全国高考理科数学试题及天津卷

绝密★启用前2014年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必定自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定地点粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必定答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。2本卷共8小题，每题5分，共40分。参照公式：?假如事件A，B互斥，那么?假如事件A，B互相独立，那么P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B).?圆柱的体积公式VSh.?圆锥的体积公式V1Sh.3此中S表示圆柱的底面面积，此中S表示圆锥的底面面积，h表示圆柱的高.h表示圆锥的高.一、选择题：在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数7+i=（）3+4i（A）1-i（B）-1+i（C）17+31i（D）-17+25i252577xy20,（2）设变量x，y知足拘束条件xy20,则目标函数zx2y的最小值为（）y1,（A）2（B）3（C）4（D）5（3）阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105（C）245（D）945（4）函数f(x)=log1(x2-4)的单一递加区间是（）2（A）(0,+￥)（B）(-￥,0)（C）(2,+￥)（D）(-?,2)22（5）已知双曲线x2-y2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的ab一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）x2-y2=1（B）x2-y2=15202053x23y23x23y2（C）-=1（D）-=12510010025（6）如图，DABC是圆的内接三角形，DBAC的均分线交圆于点D，A交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延伸线交于点F.在上述条件下，给出以下四个结论：①BD均分DCBF；②FB2=FD?FA；BEC③AE?CEBE?DE；④AF?BDAB?BF.D则全部正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④

F（7）设a,b?R，则|“a>b”是“aa>bb”的（）（A）充要不用要条件（B）必需不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不用要条件（8）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD120，点E,F分别在边BC,DC上，BE=lBC，DF=mDC.若AE?AF1，CE?CF-2，则l+m=（）3（A）1（B）2（C）5（D）723612第Ⅱ卷注意事项：

2422441．用黑色墨水钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。正视图侧视图2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）俯视图（9）某大学为认识在校本科生对参加某项社会实践活动的意愿，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行检查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生.（10）已知一个几何体的三视图以以下图（单位：m），则该几何体的体积为_______m3.（11）设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为__________.（12）在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=1a，2sinB=3sinC，则4cosA的值为_______.（13）在以O为极点的极坐标系中，圆r=4sinq和直线rsinq=a订交于A,B两点.若DAOB是等边三角形，则a的值为___________.（14）已知函数f(x)=x2+3x，x?R.若方程f(x)-ax-1=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.三、解答题（此题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求

fxcosxsinx3cos2x3，xR.34fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在闭区间,上的最大值和最小值.44（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其余互不同样样的七个学院.现从这10名同学中随机采纳3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性同样）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不同样样学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的散布列和数学希望.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，AD^AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）证明BE^DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，知足BF^AC，求二面角F-AB-P的余弦值.（18）（本小题满分13分）设椭圆x2y21（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右极点为A，上极点为B.已知a2b2AB=3F1F2.2（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其极点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切.求直线的斜率.（19）（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数.设会合M={0,1,2,,q-1}，会合A={xx=x1+x2q++xnqn-1,xi?M,i1,2,,n}.（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示会合A；（Ⅱ）设s,t?A，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，此中（20）（本小题满分14分）已知函数f(x)=x-aex(a?R)，x?R.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2，且x1<x2.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明x2跟着a的减小而增大；x1（Ⅲ）证明x1+x2跟着a的减小而增大.参照答案及分析一、选择题题号123456答案ABBDAD（1）i是虚数单位，复数7+i=（）3+4i（A）1-i（B）-1+i（C）17+31i（D）-2525解：A7+i(7+i)(3-4i)25-25i3+4i==25=1-i.(3+4i)(3-4i)xy20,（2）设变量x，y知足拘束条件xy20,则目标函数zy1,（A）2（B）3（C）4（D）5解：B作出可行域，如图联合图象可知，当目标函数经过点(1,1)时，z获得最小值3.

78CC17+25i77x2y的最小值为（）y21xO2-2（3）阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，输出的S的值为（）（A）15（B）105（C）245（D）945解：Bi=1时，T=3，S=3；i=2时，T=5，S=15；i=3时，T=7，S=105，i=4输出S=105.（4）函数f(x)=log1()x2-4的单一递加区间是（）2（A）(0,+￥)（B）(-￥,0)(2,+￥)(-?,)（C）（D）2解：Dx2-4>0，解得x<-2或x>2.由复合函数的单一性知f(x)的单一递加区间为(-?,2).（5）已知双曲线x2y22-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的ab一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）（A）x2-y2=1（B）x2-y2=1520205（C）3x23y23x23y225-=1（D）-25=1100100ì?b=2a?解：A依题意得?，所以a2=5，b2=20，双曲线的方?c=5???2=a2+b2?cA程为x2y2-=1.520C（6）如图，DABC是圆的内接三角形，DBAC的均分线交圆于点D，BE交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延伸线交于点F.在上述条件D下，给出以下四个结论：①BD均分DCBF；②FB2=FD?FA；F③AE?CEBE?DE；④AF?BDAB?BF.则全部正确结论的序号是（）（A）①②（B）③④（C）①②③（D）①②④解：D由弦切角定理得?FBD?EAC?BAE，又?BFD?AFB，所以DBFD∽BFBD，即AF?BDAB?BF，除去A、C.DAFB，所以=ABAF又?FBD?EAC?DBC，除去B.（7）设a,b?R，则|“a>b”是“aa>bb”的（）（A）充要不用要条件（B）必需不充分条件（C）充要条件（D）既不充要也不用要条件ì?2解：C设f(x)=xx，则f(x)=?x,x30，所以f(x)是R上的增函数，“a>b”是í??-x2,x<0“aa>bb”的充要条件.（8）已知菱形ABCD的边长为2，?BAD120，点E,F分别在边BC,DC上，BE=lBC，DF=mDC.若AE?AF1，CE?CF-2），则l+m=（3（A）1（B）2（C）5（D）723612解：C由于?BAD120，所以AB?ADAB鬃ADcos120=-2.由于BE=lBC，所以AE=AB+lAD，AF=mAB+AD.由于AE?AF1，所以()()3AB+lAD?mABAD=1，即2l+2m-lm=①252同理可得lm-l-m=-②，①+②得l+m=.36第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。2．本卷共12小题，共110分。二、填空题（本大题共6个小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上.）（9）某大学为认识在校本科生对参加某项社会实践活动的意愿，2拟采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行检查.已知该校一年级、二年级、三年级、四4年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽2244取_______名学生.正视图侧视图解：60应从一年级抽取300?4名.604+5+5+6（10）已知一个几何体的三视图以以下图（单位：m），则该几何俯视图体的体积为_______m3.解：20p该几何体的体积为p?41p鬃222=20pm3.333（11）设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列，则a1的值为__________.解：-1依题意得S22=S1S4，所以(2a1-1)2=a1(4a1-6)，解得a1=-1.212（12）在DABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a，2sinB=3sinC，则4cosA的值为_______.解：-1由于2sinB=3sinC，所以2b=3c，解得3c，a=2c.4b=2所以cosA=b2+c2-a2=-1.2bc4（13）在以O为极点的极坐标系中，圆r=4sinq和直线rsinq=a订交于A,B两点.若DAOB是等边三角形，则a的值为___________.解：3圆的方程为x2+(y-2)2=4，直线为y=a.由于DAOB骣a,÷a=3.是等边三角形，所以此中一个交点坐标为?÷桫3（14）已知函数f(x)=x2+3x，x?R.若方程y3O1xf(x)-ax-1=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为__________.解：0<a<1或a>9明显a>0.（ⅰ）当y=-a(x-1)与y=-x2-3x相切时，a=1，此时f(x)-ax-1=0恰有3个互异的实数根.（ⅱ）当直线()与函数2a=9y=x+3x相切时，，y=ax-1此时f(x)-ax-1=0恰有2个互异的实数根.联合图象可知0<a<1或a>9.2x+3x解2：明显a11，所以a=.令t=x-1，则a=t+4+5.t由于t+4?(?,4][4,+?)，t所以t+4).+5?(ゥ,1][9,+t联合图象可得0<a<1或a>9.三、解答题（此题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（15）（本小题满分13分）

y3O1xy91tO已知函数（Ⅰ）求（Ⅱ）求

fxcosxsinx3cos2x3，xR.34fx的最小正周期；fx在闭区间,上的最大值和最小值.44（15）本小题主要察看两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单一性等基础知识.察看基本运算能力.满分13分.骣3÷3（Ⅰ）解：由已知，有?12f(x)=cosx诅sinx+÷3cosx+?÷?24桫2=1sinx?cosx3cos2x+3224=1sin2x-3(1+cos2x)+3444=1sin2x-3cos2x441骣p÷=?.2?3÷桫所以，f(x)的最小正周期T=2p2=p.轾p,-p上是减函数，在区间轾p,p上是增函数.（Ⅱ）解：由于f(x)在区间犏-犏-犏12犏124臌4臌骣p÷f?-÷=-?÷?桫4

1，骣p÷1，??÷=-4?÷2桫12

骣p÷??÷=?÷4

.4轾p11f( )-.所以，函数x在闭区间-,上的最大值为，最小值为犏4442臌（16）（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其余互不同样样的七个学院.现从这10名同学中随机采纳3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性同样）.（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不同样样学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的散布列和数学希望.（16）本小题主要察看古典概型及其概率计算公式，互斥事件、失散型随机变量的散布列与数学期望等基础知识.察看运用概率知识解决简单实诘问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设“选出的3名同学来自互不同样样的学院”为事件A，则C31?C72C30?C73=49PA=.( )C10360所以，选出的349.名同学来自互不同样样学院的概率为2p60所以，f(x)的最小正周期T==p.2（Ⅱ）解：随机变量X的全部可能值为0，1，2，3.C4k×C63-k(k=0,1,2,3).P(x=k)=C103所以，随机变量X的散布列是X0123P1131621030随机变量X的数学希望E(X)=0?11?1+2?33?16.6210305（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^底面ABCD，AD^AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）证明BE^DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，知足BF^AC，求二面角F-AB-P的余弦值.（17）本小题主要察看空间两条直线的地点关系，二面角、直z线与平面所成的角，直线与平面垂直等基础知识.察看用空间P向量解决立体几何问题的方法.察看空间想象能力、运算能力E和推理论证能力.满分13分.yDCABx（方法一）A()(2,2,0)D(0,2,0)依题意，以点为原点成立空间直角坐标系（如图），可得B1,0,0，C，，P(0,0,2).由E为棱PC的中点，得E(1,1,1).（Ⅰ）证明：向量BE=(0,1,1)，DC=(2,0,0)，故BE?DC0.所以，BE^DC.BD=()PB=()（Ⅱ）解：向量-1,2,0，1,0,-2.ìì?0,n=PBD设x,y,z为平面的法向量，则?即??0,??n?PB?x-2z=0.n=()PBD.没关系令y=1，可得2,1,1为平面的一个法向量于是有cosn,BE=n×BE=2=3n×BE6.′23所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3.3BC=()CP=()AC=(2,2,0)AB=(1,0,0)（Ⅲ）解：向量1,2,0，-2,-2,2，，.由点F在棱PC上，设CF=lCP，0＃l1.BF=BC+CF=(2l,2-2l,2l)故BC+lCP=1-.由BF^AC，得BF?AC0，2(1-2l)+2(2-2l)=03骣113÷所以，，解得l=.即BF=?-,,4?22÷桫2ì0,ì???AB0,设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量，则n即?13íí1??x+y+z=0.?n1?BF0,?-2?22没关系令z=1，可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=(0,1,0)，则cosn1,n2=n1×n2=-3=-310.n1×n1′10101易知，二面角F-AB-P是锐角，所以其余弦值为310.10（方法二）（Ⅰ）证明：如图，取PD中点M，连结EM，AM.1由于E,M分别为PC,PD的中点，故EM//DC，且EM=DC，又由已知，可得EM//AB且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE//AM.由于PA^底面ABCD，故PA^CD，而CD^DA，从而CD^平面PAD，由于AMì平面PAD，于是CD^AM，又BE//AM，所以BE^CD.（Ⅱ）解：连结BM，由（Ⅰ）有CD^平面PAD，得CD^PD，而EM//CD，故PD^EM.又由于AD=AP，M为PD的中点，故PD^AM，可得PD^BE，所以PD^平面BEM，故平面BEM^平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而BE^EM，可得DEBM为锐角，故DEBM为直线BE与平面PBD所成的角.依题意，有PD=22，而M为PD中点，可得AM=2，从而BE=2.故在直角三角形BEM中，tan?EBMEMAB13==，所以sin?EMB.BEBE23所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3.3（Ⅲ）解：如图，在DPAC中，过点F作FH//PA交AC于点H.由于PA^底面ABCD，故FH^底面ABCD，从而FH^AC.又BF^AC，得AC^平面FHB，所以AC^BH.在底面ABCD内，可得CH=3HA，从而CF=3FP.在平面PDC内，作FG//DC交PD于点G，于是DG=3GP.由于DC//AB，故GF//AB，所以A,B,F,G四点共面.由AB^PA，AB^AD，得AB^平面PAD，故AB^AG.所以DPAG为二面角F-AB-P的平面角.在DPAG中，PA=2，PG=1PD=2，?APG45，42由余弦定理可得AG=10310，cos?PAG.210所以，二面角F-AB-P的斜率值为310.10（18）（本小题满分13分）设椭圆x2y21（ab0）的左、右焦点为F1,F2，右极点为A，上极点为B.已知a2b2AB=3F1F2.2（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其极点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点的直线l与该圆相切.求直线的斜率.（18）本小题主要察看椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.察看用代数方法研究圆锥曲线的性质.察看运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.（Ⅰ）解：设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0).由AB=3F1F2，可得a2+b2=3c2，又2222c21b=a-c，则a2=2.2所以，椭圆的离心率e=.2a2+b2=3c，所以2a2-c2=3c2，解得a=2c，e=2.2（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a2=2c222x2y2，b=c.故椭圆方程为2c2+c2=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0)，B(0,c)，有F1P=(x0+c,y0)，F1B=(c,c).由已知，有FP?FB0，即x+cc+yc=0.又c10，故有11(0)0x0+y0+c=0.①又由于点P在椭圆上，故x02+y02=1.②2c2c2由①和②可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的极点，故x0=-4c，代入①得y0=c，即点P33的坐标为骣4cc÷?-,.?÷?3÷桫3-4cc+02+c2设圆的圆心为T(x1,y1)，则x1=3=-c，y1=3=3c，从而圆的半径223r=(x1-0)2+(y1-c)2=5c.3设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y=kx.骣2c÷2c?÷-?kx1-y1?÷35=r，即桫3由l与圆相切，可得k2+1=c，k2+13整理得k2-8k+1=0，解得k=4?15.所以，直线l的斜率为4+15或4-15.（19）（本小题满分14分）qM={}已知和n均为给定的大于1的自然数.设会合0,1,2,,q-1，会合A={xx=x1+x2q++xnqn-1,xi?M,i1,2,,n}.（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示会合A；（Ⅱ）设s,t?A，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，此中ai,bi?M，i=1,2,,n.证明：若an<bn，则s<t.（19）本小题主要察看会合的含义和表示，等比数列的前n项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法.察看运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M=0,1，A={xx=x1+2x2+4x3,xi?M,i1,2,3}.{}可得，A={0,1,2,3,4,5,6,7}.（Ⅱ）证明：由s,t?A，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，ai,bi?M，i=1,2,,n及an<bn，可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q++(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1?(q1)+(q-1)q++(q-1)qn-2-qn-1(q-1)(1-qn-1)-qn-1-q-1<0.所以，s<t.（20）（本小题满分14分）已知函数f(x)=x-aex(a?R)，x?R.已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2，且x1<x2.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）证明x2跟着a的减小而增大；x1（Ⅲ）证明x1+x2跟着a的减小而增大.（20）本小题主要察看函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想、化归思想.察看抽象归纳能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：由f(x)=x-aex，可得f￠x)=1-aex.(下边分两种状况讨论：（1）a￡0时f( )Rf()R在上恒成立，可得在上单一递加，不合题意.￠2）a>0时，由f￠(x)=0，得x=-lna.当x变化时，f￠(x)，f(x)的变化状况以下表：x(-?)-lna(lna,+￥),lna-f￠＋0－(x)f(x)↗-lna-1↘f()()(-l