《经济数学》413-5（雷安平）教案 第5课 函数的连续性

第课函数的连续性第课函数的连续性PAGE85函数的连续性第课PAGE7函数的连续性第课PAGE75

课题函数的连续性课时2课时（90min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念（2）掌握初等函数的连续性（3）掌握闭区间上连续函数的性质思政育人目标：引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：掌握函数极限的直观描述教学难点：极限的运算法则教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：课堂测验（13min）第2节课：课堂测验（15min）课堂小结（3min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤

（2min）【教师】使用文旌课堂APP进行签到【学生】按照老师要求签到培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解

（30min）【教师】讲解函数的增量和连续函数的概念，并通过例题加深学生对函数连续性的理解一、函数的增量如果函数在点的某邻域有定义，当自变量从变到时，函数相应地从变到，此时称与的差为函数的增量，记为，即．由函数增量的定义可知，的符号可为正，可为负，还可以为零．例1设函数，求函数当由2变到的增量．解Δy=f=[(2+Δx．二、连续函数的概念图2-3图2-4图2-5定义2-9趋于零时，函数的增量也趋于零，即，则称函数在点处连续．例2证明函数在给定点处连续．证当自变量在处取得增量时，函数的相应的增量为．因为，故函数在给定点处连续．在上述定义中，若令，那么，则即为即为，因此，函数在点处连续的定义又可以叙述如下：定义2-10如果，则称函数在处连续．该定义隐含了三个事实：（1）函数在处有定义，即有定义（在的定义域内）；（2）当时，函数的极限存在，即；（3）这个极限值等于函数在处的函数值，即，此时有．如果上述条件有一个不满足，则函数在不连续，即函数的间断点例3求函数的间断点．解由于函数在处没有定义，故是函数的一个间断点，如图2-6所示．例4求函数的间断点．解分界点虽在函数的定义域内，但，，因，则极限不存在，故是函数的一个间断点，如图2-7所示．图2-6图2-7可利用定义2-10判定函数在其定义域内任一点处的连续性．例如，对于函数，在其定义域内任一点处，由于，又，从而有．根据定义知，函数在点处连续．类似地，有下列定义定义2-11若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续．根据以上定义可知：定理2-6函数在点处连续的充分必要条件是．例5作函数的图形，并讨论函数在点处的连续性．解从函数式容易看出其在内有定义，且，．这表明，函数在点处既左连续又右连续，因此，函数在点处连续．下面给出函数在区间上连续的定义．定义2-12如果函数在区间上的每一点都连续，则称在区间上连续．如果此时还有，则称在上连续．区间上连续函数的图形是一条无间隙的连续曲线，可以一笔画出．【学生】掌握函数的增量和连续函数的概念学习函数的增量和连续函数的概念。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（13min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解

（25min）【教师】讲解初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质，并通过例题加深学生对函数连续性的理解一、初等函数的连续性定理2-7连续函数经四则运算仍是连续函数（作为商的函数要求除数不为零）．定理2-8连续函数的反函数仍是连续函数．定理2-9连续函数构成的复合函数仍是连续函数．定理2-10基本初等函数在其定义区间内是连续的．定理2-11一切初等函数在其定义区间内都是连续的．由定理可知，如果函数在点处连续，那么求极限的问题就简化为求函数值，并且极限符号与函数符号可以互相交换，即．例6求．解．例7求．解因为是初等函数，其定义域为，而，所以．例8求．解因为是初等函数，其定义域为，所以．例9求．解．所以有．例10求．解设，则，当时，，所以．故有．二、闭区间上连续函数的性质定理2-12（最值定理）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．定理如果函数在闭区间上连续，且，C为介于与之间的任意数，则在开区间内至少存在一点，使得，如图2-8所示．定理2-14（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且，则在内至少存在一点，使得，如图2-9所示．图2-8图2-9例11证明方程在区间内至少有一个根．证设，它在闭区间上是连续的，并且在区间两端点的函数值为．根据零点定理可知，内至少存在一点，使得，即．所以方程在区间内至少有一个根．连续函数的这些性质为数学的进一步研究带来了很大方便，因此在后面微积分学中，连续函数将作为主要研究对象．【学生】掌握初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验

（15min）【教师】教师在文旌课堂APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生进行测试【学生】做测试题目【教师】公布题目正确答案，并演示解题步骤【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结

（3min）【教师】简要总结本节课的要点本节课上大家掌握了连续函数的概念、初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，课后要多加练习，巩固所学知识。【学生】总结回顾知识点总结知识点，巩固印象作业布置（2min）【教师】布置课后作业：完成课后习题2-2【学生】完成课后作业通过完