高考北师大版数学（理）一轮复习学案7-5直线平面垂直的判定及其性质

第五节直线、平面垂直的判定及其性质命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节是高考的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定和性质，常出现在解答题的第（1）问中，难度中等．本节通过线、面垂直的判定及性质考查考生对转化与化归思想的应用，提升直观想象、逻辑推理核心素养．授课提示：对应学生用书第150页知识点一直线与平面垂直（1）直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，l⊥b,a∩b＝O,aα,bα))⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b•温馨提醒•二级结论1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，bα⇒a⊥b．2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．必明易错证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这一条件．1．（2021·深圳四校联考）若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为（）A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β．因此A正确．过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确．根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．答案：B2．（2021·唐山模拟）如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（）A．①② B．②④C．①③ D．②③解析：对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE．答案：B3．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的条件．解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件．答案：必要不充分知识点二平面与平面垂直（1）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(l⊥α，lβ))⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,lβ))⇒l⊥α•温馨提醒•面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．面面垂直的性质定理在使用时易忘一个平面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．1．下列命题中不正确的是（）A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：若平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l平面β或直线l与平面β相交．故选项A错误．答案：A2．（2021·苏州模拟）在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O．（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的心；（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的心．解析：（1）如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．（2）如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G．因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB平面PAB，所以PC⊥AB，因为AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．答案：（1）外（2）垂授课提示：对应学生用书第151页题型一直线与平面垂直的判定与性质[例]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：（1）CD⊥AE；（2）PD⊥平面ABE．[证明]（1）在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，∴CD⊥平面PAC．又AE平面PAC，∴CD⊥AE．（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，又PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE．1．判定线面垂直的四种方法2．判定线线垂直的四种方法[对点训练]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝eq\f(1,2)AB，PH为△PAD中AD边上的高．求证：（1）PH⊥平面ABCD；（2）EF⊥平面PAB．证明：（1）因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB．因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD．因为AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD．（2）如图，取PA的中点M，连接MD，ME．因为E是PB的中点，所以ME綊eq\f(1,2)AB．又因为DF綊eq\f(1,2)AB．所以ME綊DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD．因为PD＝AD，所以MD⊥PA．因为AB⊥平面PAD，MD平面PAD，所以MD⊥AB．因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB．题型二面面垂直的判定与性质[例]如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．（1）求证：CE∥平面PAD；（2）求证：平面EFG⊥平面EMN．[证明]（1）法一：取PA的中点H，连接EH，DH．又E为PB的中点，所以EH綊eq\f(1,2)AB．又CD綊eq\f(1,2)AB，所以EH綊CD．所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH．又DH平面PAD，CE平面PAD．所以CE∥平面PAD．法二：连接CF．因为F为AB的中点，所以AF＝eq\f(1,2)AB．又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD．又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF∥平面PAD．因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又EF⃘平面PAD，PA平面PAD，所以EF∥平面PAD．又因为CF∩EF＝F．故平面CEF∥平面PAD．又因为CE平面CEF，所以CE∥平面PAD．（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA，又AB⊥PA，所以AB⊥EF．同理可得AB⊥FG．又EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG，因此AB⊥平面EFG．又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD．又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG．又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN．[变式探究1]在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC．证明：因为AB⊥PA，AB⊥AC，且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC．又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB．所以MN⊥平面PAC．又MN平面EMN，所以平面EMN⊥平面PAC．[变式探究2]在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC．证明：因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥PA，FG∥AC，又EF⃘平面PAC，PA平面PAC，所以EF∥平面PAC．同理，FG∥平面PAC．又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面PAC．面面垂直判定的两种方法与一个转化（1）两种方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理（a⊥β，aα⇒α⊥β）．（2）一个转化：在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．[对点训练]（2020·高考全国卷Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO＝eq\r(2)，圆锥的侧面积为eq\r(3)π，求三棱锥P­ABC的体积．解析：（1）证明：由题设可知，PA＝PB＝PC．由△ABC是正三角形，可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC．又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°．从而PB⊥PA，PB⊥PC，故PB⊥平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC．（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题设可得rl＝eq\r(3)，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3)．从而AB＝eq\r(3)．由（1）可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝eq\f(\r(6),2)．所以三棱锥P­ABC的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×PA×PB×PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),8)．题型三平行与垂直的综合问题[例]如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：（1）AF∥平面BCE；（2）平面BCE⊥平面CDE．[证明]（1）如图，取CE的中点G，连接FG，BG．∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝eq\f(1,2)DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB＝eq\f(1,2)DE，∴GF＝AB．∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．∵AF⃘平面BCE，BG平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，∴AF⊥CD．∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF．又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE．∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．又∵BG平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．1．线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用等腰三角形的中线等．2．证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．[对点训练]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PCD．证明：（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC．（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB．因为PD平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD．（3）如图，取PC的中点G，连接FG，DG．因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC．因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC．所以DE∥FG，DE＝FG．所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG．又因为EF⃘平面PCD，DG平面PCD，所以EF∥平面PCD．平行、垂直关系中的核心素养逻辑推理、直观想象——在平行、垂直关系证明中的体现逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过程平行、垂直关系证明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系．[例]（2020·高考全国卷Ⅱ）如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心．若AO＝AB＝6，AO∥平面EB1C1F，且∠MPN＝eq\f(π,3)，求四棱锥B­EB1C1F的体积．[解析]（1）证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN．因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN．所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F．（2）AO∥平面EB1C1F，AO⊂平面A1AMN，平面A1AMN∩平面EB1C1F＝PN，故AO∥PN．又AP∥ON，故四边形APNO是平行四边形，所以PN＝AO＝6，AP＝ON＝eq\f(1,3)AM＝eq\r(3)，PM＝eq\f(2,3)AM＝2eq\r(3)，EF＝eq\f(1,3)BC＝2．因为BC∥平面EB1C1F，所以四棱锥B­EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离．如图所示，作MT⊥PN，垂足为T，则由（1）知，MT⊥平面EB1C1F，故MT＝PMsin∠MPN＝3．底面EB1C1F的面积为eq\f(1,2)×