李尚志教授数学大观课件3

数学大观3

凌波微步微积分

李尚志北京航空航天大学

数学大观3李尚志一元微积分物理：以匀速代替非匀速几何：以直代曲（只能看不能算）代数：以线性代替非线性例.自由落体x=4.9t2.求t秒末的速度.解：x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2=4.9t2+9.8t(Dt)+4.9(Dt)2线性化：

x(t+Dt)≈4.9t2+9.8t(Dt)误差4.9(Dt)2:

Dt的无穷小倍=o(Dt).速度vt=一次项系数9.8=导数一元微积分物理：以匀速代替非匀速几何:以直代曲抛物线x=4.9(t+Dt)2

在点(t,4.9t2)附近被切线x=4.9t2+9.8Dt

近似代替速度v1=切线斜率此几何意义与x,t的物理意义无关可以推广到别的函数y=f(x)DtDxtx几何:以直代曲抛物线x=4.9(t+Dt)2在微分与导数函数y=f(x)在x=a附近线性化。

函数增量Dy=f(x)-f(a),自变量增量Dx=x-a

Dy

≈kDx，误差:Dy–kDx=o(Dx)

微分:

dy=kDx导数:=k,记为f’(a)=变化率=切线斜率.

一次函数代替f(x):y=f(x)≈f(a)+f’(a)DxxDxDyy微分与导数函数y=f(x)在x=a附近线假作真时貌似真极限：

f(x)A即:f(x)=A+q,q无穷小(0).

若f(x)A,g(x)B

f(x)g(x)=(A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2AB无穷小的代数性质

(同济.用e-d语言证明.)可以将q1,q2看成0，略去不写写f(x)≡A,g(x)≡B,像等式一样加、减、乘得到f(x)±g(x)≡A±B,f(x)g(x)≡AB即f(x)±g(x)A±B,f(x)g(x)AB.被忽略的元素集合={无穷小}=O(Dx)微分：Dy≡dy（modo(Dx))f(x)≡f(a)+f’(a)Dx（modo(Dx))假作真时貌似真极限：f(x)A即:f(x)=A+多项式的导数.多项式f(x)=anxn+…+a1x+a0

的导数:差分Df(x)=f(x+t)–f(x)=(nanxn-1+…+a1)t+(…)t2

是t的多项式,其中t的一次项系数即f’(x)

=nanxn-1+…+a1多项式的导数.

和差积商的导数公式f(x)

≡

f(a)+f’(a)Dxg(x)≡

g(a)+g’(a)Dx两式相加减

和差的导数相乘

乘积的导数f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx倒数的导数:和差积商的导数公式f(x)≡f(a)+f’(a)微积分基本概念（二）

----定积分

速度v(t)

路程s(t)

路程=速度*时间

速度变化怎么办?

分段计算:Dsi=v(ti)*Dti

各段相加：s=SiDsi,Dti0微积分基本概念（二）

----定积分速度微积分基本概念（三）

----微积分基本定理

飞檐走壁之电影实现

s(t)=kt2

v(t)=2kt

v(t)=2kts(t)=?a=av=v0+ats=v0t+½at2微积分基本概念（三）

----微积分基本定理2023/9/28

球面镜的反射2023/8/6球面镜的反射2023/9/28球面镜的反射

正确的聚光镜

形状2023/8/6球面镜的反射正确的聚光镜

2023/9/282023/8/6

的计算

想一想：怎样算

？当一回祖冲之！的计算2023/9/28

圆的面积2023/8/6圆的面积无穷级数法

arctanx=x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-.../4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…

收敛太慢！

|x|应当比1小很多，级数收敛才快。

/4=arctan1/2+arctan1/3/4=4arctan1/5-arctan1/239无穷级数法arctanx=x-x3/3+x5/52023/9/28

蒙特卡罗法2023/8/6蒙特卡罗法2023/9/28寻优光的折射定律光在同一种介质中走最短路线（直线），聪明！从一种介质进入另一种介质发生折射，傻了？2023/8/6寻优光的折射定律2023/9/28设光在两种介质中的速度比为u，两介质分界线为直线。从第一介质的A点到第二介质的B点，走怎样的路线时间最短？问题：2023/8/6设光在两种介质中的速度比为u，两介质分界2023/9/28最速降线重力场中高度不同的两点A，B。在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点，时间最少？2023/8/6最速降线重力场中高度不同的两点A，B。2023/9/28寻找最速降线求T=f(y1,y2,…,yn-1)的最小值点(