第9讲对数与对数函数26

第9讲对数与对数函数课前双基巩固课前考点探究教师备用例题第二单元函数、导数及其应用内容与要求1理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用2对数函数1理解对数函数的概念,了解对数函数的单调性及对数函数图像通过的特殊点;2体会对数函数是一类重要的函数模型;3知道指数函数y=aa>0,且a≠1与对数函数y=logaa>0,且a≠1互为反函数知识聚焦1对数概念如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫作以a为底N的

,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数,logaN叫作对数式

性质底数的限制:a>0,且a≠1对数式与指数式的互化:ax=N⇔

负数和零没有

loga1=

logaa=1对数=logaN对数0N续表运算法则loga(M·N)=

a>0,且a≠1,M>0,N>0logaMn=

(n∈R)

换底公式logaMlogaNlogaM-logaNnlogaM

2对数函数的概念、图像与性质概念函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作

函数

底数a>10<a<1图像

定义域

对数0,∞续表值域

性质过定点

,即x=1时,y=0

在区间(0,+∞)上是

函数

在区间(0,+∞)上是

函数

R1,0增减3反函数指数函数y=aa>0,且a≠1与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称

y=logaa>0,且a≠1y=常用结论=对称2只有在定义域上单调的函数才存在反函数1化简logablogbclogca的结果是

5有下列结论:①lglg10=0;②lglne=0;③若lg=1,则=10;④若log22=,则=1;⑤若logmn·log3m=2,则n=9其中正确结论的序号是

=logaa>0,a≠1在上的最大值与最小值的差是1,则a=

探究点一对数式的化简与求值

变式题1设g=ln21,则g4-g3g-3-g-4=A-1 B1 2 2变式题2已知a=log49,b=log25,则22ab=

1对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形2利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化探究点二对数函数的图像及应用例21若函数f=a-a-a>0且a≠1在R上为减函数,则函数y=loga||-1的图像可以是

1在研究对数函数图像时一定要注意其定义域,注意根据基本的对数函数图像作出经过平移、对称变换得到的函数的图像2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解

探究点三解决与对数函数性质有关的问题例31已知a=log32,b=log43,c=log0203,则a,b,c的大小关系是Aa<b<c Ba<c<bCc<a<b Db<a<c微点1比较大小比较对数式的大小,一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较,二是采用中间值0或1等进行比较,三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过循环转化进行比较

微点2解简单的对数不等式例42已知对数函数f的图像过点4,-2,则不等式f-1-f1>3的解集为

对于形如logaf>b的不等式,一般转化为logaf>logaab,再根据底数的范围转化为f>ab或0<f<>logbg的不等式,一般要转化为同底的不等式来解微点3对数函数性质的综合问题

例52已知函数f=ln-2ln6-,则 Af在2,6上单调递增Bf在2,6上的最大值为2ln2Cf在2,6上单调递减Dy=f的图像关于点4,0对称利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用应用演练

2【微点3】已知函数f=lnlna-的图像关于直线=1对称,则函数f的值域为A0,2 B3【微点3】函数f=log2-22的单调递减区间是

【备选理由】例1主要考查对数函数图像的应用,考查对称变换与平移变换;例2考查了作差法比较大小,解题的关键是理解作差法的内涵,本题的难点是判断差的符号,一般采取把差变为几个因式的乘积或者化为完全平方式的形式,从而确定出差的符号;例3主要考查指数函数与对数函数的图像与性质的应用,以及不等式的恒成立问题的求解,其中把不等式恒成立转化为两个函