双曲线椭圆练习题

1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，；（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，；4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；的双曲线标准方程为为参数，≠0）；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p;双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝13.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。例题1求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。错解：设所求直线方程为。∵（2，1）在直线上，∴，=1\*GB3①又，即ab=8，=2\*GB3②由=1\*GB3①、=2\*GB3②得a=4，b=2。故所求直线方程为x+2y=4。剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。故所求直线方程应为：x+2y=4，或（+1）x-2（-1）y–4=0，或（-1）x-2（+1）y+4=0。例题2已知三角形的三个顶点为A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。错解：∵kAB=0，kAC==-1，∴tanA===1.又0＜A＜1800，∴A=450。剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。事实上，所求角应是直线AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。因此，∴tanA==-1，A=1350。例题3求过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k，其方程为y–2=k（x+4），则与x轴的交点为（-4-，0），∴，解得k=-。故所求直线的方程为x+5y–6=0。剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x=-4也符合题意。例题4求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程为，将（1，1）代入得a=2，从而得所求直线方程为x+y–2=0。剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（1，1）的直线y=x也符合条件。例题5已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。错解：将圆的方程配方得：(x+)2+(y+1)2=。∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r＝。当点A在圆外时，过点A可作圆的两条切线，则＞r。即＞。即a2+a+9＞0，解得a∈R。剖析：本题的“陷阱”是方程x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆的充要条件，上述解法仅由条件得出＞r，即a2+a+9＞0，却忽视了a的另一制约条件4–3a2＞0。事实上，由a2+a+9＞0及4–3a2＞0可得a的取值范围是（）。例题6已知直线L：y=x+b与曲线C：y=有两个公共点，求实线b的取值范围。错解：由消去x得：2y2-2by+b2–1=0。（*）∵L与曲线C有两个公共点，∴=4b2–8(b2－1)>0，解得－＜b＜剖析：上述解法忽视了方程y=中y≥0，－1≤x≤1这一限制条件，得出了错误的结论。事实上，曲线C和直线L有两个公共点等价于方程（*）有两个不等的非负实根。解得1≤b≤。例题7等腰三角形顶点是A（4，2），底边的一个端点是B（3，5），求另一个端点C的轨迹方程。错解：设另一个端点的坐标为（x，y），依题意有：=，即：=∴（x-4）2+(y-2)2=10即为C点的轨迹方程。这是以A（4，2）为圆心、以为半径的圆。剖析：因为A、B、C三点为三角形三个顶点，所以A、B、C三点不共线，即B、C不能重合，且不能为圆A一直径的两个端点，这正是解题后没有对轨迹进行检验，出现增解，造成的解题错误。事实上，C点的坐标须满足，且，故端点C的轨迹方程应为（x-4）2+(y-2)2=10(x3,y5；x5,y－1)。它表示以（4，2）为圆心，以为半径的圆，除去（3，5）（5，-1）两点。例题8求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x，y满足约束条件：错解：作出可行域如图1所示，过原点作直线L0：3x+5y=0。由于经过B点且与L0平行的直线与原点的距离最近，故z=3x+5y在B点取得最小值。解方程组，得B点坐标为（3，0），∴z最小＝33＋50=9。由于经过A点且与L0平行的直线与原点的距离最大，故z=3x+5y在A点取得最大值。解方程组，得A点坐标为（，）。∴z最大＝3＋5=17。剖析：上述解法中，受课本例题的影响，误认为在对过原点的直线L0的平行移动中，与原点距离最大的直线所经过的可行域上的点，即为目标函数Z取得最大值的点。反之，即为Z取得最小值的点，并把这一认识移到不同情况中加以应用，由此造成了解题失误。事实上，过原点作直线L0：3x+5y=0，由于使z=3x+5y＞0的区域为直线L0的右上方，而使z=3x+5y＜0的区域为L0的左下方。由图知：z=3x+5y应在A点取得最大值，在C点取得最小值。解方程组，得C（－2，－1）。∴z最小＝3（－2）＋5（－1）=－11。例题9已知正方形ABCD对角线AC所在直线方程为.抛物线过B，D两点（1）若正方形中心M为（2，2）时，求点N(b,c)的轨迹方程。（2）求证方程的两实根，满足解答：（1）设因为B,D在抛物线上所以两式相减得则代入（1）得故点的方程是一条射线。（2）设同上（1）-（2）得（1）+（2）得（3）代入（4）消去得得又即的两根满足故。易错原因：审题不清，忽略所求轨迹方程的范围。例题10已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A(-3,2)B(1,2)都在双曲线上，（1）求点的坐标；（2）求点的轨迹方程，并画出轨迹的草图；（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数t的取值范围。解答：（1）由得：，故（2）设点，则又双曲线的定义得又或点的轨迹是以为焦点的椭圆除去点或除去点图略。（3）联列：消去得整理得：当时得从图可知：，又因为轨迹除去点所以当直线过点时也只有一个交点，即或5易错原因：（1）非标准方程求焦点坐标时计算易错；（2）求点的轨迹时易少一种情况；（3）对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。例题11已知圆，圆都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。错解：圆O2：，即为所以圆O2的圆心为,半径,而圆的圆心为,半径,设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r则且，所以即，化简得即为所求动圆圆心的轨迹方程。剖析：上述解法将=3看成,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。事实上，|表示动点M到定点及的距离差为一常数3。且,点M的轨迹为双曲线右支，方程为例题12点P与定点F（2，0）的距离和它到直线x=8的距离比是1：3,求动点P与定点距离的最值。错解：设动点P(x,y)到直线x=8的距离为d，则即两边平方、整理得=1（1）由此式可得：因为所以剖析由上述解题过程知,动点P(x,y)在一椭圆上，由椭圆性质知，椭圆上点的横纵坐标都是有限制的，上述错解在于忽视了这一取值范围，由以上解题过程知，的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决即：当时，例题13已知双曲线的离心率e=,过点A（）和B(a,0)的直线与原点的距离为,直线y=kx+m与该双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。错解由已知，有解之得：所以双曲线方程为把直线y=kx+m代入双曲线方程，并整理得：所以(1)设CD中点为，则APCD，且易知：所以(2)将(2)式代入(1)式得解得m>4或故所求m的范围是剖析上述错解，在于在减元过程中，忽视了元素之间的制约关系，将代入(1)式时，m受k的制约。因为所以故所求m的范围应为m>4或例题14椭圆中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率,已知点P（）到椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程。错解设所求椭圆方程为因为，所以a=2b于是椭圆方程为设椭圆上点M（x,y）到点P的距离为d,则：所以当时，有所以所求椭圆方程为剖析由椭圆方程得由(1)式知是y的二次函数，其对称轴为上述错解在于没有就对称轴在区间内或外进行分类，其正解应对f(y)=的最值情况进行讨论：（1）当，即时=7,方程为（2）当,即时，，与矛盾。综上所述，所求椭圆方程为例题15已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。错解设符合题意的直线存在，并设、则（1）得因为A（1，1）为线段PQ的中点，所以将(4)、(5)代入（3）得若，则直线的斜率所以符合题设条件的直线存在。其方程为剖析在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）两式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)两式，故应对所求直线进行检验，上述错解没有做到这一点，故是错误的。应在上述解题的基础上，再由得根据,说明所求直线不存在。例题16已知椭圆，F为它的右焦点，直线过原点交椭圆C于A、B两点。求是否存在最大值或最小值？若不存在，说明理由。错解设A、B两点坐标分别为、因为，所以，又椭圆中心为（1，0）,右准线方程为x=5，所以即，同理所以设直线的方程为y=kx，代入椭圆方程得所以代入(1)式得所以，所以|有最小值3,无最大值。剖析上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线，当的斜率不存在时，有所以有最小值为3，最大值为25/4课后练习题1、圆x2+2x+y2+4y–3=0上到直线x+y+1=0的距离等于的点共有（）A、1个B、2个C、3个D、4个分析：这里直线和圆相交，很多同学受思维定势的影响，错误地认为圆在此直线的两侧各有两点到直线的距离为，导致错选（D）。事实上，已知圆的方程为：（x+1）2+(y+2)2=8，这是一个以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆，圆的圆心到直线x+y+1=0的距离为d==，这样只需画出（x+1）2+(y+2)2=8和直线x+y+1=0以及和x+y+1=0的距离为的平行直线即可。如图2所示，图中三个点A、B、C为所求，故应选（C）。2、过定点（1，2）作两直线与圆相切，则k的取值范围是Ak>2B-3<k<2Ck<-3或k>2D以上皆不对解答：D易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑3、设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为A2B2或CD解答：D易错原因：忽略条件对离心率范围的限制。4、已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的ABCD解答：D易错原因：只注意寻找的关系式，而未考虑实际问题中的范围。5、若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是ABCD解答：C易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。6、已知圆+y=4和直线y=mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则︱OP︱·︱OQ︱=()A1+mBC5D10正确答案：C错因：学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平方来解题。7、双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（）A8x-9y=7B8x+9y=25C正确答案：D错因：学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。8、已知是三角形的一个内角，且sin+cos=则方程xsin－ycos=1表示（）A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆正确答案：D错因：学生不能由sin+cos=判断角为钝角。9、过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线交抛物线于M﹑N两点,则M﹑N﹑F三点A共圆B共线C在另一条抛物线上D分布无规律正确答案：B错因：学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。10、已知实数x，y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是()A、B、4C、5D、2正确答案：B错误原因：忽视了条件中x的取值范围而导致出错。11、过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.0条正确答案：C错解：设直线的方程为，联立，得，即：，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.剖析：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。12、已知动点P（x,y）满足，则P点的轨迹是（）A、直线B、抛物线C、双曲线D、椭圆正确答案：A错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1，2）点就在直线3x+4y-11=0上。13、在直角坐标系中，方程所表示的曲线为（）A．一条直线和一个圆B．一条线段和一个圆C．一条直线和半个圆D．一条线段和半个圆正确答案：D错因：忽视定义取值。14、设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（）。A.1B.C.2D.正解：A①又②联立①②解得误解：未将两边平方，再与②联立，直接求出。15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为，若双曲线上有一点M（），使，那双曲线的交点（）。时在时在轴上正解：B。由得，可设，此时的斜率大于渐近线的斜率，由图像的性质，可知焦点在轴上。所以选B。误解：设双曲线方程为，化简得：，代入，，，焦点在轴上。这个方法没错，但确定有误，应，焦点在轴上。误解：选B，没有分组。16、与圆相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（）A、2条B、3条C、4条D、6条答案：C错解：A错因：忽略过原点的圆C的两条切线17、若双曲线的右支上一点P（a,b）直线y=x的距离为，则a+b的值是（）A、B、C、D、答案：B错解：C错因：没有挖掘出隐含条件18、双曲线中，被点P（2，1）平分的弦所在的直线方程为（）A、B、C、D、不存在答案：D错解：A错因：没有检验出与双曲线无交点。19、过函数y=-的图象的对称中心，且和抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线的条数共有（）A、1条B、2条C、3条D、不存在正确答案：（B）错误原因：解本题时极易忽视中心（2，4）在抛物线上，切线只有1条，又易忽视平行于抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。20、双曲线上的点P到点(5,0)的距离为，则点P到点()的距离_______。错解设双曲线的两个焦点分别为,,由双曲线定义知所以或剖析由题意知，双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以不合题意，事实上，在求解此类问题时，应灵活运用双曲线定义，分析出点P的存在情况，然后再求解。如本题中，因左顶点到右焦点的距离为，故点P只能在右支上，所求21、一双曲线与椭圆有共同焦点，并且与其中一个交点的纵坐标为4，则这个双曲线的方程为_____。正解：-，设双曲线的方程为（27）又由题意知故所求双曲线方程为误解：不注意焦点在轴上，出现错误。22、过双曲线x2－的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条。错解：2错因：设代入椭圆的方程算出有两条，当不存在，即直线AB轴时，｜AB｜＝4，忽视此种情况。正解：323、一动点到定直线x=3的距离是它到定点F（4，0）的距离的比是，则动点轨道方程为。答案：错解：由题意有动点的轨迹是双曲线，又F（4，0），所以c=4，又准线x=3,所以，故双曲线方程为错因：没有明确曲线的中心位置，而套用标准方程。24、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为的弦AB，则的周长为。答案：设其中，所以，将弦AB的方程代入双曲线方程，整理得，可求得，故答案为错解：10错因：作图错误，没有考虑倾斜角为的直线与渐近线的关系，而误将直线作成与右支有两交点。25、如果不论实数b取何值，直线与双曲线总有公共点，那么k的取值范围为。答案：错解：错因：没考虑b=0时，直线不能与渐近线平行。26、双曲线eq\f(x2,9)-\f(y2,16)=1上有一点P到左准线的距离为eq\f(16,5),则P到右焦点的距离为。错解：设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为eq\f(x2,9)-\f(y2,16)=1，易求得a=3,c=5,从而离心率e＝eq\f(5,3),再由第二定义，易求|PF1|=ed1＝，于是又由第一定义，得|PF2|=。剖析：以上出现两解的原因是考虑到P可能在不同的两支上。而事实上P若在右支上，则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离|A2F1|＝a+c＝8，而，故点P只能在左支，于是|PF2|=。小结：一般地，若|PF1|≥a+c,则P可能在两支上，若|PF1|<a+c,则P只能在一支上。27、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)，离心率为eq\f(3,2)，求双曲线的方程。错解：由,于是可求得双曲线的方程为。点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心率为eq\f(