m次，每次1/m81一年多次收付的年金对于n

年定期，每年收付m次，每次1/m

元的期末付年金在n年末的终值为，保险精算学一年多次收付的年金对于n年定期，每年收付m次，每次1/m82永续年金定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的年金，相当于前面定期年金当时期n趋于无穷大时的值。每年一元期末付永续年金现值为，保险精算学永续年金定义：收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的83永续年金其他永续年金现值为：

保险精算学永续年金其他永续年金现值为：保险精算学84例2.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。保险精算学例2.11一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半85例2.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？保险精算学例2.12某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款386例2.12答案（1）（2）保险精算学例2.12答案（1）保险精算学87例2.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若

求这些付款的现时值。保险精算学例2.13假定现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随88例2.13答案方法一：方法二：保险精算学例2.13答案方法一：保险精算学89例2.14有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实质利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？保险精算学例2.14有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出590例2.15——永继年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。若此项财产的年实质利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？保险精算学例2.15——永继年金A留下一笔100000元的遗产。这笔财91例2.15答案保险精算学例2.15答案保险精算学92基本年金公式总结年金有限年金永继年金现时值积累值现时值延付初付

保险精算学基本年金公式总结有限年金永继年金现时值积累值现时值延付初付93未知时间问题年金问题四要素年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值）关注最后一次付款问题在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（droppayment）在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloonpayment）保险精算学未知时间问题年金问题四要素保险精算学94例2.16有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实质利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是：（1）在最后一次正规付款的日期支付。（2）在最后一次正规付款以后一年支付（3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）保险精算学例2.16有一笔1000元的投资用于每年年底付100元，时间95例2.16答案保险精算学例2.16答案保险精算学96变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为)保险精算学变利率年金问题类型一：时期利率(第K个时期利率为)保险97变利率年金问题类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率计息）保险精算学变利率年金问题类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率98例2.17:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.保险精算学例2.17:某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为99例2.17答案保险精算学例2.17答案保险精算学100例2.18:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.保险精算学例2.18:某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利101例2.18答案保险精算学例2.18答案保险精算学102三、一般年金一般年金利率在支付期发生变化付款频率与利息转换频率不一致每次付款金额不恒定分类支付频率不同于计息频率的年金支付频率小于计息频率的年金支付频率大于计息频率的年金变额年金保险精算学三、一般年金一般年金保险精算学103支付频率不同于计息频率年金分类支付频率小于利息转换频率支付频率大于利息转换频率方法通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。年金的代数分析保险精算学支付频率不同于计息频率年金分类保险精算学104支付频率小于计息频率年金0k2k

…nk计息支付11…1方法一:利率转换方法二:年金转换保险精算学支付频率小于计息频率年金0k2k…nk计息支付11…1方105例2.19:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.保险精算学例2.19:某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度计息106例2.19答案方法一:利率转换法方法二:年金转换法保险精算学例2.19答案方法一:利率转换法保险精算学107例2.20：永继年金有一永继年金每隔k年末付款1元，问在年实质利率为i的情况下，该永继年金的现时值。保险精算学例2.20：永继年金有一永继年金每隔k年末付款1元，问在年实108支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次每次支付

…第nm次每次支付计息支付12…n保险精算学支付频率大于利息转换频率支付频率大于0第m次每次支付第2m次109年金分析方法方法一：利率转换法年金转换法保险精算学年金分析方法方法一：利率转换法年金转换法保险精算学110例2.21某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年利率为10.98%,计算每次还款额.保险精算学例2.21某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每111例2.21答案方法一:方法二:

保险精算学例2.21答案方法一:保险精算学112例2.22：永继年金一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为10元，问年度实质利率应为多少？保险精算学例2.22：永继年金一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去113例2.22答案保险精算学例2.22答案保险精算学114年金关系延付年金初付年金现时值积累值保险精算学年金关系延付年金初付年金现时值积累值保险精算学115一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率现时值积累值现时值积累值延付初付保险精算学一般年金代数公式年金支付频率小于计息频率支付频率大于计息频率116连续年金定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.公式:保险精算学连续年金定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金.保险精算学117恒定利息效力场合保险精算学恒定利息效力场合保险精算学118例2.23确定利息效力使保险精算学例2.23确定利息效力使保险精算学119变额年金等差年金递增年金递减年金等比年金保险精算学变额年金等差年金保险精算学120变额年金变额年金是每次收付额不等的年金常见的有，每次收付额等差递增或递减每次收付额等比递增保险精算学变额年金变额年金是每次收付额不等的年金保险精算学121等差年金一般形式现时值积累值012…nPP+QP+(n-1)Q…保险精算学等差年金一般形式012…nPP+QP+(n-1)Q…保险精算122特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-1现时值积累值保险精算学特殊等差年金年金递增年金递减年金P=1,Q=1P=n,Q=-123变额递增年金如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以表示。保险精算学变额递增年金如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末124变额递增年金两者相减后得代入上式后得

上述年金期首付时，年金现值为保险精算学变额递增年金两者相减后得代入上式后得上述年金期首付时，年金现125变额递减年金当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金为，上述定期递减年金在期首付时，为

变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积保险精算学变额递减年金当第一年收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元126例2.24从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,然后保持付款额不变的N年期期末付年金,可以表示成计算保险精算学例2.24从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到M,127例2.24答案保险精算学例2.24答案保险精算学128例2.25有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。保险精算学例2.25有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，129例2.25答案保险精算学例2.25答案保险精算学130等比年金012…n11+k…保险精算学等比年金012…n11+k…保险精算学131等比递增年金对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额每年递增j比例，n年定期的年金现值为：保险精算学等比递增年金对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额132例2.26:某期末付永继年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永继年金的现时值.保险精算学例2.26:某期末付永继年金首付款额为5000元,以后每期付133例2.26答案保险精算学例2.26答案保险精算学134第四节收益率保险精算学第四节收益率保险精算学135第四节中英文单词对照贴现资金流收益率再投资率时间加权利率币值加权利率DiscountedcashflowyieldrateReinvestmentrateTime-weightedratesofinterestDollar-weightedratesofinterest保险精算学第四节中英文单词对照贴现资金流Discountedcash136贴现资金流分析例2.27：现金流动表按利率投资返回的净现时值年投入回收净现金流投入净现金流返回010000010000-10000110005000-40004000210006000-50005000312007500-63006300保险精算学贴现资金流分析例2.27：现金流动表年投入回收净现金流投入净137不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4361.875%3786.8510%2501.88保险精算学不同利率水平下的净现时值利率净现时值1%4976.593%4138收益率的概念使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率”用线形插值法求得上例中收益率为22.65%收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。保险精算学收益率的概念使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也139收益率的唯一性例2.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。解答：保险精算学收益率的唯一性例2.28：某人立即付款100元，并在第2年末140收益率的唯一性由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。Descartes符号定理收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。收益率唯一性的判定定理二整个投资期间未动用投资余额始终为正。保险精算学收益率的唯一性由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是141未动用投资余额保险精算学未动用投资余额保险精算学142收益率唯一性判别（D氏符号判别）例2.27例2.28年符号转变次数0-10000一次140002500036300年符号转变次数0-100两次12302-132保险精算学收益率唯一性判别（D氏符号判别）例2.27例2.28年符号转143再投资率本金的再投资问题例2.29：有两个投资方案可供我们选择A方案：实质利率为10%，为期5年B方案：实质利率为8%，为期10年我们应该选择哪项投资？保险精算学再投资率本金的再投资问题保险精算学144例2.29资金积累过程保险精算学例2.29资金积累过程保险精算学145例2.29答案如果A五年后的再投资率>6.036%,选择A。否则选择B。保险精算学例2.29答案保险精算学146利息的再投资问题（一）例2.30:某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？保险精算学利息的再投资问题（一）例2.30:保险精算学14701210例2.30的积累过程-----利息再投资帐户基金帐户保险精算学01210例2.30的积累过程-----利息再投资帐户基金帐148例2.31答案保险精算学例2.31答案保险精算学149利息的再投资问题（二）例2.32（例2.31续）假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少？保险精算学利息的再投资问题（二）例2.32（例2.31续）保险精算学15001210例2.32的积累过程-----基金帐户利息再投资帐户保险精算学01210例2.32的积累过程-----基金帐户利息再投资帐151基金收益率计算基本符号A=初始资金B=期末资金I=投资期内利息Ct=t时期的净投入（可正可负）C=

在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息保险精算学基金收益率计算基本符号保险精算学152币值加权方法保险精算学币值加权方法保险精算学153时间加权方法原理时间012-----m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm保险精算学时间加权方法原理时间012-----m-1m投资C1C2C3154基本公式保险精算学基本公式保险精算学155例2.32某投资基金1月1日，投资100000元5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元。次年1月1日，该资金总额为100000元。请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。保险精算学例2.32某投资基金保险精算学156例2.32答案保险精算学例2.32答案保险精算学157币值加权和时间加权的比较都是计算单位时期投资收益率的方法币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。保险精算学币值加权和时间加权的比较都是计算单位时期投资收益率的方法保险158第五节分期支付与偿债基金保险精算学第五节分期支付与偿债基金保险精算学159第五节中英文单词对照分期偿还方法分期偿还表偿债基金偿债基金表AmortizationmethodAmortizationscheduleSinkingfundSinkingfundschedule保险精算学第五节中英文单词对照分期偿还方法Amortizationm160债务偿还方式分期偿还：借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。偿债基金：借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。保险精算学债务偿还方式分期偿还：保险精算学161分期偿还常见分期偿还类型等额分期偿还不等额分期偿还递增分期偿还递减分期偿还分期偿还五要素时期

每次还款额每次偿还利息每次偿还本金未偿还贷款余额保险精算学分期偿还常见分期偿还类型分期偿还五要素保险精算学162等额分期偿还等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式。每次偿还金额为第k期末的未偿还本金余额

贷款本金是B0

，是Bk,还款期限为n年，每年末还款，年实际利率为i保险精算学等额分期偿还等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还163等额分期偿还表

时期

付款金额

支付利息

偿还本金

未偿还贷款余额

0

—

—

—1

R

R(1-vn)Rvn……………k

R

R(1-vn-k+1)

Rvn-k+1

……………n

R

R(1-v)

Rv0

总计

nR

保险精算学等额分期偿还表时期付款金额支付利息偿还本金164变额分期偿还变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。原始贷款金额为B0

，第k期偿还的金额为Rk

（k=1，2，⋯,n）保险精算学变额分期偿还变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。保险165例2.26一笔金额为nR元的贷款，年利率为i，期限为n

年，每年偿还R

元本金，其分期偿还表如下：

时期

付款金额

支付利息

偿还本金

未偿还贷款余额

0

—

—

—nR1

R(1+in)i·nRR(n-1)R……………k

R[1+i(n-k+1)]

i(n-k+1)R

R(n-k)R……………n

R(1+i)iR

R0

总计

nR+i·n(n+1)/2

i·n(n+1)/2

nR保险精算学例2.26一笔金额为nR元的贷款，年利率为i，期限为n166分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0---11k1n10总计n-保险精算学分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还167例2.33某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？保险精算学例2.33某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52168例2.33答案保险精算学例2.33答案保险精算学169偿债基金常见偿债基金类型等额偿债基金不等额偿债基金偿债基金六要素时期

每期偿还利息每次存入偿债基金金额每期偿债基金所得利息偿债基金积累额未偿还贷款余额保险精算学偿债基金常见偿债基金类型偿债基金六要素保险精算学170偿债基金偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。保险精算学偿债基金偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利171等额偿债基金等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D

，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n

为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为：假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j=i，则借款人每期支付总金额为，保险精算学等额偿债基金等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额172变额偿债基金设原始贷款本金为B0

，贷款利率为i，偿债基金利率为j，借款人在第k期末支付的总金额为Rk

（k=1，2，⋯，n），则，第k期末向偿债基金的储蓄额为(Rk

−iB0)，偿债基金在第n期末的累积值等于原始贷款本金B0

，即，当i=j时，保险精算学变额偿债基金设原始贷款本金为B0，贷款利率为i，偿债基金173偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷款利息每期偿债基金储蓄每期偿债基金利息偿债基金积累值未偿还贷款余额0----1102Kn10保险精算学偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷174偿债基金利息本金分析对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：第次付款的实际偿还本金为：保险精算学偿债基金利息本金分析对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为175例2.34A曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问1500中又多少是当前支付给贷款的利息?1500中有多少进入偿债基金?1500中又多少应被认为是利息?1500中有多少应被视为本金?第11年末的偿债基金余额为多少?保险精算学例2.34A曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利176例2.34答案保险精算学例2.34答案保险精算学177例2.35(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5%的贷款,其付款方式为:第一年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L.(2)假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6%的利息,并以实质利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.保险精算学例2.35(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每178例2.35答案保险精算学例2.35答案保险精算学179债券价值按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。债券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。基本符号和概念：

P—债券的理论价格； i—投资者要求的收益率或市场利率；

F—债券的面值； C—债券的偿还值； r—债券的息票率；

rF—每期的息票收入；g—债券的修正息票率；n—息票的偿还次数；

K—偿还值按收益率i计算的现值；G—债券的基价，保险精算学债券价值按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。180债券价值基本公式：溢价公式：基价公式：Makeham公式：保险精算学债券价值基本公式：溢价公式：基价公式：Makeham公式：保181债券的账面价值整数息票支付周期的债券价格和账面值 第k期末的账面值为：任意时点的账面值保险精算学债券的账面价值整数息票支付周期的债券价格和账面值保险精算学182第三章生命表函数与生命表构造保险精算学第三章生命表函数与生命表构造保险精算学183本章重点生命表函数生存函数剩余寿命死亡效力生命表的构造有关寿命分布的参数模型生命表的起源生命表的构造选择与终极生命表有关分数年龄的三种假定保险精算学本章重点生命表函数保险精算学184本章中英文单词对照死亡年龄生命表剩余寿命整数剩余寿命死亡效力极限年龄选择与终极生命表Age-at-deathLifetableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForceofmortalityLimitingateSelect-and-ultimatetables保险精算学本章中英文单词对照死亡年龄Age-at-death保险精算学185第一节生命表函数保险精算学第一节生命表函数保险精算学186生命表相关定义生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口。保险精算学生命表相关定义生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后187生命表基本函数lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxnqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx保险精算学生命表基本函数lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,188生存分布一、新生儿的生存函数二、x岁余寿的生存函数三、死亡力四、整值平均余寿与中值余寿保险精算学生存分布一、新生儿的生存函数保险精算学189F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。s(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。新生儿在x~z岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：新生儿的生存函数保险精算学F(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函190新生儿的生存函数生命表函数中的存活人数lx

正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，lx=l0s(x)而s(x)曲线形状如下图所示，保险精算学新生儿的生存函数生命表函数中的存活人数lx正是生命表基数l191x岁余寿的生存函数以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示

x岁的人在t时间内存活的概率

tpx

当x=0时，T(0)=X

，正是新生儿未来余寿随机变量。x岁的人在t时间内死亡的概率tqx保险精算学x岁余寿的生存函数以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以192x岁余寿的生存函数考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁，tqx实际是一个条件概率保险精算学x岁余寿的生存函数考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已193x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率，以概率的方式表示为：x岁余寿的生存函数保险精算学x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率194整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数保险精算学整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记保险精算学195生存函数定义意义：新生儿能活到岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：保险精算学生存函数定义保险精算学196剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。分布函数：保险精算学剩余寿命定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的197剩余寿命剩余寿命的生存函数：特别：保险精算学剩余寿命剩余寿命的生存函数：保险精算学198剩余寿命：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率保险精算学剩余寿命：x岁的人至少能活到x+1岁的概率保险精算199生命表基本函数：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率，或x岁的人在x+n~x+n+1岁死亡的概率。：表示x岁的人在x+n~x+n+m岁之间死亡的概率。保险精算学生命表基本函数：表示x岁的人存活n年并在第n+1年死亡的概率200整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数保险精算学整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记保险精算学201剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记剩余寿命的方差保险精算学剩余寿命的期望与方差期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(202整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记整值剩余寿命的方差保险精算学整值剩余寿命的期望与方差期望整值剩余寿命：整值剩余寿203生命表基本函数(1)(2)(3)保险精算学生命表基本函数(1)(2)(3)保险精算学204生命表基本函数npx：x~x+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。当n=1，简记为px。保险精算学生命表基本函数npx：x~x+n岁的存活概率,与nqx相对205生命表基本函数nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故当n=1时，保险精算学生命表基本函数nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。当n206：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。生命表基本函数Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。在均匀分布假设下，保险精算学：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。207死亡力定义：的瞬时死亡率，简记死亡力与生存函数的关系保险精算学死亡力定义：的瞬时死亡率，简记保险精算学208死亡力保险精算学死亡力保险精算学209实际上生命表x岁平均余寿正是T(x)随机变量的期望值死亡力保险精算学实际上生命表x岁平均余寿正是T(x)随机变量的期望值死亡力保210死亡力生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在0~1上的积分生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分生命表x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0~∞上的积分

保险精算学死亡力生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力211死亡力对于x岁期望剩余寿命，可以证明：保险精算学死亡力对于x岁期望剩余寿命，可以证明：保险精算212死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记死亡效力与生存函数的关系保险精算学死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记保险精算学213死亡效力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数保险精算学死亡效力死亡效力与密度函数的关系保险精算学214整值平均余寿与中值余寿x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，保险精算学整值平均余寿与中值余寿x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存215整值平均余寿与中值余寿由于，所以

保险精算学整值平均余寿与中值余寿由于，所以保险精算学216整值平均余寿与中值余寿由于故，在死亡均匀分布假设下，故，保险精算学整值平均余寿与中值余寿由于故，在死亡均匀分布假设下，故，保217整值平均余寿与中值余寿中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以m(x)表示x岁的中值余寿，则即，保险精算学整值平均余寿与中值余寿中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值218非整数年龄存活函数的估计死亡均匀分布假设死亡力恒定假设巴尔杜奇(Balducci)假设保险精算学非整数年龄存活函数的估计死亡均匀分布假设保险精算学219有关非整数年龄的假设

使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)保险精算学有关非整数年龄的假设使用背景:保险精算学220死亡均匀分布假设假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。保险精算学死亡均匀分布假设假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数221死亡均匀分布假设

(0≤t≤１,0≤y≤１,0≤t+y≤１) 保险精算学死亡均匀分布假设(0≤t≤１,0≤y≤１,0≤t+y≤222当假设死亡力在x~x+1上恒定时，(x为整数，0≤t≤1)，死亡力恒定假设由死亡力的定义，保险精算学当假设死亡力在x~x+1上恒定时，223死亡力恒定假设若以表示，有此时，

保险精算学死亡力恒定假设若以表示，有此时， 保险精算学224巴尔杜奇(Balducci)假设以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即保险精算学巴尔杜奇(Balducci)假设以意大利精算师巴尔杜奇的名字225巴尔杜奇(Balducci)假设（其中，0≤t≤1,0≤y≤1,0≤t+y≤1）此时，保险精算学巴尔杜奇(Balducci)假设（其中，0≤t≤1,0226三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci保险精算学三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci227第二节生命表的构造保险精算学第二节生命表的构造保险精算学228生命表的编制一、生命表编制的一般方法二、选择生命表保险精算学生命表的编制一、生命表编制的一般方法保险精算学229生命表编制的一般方法时期生命表(假设同批人生命表)：采用假设同批人方法编制，描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程。

Dx：某年龄x岁的死亡人数；：x岁的平均人数，即年初x岁人数与年末x岁人数的平均数，有时也用年中人数代替。保险精算学生命表编制的一般方法时期生命表(假设同批人生命表)：采用假230x岁的中心死亡率（分年龄死亡率）为，生命表编制的一般方法

生命表分年龄中心死亡率：生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人年数中的比例。保险精算学x岁的中心死亡率（分年龄死亡率）为，生命表编231生命表编制的一般方法在死亡均匀分布假设下，有，变换后，通常与非常接近，实际中常用近似

保险精算学生命表编制的一般方法在死亡均匀分布假设下，有，变换后，通常232选择生命表选择生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择生命表的使用保险精算学选择生命表选择生命表构造的原因保险精算学233选择生命表函数关系保险精算学选择生命表函数关系保险精算学234有关寿命分布的参数模型

DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)保险精算学有关寿命分布的参数模型DeMoivre模型(1729)235有关寿命分布的参数模型

Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)保险精算学有关寿命分布的参数模型保险精算学236参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。保险精算学参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四237生命表起源生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史1662年,JoneGraunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）保险精算学生命表起源生命表的定义保险精算学238生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：保险精算学生命表的构造原理保险精算学239生命表的构造个新生生命能生存到年龄X的期望个数：

个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作保险精算学生命表的构造个新生生命能生存到年龄X的期望个数：保险精算240生命表的构造个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：保险精算学生命表的构造个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：241生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89保险精算学生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期242例2.1：已知计算下面各值：（1）（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。保险精算学例2.1：已知保险精243例2.1答案保险精算学例2.1答案保险精算学244选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失选择-终极生命表的使用保险精算学选择-终极生命表选择-终极生命表构造的原因保险精算学245选择-终极表实例[x]选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482保险精算学选择-终极表实例[x]选择表终极表70.0175.0249.246第三节有关分数年龄的假设

保险精算学第三节有关分数年龄的假设保险精算学247有关分数年龄的假设

使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)保险精算学有关分数年龄的假设使用背景:保险精算学248三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)保险精算学三种假定均匀分布假定(线性插值)保险精算学249三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci保险精算学三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci250例2.2：已知

分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：保险精算学例2.2：已知保险精算学251例2.2答案保险精算学例2.2答案保险精算学252例2.2答案保险精算学例2.2答案保险精算学253例2.2答案保险精算学例2.2答案保险精算学254第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定保险精算学第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定保险精算学255本章结构人寿保险趸缴纯保费厘定原理死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定递归方程计算基数保险精算学本章结构人寿保险趸缴纯保费厘定原理保险精算学256第三章中英文单词对照一趸缴纯保费精算现时值死