樊昌信通信原理课后答案

1章答案

1-1以无线广播和电视为例，说明教材图1-3模型中信源、信宿及信道包含的具体内容是什么？

答：3）在无线电广播中

①信源：从声音等各种消息转换而成的原始电信号；

②信宿：从复原的原始电信号转换成对应的声音；

③信道：载有声音和影像的无线电波，以某种方式表示原始电信号。

（2）在无线电视系统中

①信源：从声音、影像等消息转换而成的原始电信号；

②信宿：从复原的原始电信号转换成的声音、影像等；

③信道：载有声音和影像的无线电波，以某种方式表示原始电信号。

1-2何谓数字信号？何谓模拟信号？两者的根本区别是什么?

答：（I）数字信号是指载荷消息的信号参量仅有有限个取值的信号；模拟信号是指载荷消息的信号参

量取值为连续（不可数、无穷多）的信号；

（2）两者的根本区别在于载荷消息信号参量的取值是连续的还是离散可数的。时间域上的连续与否不能

作为区分模拟信号和数字信号的标准。

1-3何谓数字通信？数字通信有哪些优缺点？

答：（1）利用数字信号来传递信息的通信系统称为数字通信系统。其中主要有信源编码与译码、数字

调制与解调、同步以及加密与解密等组成部分；

（2）数字通信的优缺点：

①优点：

a抗干扰能力强，且噪声不积累。数字通信特有的抽样判决再生的接收方式使得其拥有较强的抗干扰

能力；

h传输差错可控。在数字通信系统中，可通过信道编码技术进行检错与纠错，降低误码率，提高传输

质量；

易于加密处理，且保密性好；

d便于存储、处理和交换；数字通信的信号形式和计算机所月的信号一致，都是二进制代码，因此便

于与计算机联网，也便于用计算机对数字信号进行存储、处理和交换，可使通信网的管理和维护实现自

动化、智能化；

C易于集成，使通信设备微型化，重量减轻；

£便于构成综合数字网和综合业务数字网。采用数字传输方式，可以通过程控数字交换设备进行数字

交换，以实现传输和交换的综合。

②缺点：

a,可能需要较大的传输带宽；

b,对同步要求高，系统设备年。

1-4数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是什么？

答：数字通信系统的一般模型口各组成部分的主要功能是：

(1)信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；

(2)信道编码和译码功能是进行差错控制，从而增强数字信号的抗干扰能力；

(3)加密与解密的功能是保证信息的安全传输；

(4)数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；

(5)同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保证数字通信系统的有序、准确和可靠的工作，

1-5按调制方式，通信系统如何分类？

答：按调制方式，通信系统分为：

(1)基带传输系统。基带传输系统是将未经调制的信号直接传送，如市内电话、有线广播，一般的无线

传输很少用到基带传输系统；

(2)带通传输系统。带通传输是对各种信号调制后输出的信号。带通传输系统的应用非常广泛，无线传

输领域基本上都是利用带通传输系统。

1-6按传输信号的特征，通信系统如何分类?

答：按传输信号的特征，通信系统分为：

(1)模拟通信系统。模拟通信系统是指系统信道中所传输的信号为模拟信号的通信系统；

(2)数字通信系统。数字通信系统是指系统信道中所传输的信号为数字信号的通信系统。

1-7按复用方式，通信系统如诃分类？

答：按复用方式,通信系统分为：

(1)频分复用。频分复用是用频谱搬移的方法使不同信号占据不同的频率范围；

(2)时分复用。时分复用是用脉冲调制的方法使不同信号占据不同的时间区间；

(3)码分复用。码分复用是用正交的编码分别携带不同的信号；

(4)波分复用。波分复用是将两种或多种不同波长的光载波信号经复用器汇合在一起并耦合到光线路中

同一根光纤中进行传输；

(5)空分复用。空分复用是指让同一个频段在不同的空间内得到重复利用。

1-8单工、半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的？解释它们的工作方式并举例说明。

答：(1)单工、半双工及全双工通信方式是按照消息传递的方向与时间关系分类的；

(2)工作方式：

①单工11信是摘肖息只能单向传输的工作方式，通信双方只有行发送，另T只能接受，如广播,

遥测，无线寻呼等；

②半双工通信尉旨通信双方都能讲行收发信息，但是不能同时讲行收发的工作方式，如使用同一载频的

普通对讲机、问询及检索等；

③全双工通信是指通信双方能同时进行收发i肖息的工作方式，如电话和计算机之间的高速通信等。

1-9并行传输和串行传输的适用场合及特点？

答：(1)并行传输和串行传输的适用场合分别为：

①并行传输一般适用于设备之间的近距离通信。比如一般的计算机内部通信；

②串行传输一般适用于远距离/专输。普通的通信系统都是采用串行传输。

(2)并行传输和串行传输的特点分别为：

①并行传输

a.优点：传输速度快，节省时间，无需附加设备就能实现收发双方字符同步；

b.缺点：需要多条通信线路，成本高。

②串行传输

a.优点：只需一条通信线路，成本低；

b.缺点：传输速度慢，需要外加同步措施解决收发双方码组或字符同步。

MO通信系统的主要性能指标是什么？

答：通信系统的主要性能指标是有效性和可靠性。有效性是指信息传输的效率问题，在模拟通信系统

中，用有效传输频宽表示，数字通信中用信息传输速率来衡量；可靠性是指系统接收消息的准确程度,

即质量的好坏。

1-11衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？

答：(1)衡量数字通信系统的有效性的性能指标：码元传输速率和频带利用率。传输同样的信源信

号，所需的传输带宽越小，频芍利用率越高，有效性越好；传输同样的信源信号，所需的时间越少，即

码元传输速率越大，则有效性越高；

(2)衡量数字通信系统的可靠性的性能指标：差错概率。差错概率常用误码率和误信率表示。误码率是

指错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例，更确切地说，误码率是码元在传输过程中被传错的

概率；误信率又称误比特率，是指错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例。

1-12何谓码元速率和信息速率？它们之间的关系如何?

答：(1)码元速率(RB)是指每秒钟传送码元的数目，单位为波特；信息速率(Rb)是指每秒钟传送

的平均信息量，单位是bit/s;

(2)码元速率与信息速率的关系为：Rb=R/og2M(M进制码元携带log2M比特的信息量)。信息速率

总是码元速率的整数倍。

M3何谓误码率和误信率？它们之间的关系如何？

答：(1)误码率和误信率的定义分别为：

①误码率是指码元在传输系统中被传错的概率，即错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例，Pe

二错误码元数/传输总码元数；

②误信率是指码元在传输系统中被丢失的概率，即错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例，Pb

二错误比特数/传输总比特数；

(2)误码率和误信率的关系：它们是描述差错率的两种不同表述。在二进制中，二者数值相等，

1-14消息中包含的信息量与以下哪些因素有关？

(1)消息出现的概率；

(2)消息的种类；

(3)消息的重要程度。

答：由信息论以及概率论可知,信息量的度量为：

H(X)=£{Z[P(x,)])=矶-log。")]

=-^P(x/)logP(x,)

i«1

这种度量消息中信息量的方式必须能够用来度量任何消息，而与消息的种类无关。同时，这种度量方法

也应该与消息的重要程度无关。因此消息中包含的信息量与(1)有关。

习题

1-1已知英文字母C出现的概率为().105,x出现的概率为0.002,试求c和x的信息量。

解：e的信息量为：

Ie=log2(1/P(e))=-log2P(e)=-log20.105=3.25(bit)

x的信息量为：

Ix=log2(LP(x))=-log2P(x)=-Iog20.002=8.97(bit)

1-2设有四个符号，其中前三个符号的出现概率分别为1/4,1/8,1/8,且各符号的出现是相互独立

的。试计算该符号集的平均信息量。

解：因为各符号的概率之和等于1,所以第四个符号的概率为1/2,故该符号集的平均信息量为：

H=；=1.75(b/符号)

1-3某信源符号集由字母A、B、C、D组成，若传输每一个字母用二进制码元编码，“00”代替

A「01”代替B,“10”代替C,“11”代替D,每个二进制码元宽度为

(1)不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率；

(2)若每个字母出现的可能性分别为PA=1/5,PB=1/4,Pc=1/4,PD=3/10,试计算传输的平均信息速

率。

解：(1)由于每个二进制码元宽度为5ms,又一个字母由两个二进制码元组成，所以一个字母的持续

时间为：

Tg=2x5ms

则传送字母的符号速率为：

3

RB=l/TB=l/(2x5xW)=100(Baud)

故不同字母等可能出现时，传输的平均信息速率为：

Rb=RBlog2M=RB<og24=200(b/s)

(2)该信号源符号集的平均信息量为：

^=ilogllog4ilog4Alog^

25+2+2+=1.985◎符号)

故传输的平均信息速率为：

Rb=RBH=100x1.985=198.5(b/s)

1-4一部电话机键盘上有1()个数字键(0-9).设发送数字I的概率为0.3,发送数字3和8的廨分别为

0.14,发送数字2,4,5,6,7,9和0的概率分别为0.06，试求：

(1)每键的平均信息量(燧)；

(2)如果按键速率为2个/s,试计算传送的信息速率。

解：(I)每键的平均信息量为：

^=-Z^)log:P(x,)

j-1

=-0.3log；0.3-2x0.141og:0.14-7x0.06log；0.06

=-3.32x(0.31g0.3+2x0.141g0.14+7x0.061g0.06)

=3.02(b/键)

(2)由题可知,RB=2^/S,故传送的信息速率为：

Rb=RBH=2x3.02=6.04(b/s)

1-5设某信源的输出由128个不同的符号组成。其中16个出现的概率为1/32,其余112个的出现概率为

1/224.信源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信源的平均信息速率。

解：每个符号的平均信息量为

H=16x《log232+112xmlog?224=6.405(b/符号)

又已知符号速率RB=lOOOBaud,故平均信息速率为：

3

Rb=RBH=1000x6.405=6.405x|0(b/s)

1-6设二进制数字传输系统每隔0.4ms发送一个码元。试求：

(1)该系统的信息速率；

(2)若改为传送十六进制信号码元，发送码元间隔不变，则系统的信息速率变为多少？(设各码元独立

等概率出现)

解：(1)由题可知，码元宽度'「3=0.4ms,则码元速率RB=l"B=2500Baud0又二进制系统的信息速

率等于码元速率，故该系统的信息速率为：

Rb=RBlog22=2500(b/s)

(2)由于码元间隔(码元宽度)不变，则码元速率也不变，仍为25(X)Baud,故传送十六进制码元时，系

统的信息速率为：

Rb=RBlog216=2500x4=K)O(X)(b/s)

1-7某信源符号集由A,B,C,D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4,1/8,1/8,

3/16和5/16。若每秒传输1000个符号，试求：

(1)该信源符号的平均信息量；

(2)lh内传送的平均信息量；

(3)若信源等概率发送每个符号,求lh传送的信息量。

解：(1)该信源符号的平均信息量(熔)为：

»(x)=-工尸(%)1。2：尸(为)

i-1

42482881621616*16

=223(b/符号)

(2)已知RB=lOOOBaud,所以该信源符号的平均信息速率为：

3

Rb=RB-H=1000x2.23=2.23X19(b/s)

贝(Jlh传送的平均信息量为：

I=Rb-t=2.23x1()3x3600=8.028x1()6(bit)

(3)等概率发送时的信源燧为：

Hmax-log2M=log25=3.32lg5=2.33b/^^

此时平均信息速率最大，故lh传送的信息量为：

6

I=Rblllax-t=(RBHinax)t=1000x2.33x3600=8.352x10(bit)

1-8设某四进制数字传输系统的信息速率为2400b/s,按收端在0.5h内共收到216个错误码元，试计算该

系统的误码率已。

解：已知信息速率Rb=2400b/s,则码元速率为：

RB二RJIog2M-2400/log24=1200(Baud)

所以0.5h(1800s)内传送的码元个数为：

6

N=RBt=1200xl800=2.16xl0(个)

又错误码元数4=216个,所以误码率E为：

6-4

Pe=Ne/N=216/(2.I6X10)=10

2章答案

思考题

2-1何谓确知信号？

答：确知信号是指其取值在任何时间都是确定和可预知的信号，通常可以用数学公式表示它在任何时间

的取值。例如，振幅、频率^相位都是确定的一段正弦波，它就是一个确知信号.

2-2试分别说明能量信号和功率信号的特性。

答：3)能量信号的能量为一个有限正值，但其平均功率等于零；

(2)功率信号的能量为无穷大,其平均功率为一个有限正值。

2-3试用语言(文字)描述单立中激函数的定义。

答：单位冲激函数是指宽度无穷小，高度为无穷大，积分面积为1的脉冲，目频谱密度为1。其仅有理论

上的意义，是不可能物理实现的一种信号。

2-4试画出单位阶跃函数的曲线。

答：如图2-2-1所示。

必)

0

图221

2-5试述信号的四种频率特性分别适用于何种信号。

答：(1)功率信号的频谱适用于周期性的功率信号；

(2)能量信号的频谱密度适用亍能量信号；

(3)能量信号的能量谱密度适用于能量信号；

(4)功率信号的功率谱密度适用于功率信号。

2-6频谱密度S(f)和频谱C(jno)0)的量纲分别是什么？

答：频谱密度的量纲是伏特/赫兹(V/Hz)；频谱的量纲是伏特(V)。

2-7自相关函数有哪些性质？

答：自相关函数的性质：

(1)自相关函数是偶函数；

(2)与信号的能量谱密度函数或功率谱密度函数是傅立叶变换对的关系；

(3)当尸0时，能量信号的自相关函数R(0)等于信号的能量，功率信号的自相关函数R(0)等于信

号的平均功率。

2-8冲激响应的定义是什么？冲激响应的傅里叶变换等于什么？

答：3)冲激响应的定义：输入为单位;中激函数时系统的零状态响应,一般记作h(t)；

(2)冲激响应的傅里叶变换等于系统的频率响应，即H(f)。

习题

2-1试判断下列信号是周期信号还是非周期信号，能量信号还是功率信号：

(I)Si(t)=e-lu(t)

(2)S2(t)=sin(6m)+2cos(1(hrt)

(3)S3(t)=e-2t

解：若0<E<8,而功率P—0,则为能量信号；若能量ETO，而0<P<8,则为功率信号。

(1)si(t)=c-lu(t)的能量为：

£=J*52(r)dr=J；e_2,dr=—e~2r=-

f°22

而功率为：

1rT/2_

P=lim—I52(r)dr=0

7T8TJ-T/l

所以(t)是能量信号，也是非周期信号。

(2)满足两个周期信号相加后仍是周期信号的条件为T=+nT2,其中m、n为正整数。

该信号中sin(67rt)的周期为2W(6的=1/3,2cos(10nt)的周期为T?=2/(10兀)=1/5,则「和

心的最小公倍数为：

T=mT1+n72=3T)+5T2=2

因此，S2(l)是周期为2的周期信号，而周期信号必然是功率信号。

(3)S3(t)=e・2i的能量为：

2r-2r

E=匚S?(,)山=lim©7出_ijml(e-e)^|=oo

而功率为：

E7-272R2/T

P=lim-=lim-——=limE—=lim---=℃

r->aT7fg477-MC4TTfg4

由上可知，S3(l)既不是能量信号也不是功率信号，也是非周期信号。

2-2试证明图2-2-2中周期性信号可以展开为

4工f-nn

s(r)=-y3-cos(2«+1)0

兀仁2勿+1

图222

证明：取区间・1/2SS3/2作为一个周期进彳帝算，并令周期T。=2。

由教材式(2.2-1)可得：

=第：e-^dr-窘e"可

=——但-网2_^皿？]——!_[e-"R2_e-J«2j

-j2,加-j2n;r

i.,〃冗、i_而.”江、

=—sm(——)-——e叩sm(——)

rm2)m2

21mt〃=4左11

=—[1-cos(??7t)]sm(—)=<-2/H7tn=4k+3

nn2w,

0”偶数

将上式代入教材式（222)，得：

金2旧4

n=­x

2Jii5x

=±（^-e--(e*"-c^)+±(e加-c-)--

n3乃5n

4」、44

=­COS（^f）-——cos(3^z)+——cos(57tr)—

7t3冗5冗

二4£（W

cos(27?+l)7rr

7TZo2w+1

所以

400J1)舞

s(r)=-y^-cos(2n+l>

兀标2〃+1

得证。

2-3设信号s（t）可以表示成

s（（:)=2cos(2兀t+0)-oo<t<oo

试求：

（i）信号的傅里叶级数的系数a；

（2）信号的功率谱密度.

解：（1）由题可知，信号的振幅A=2,基频电:1,周期To:1,且由教材式(2.2-1)得信号s(1)的

傅里叶级数的系数为：

2j212

-『s(/)e-^dz=f285(2"+你-^市

工^J-J^/2J—1/2

丁sin(l-〃)冗+3Jsin(l+〃)7r

n=0,±L±2.-••

(1-W)7t(1+H)7t

得：

ei0n=+1

I—Ln--\

0n=其他

由上式可知，只有n=±l时，G#),可以得出|CJ=i,n=±l,

(2)由教材式(2.2-44)可得sI：t)的功率谱密度为：

尸⑺=£图2%~班)=贸/—为+5(/+/)

2-4设有一信号如下：

2exp(-f)t>0

x(t)=

0t<0

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：(1)x(t)的能量为：

£=Jx2(r)d/=4J。e_2zdr

=-2[叫:=-2(0-1)=2值限值)

因此x(t)是能量信号。

(2)对x(t)进行傅里叶变换，可得其频谱密度为：

X(J)次山二2,e-g2rf"山

=2]re-(l+p^)rT=2

-(1+j275nL」。1+j27y

所以

故X(t)的能量谱密度为：

|X(f)|2=4/(1+4712f2)

2-5求图223所示的单个矩形脉冲(门函数)的频谱(密度)、能量谱密度、自相关函数及其波形、

信号能量。

图223

解：对s(I)进行傅里叶变换，可得其频谱函数为：

T

S(0)=匚s«)e-wdr=任加7”由

V-2

2A.皿丁、4m/以\

=—sin(—)=A7Sa(—)

CD22

则S(l)的能量谱密度为：

E(co)=|S(G)『=^?Sa(—)=^TSa(—)J7Sa(—)

AMAM4

已知能量信号的自相关函数和其能量谱密度是一对傅里叶变换。利用时域卷积特性可得，S(t)的自相

关函数R(T)为高为A、宽为T的两个门函数的卷积，即

f^27'(l-|r|/7')|r|<r

R(r)=sQ)*sQ)N1M.

0其他

其波形如图2-2-4所示

所以s(t)的能量为：A*T

-T0T

图224

上二匚$2⑺由=H(0)=/T

2-6设信号s(t)的傅里叶变换为S(f)=sin(nf)/(nf),试求此信号的自相关函数R、(T)。

解：方法1：该信号的能量谱密度为：

E(/)=|SS「=|咪卜皿.啦

其中

sinM八ri昨1/2

——os(f)=«

01伸/2

显然s(t)是一个门函数。利用时域卷积定理，可得自相关函数RJ工)为：

o-M)|r|«l

凡⑺-s(f)*s(f)-

0其他

方法2：由自相关函数定义式，并参照图2-2-5。

可得：

图225

「id,-l<r<0

7?(r)=L5(r)s(r+r)dr=

l/2-r

Lf0<r<l

■A=

1-r,0<r<l11

2-7已知信号s(t)的自相关函数为

4(r)=ge-期左=常数

(1)试求其功率谱密度匕(f)和功率P；

(2)试画出R,(T)和Ps(f)的曲线。

解：(1)信号s(t)的功率谱密度R(f)为:

且功率P为：

P=RS(0)=k/2

(2)Rs(T)和Ps(f)的曲线如图226所示。

2-8已知信号，(t)的自相关函数R(T)是周期T=2的周期性函数，其在区间(-1,1)上的截断函

数为

RT(T)=1-|T|-1<T<I

试求S(t)的功率谱密度P(f)并画出其曲线。

解：s(t)的自相关函数可表示为：

R(T)=RT(T)*ST(T)

其中

2

RI-(T)oP「(f)=Sa(itf)

M)=F(.w)E(/)=舞«/-靖

=挣卜制

已知功率信号的自相关函数和其功率谱密度是一对傅里叶变换C利用时域卷积特性，可得S(t)的功率

谱密度为：

18

^(/)=^(m(/)=7ZSa2

[n=>-x用心)

41zxsa

其波形如图227的。

P(/)

-2-3/2-1-1/201/2I122/

2-9(1)求正弦信号c(t)=sin((Dot)的频谱(密度)；

(2)已知s(I)OS(co),试求X(I)=s(t)sin(如)的频谱(密度)。

解：(1)由欧拉公式可知

singr=((d%-e-ja°z)

利用102例((9)和傅里叶变挨的频移特性，可得正弦信号的频谱为：

C(io)=jn[6(w+(J)O)-8(w-u)0)]

(2)方法一：由(1)的结果不啖域卷积定理，可得：

s(t)sin(w()t)o[S(co-co())-S(+w())]/(2j)

方法二：因为

j&v

5(/)sinco0r=-^s(z)(e

2J

所以根据傅里叶变换的频移特性可直接得:

s(t)sin((o0l)«[S(co-a)o)-S(co+a)o)]/(2j)

3章答案

思考题

3-1何谓随机过程？它具有什么特点？

答：(1)随机过程是指一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。随机过程可以

从两个不同的角度来说明.一人角度是把随机过程看成对应不同随机试验结果的时间过程的集合.从另

外一个角度来看，随机过程是随机变量概念的延伸，它在任意时刻的值是一个随机变量；

(2)随机过程的特点：

①随机过程具有不可璇1性因为根据随机过程的定义，随机过程相当于任S时刻的T随机变量，随

机也就意味着不可预知性；

②随机过程具有集合性。集合性曷醐机过程相当于由许多个随机变量聚合而成的，不仅仅是一个数量

的叠加。

3-2随机过程的数字特征主要有哪些？分别表征随机过程的什么特性?

答：(1)随机过程的数字特征主要包括均值，方差和相关函数；

(2)三个数字特征分别表现了以下特性：

①均值表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心；

②方差表示随机过程在时刻［相对于均值的偏离程度；

③相关函数衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

3-3何谓严平稳？何谓广义平稳？它们之间的关系如何？

答：(1)严平稳随机过程：若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，即时间平移不影响其任何统

计特性，则称该随机过程为严三稳随机过程；

(2)广义平稳随机过程：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔相关，则

称该随机过程为广义平稳随机过程；

(3)严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不然。因此严平稳随机过程的限制条件要高于广义平稳随

机过程。

3-4平稳过程的自相关函数有哪些性质？它与功率谱密度的关系如何?

答：(1)平稳过程的自相关函数R(T)的性质：

①R(0)=E[42(t)],表示平稳过程&(t)的平均功率；

②R(t)=R(・。)，它是偶函数；

③|R(T)ISR(0),表示R(1)的上界。它的最大值为R(0)；

@R(oo)=E[^2(()]=a\表示平稳过程4(t)的直流功率；

⑤R(0)-R(oo)=o\『是方差，表示平稳过程g(t)的交流功率。

(2)它与功率谱密度是一对傅立叶变换对：

4(/)=匚火(——一

3-5什么是高斯过程？其主要性质有哪些？

答：(1)定义：如果随机过程的任意n维(n=I,2,…)分布均服从正态分布，则称它为高斯过程。

(2)主要性质：

①高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差；

②广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关J办方差

函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平隐的。

所以，高斯过程若是广义平稳的,则也严平稳；

③如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的；

④询过程经过线性变换生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为醐过程，则系

统输出也是高斯过程。

3-6高斯随机变量的分布函数与Q(x)函数以及erf(x)函数的关系如何？试述crfc(x)函数的定义与

颉.

答：(1)高斯随机变量的分布函数F(x)与Q(x)函数以及erf(x)函数的关系：

F(x)=1-Q[(x-a)/G]

―,、11_-Q

尸a)=5+5皿石)

(2)crfc(x)函数的定义与性质：

①erfc(x)是指互补误差函数，erfc(x)=1-erf(x)；

②雌：

a.它是自变量的递减函数；b.erfc(0)=1,erfc(»)

=0,erfc(-x)=2-erfc(x)；

C.对于x>a,互补误差函数与高斯概率密度函数曲线尾部下的面积成正比；

d.当x很大时(实际应用中只要工>2),它可近似为erfc(x).

Xyjn

3-7随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度的关系如何？如何求输出过程的均值、自相关

函数？

答：(1)输出与输入功率谱密度的关系：

(2)输出过程的均值、自相关函数：

①均值：E[[(t)]=aH(0),H(0)为线性系统在f=()处的频率响应，即直流增益；

②自相关函数：R。(力，t2+C=R。(T)，输出过程的自相关函数仅仅是时间间隔T的函数。

3-8什么是窄带随机过程？它的频谱和时间波形有什么特点？

答：(I)若随机过程自(I)的谱密度集中在中心频率(附近相对窄的频带范围△呐，即满足与<<几条

件，且1远离零频率，则称该4(t)为窄带随机过程。

(2)其频谱分布特点是带宽远小于中心频率，时间波形上的特点是呈现出包络和相位随机缓慢变化的正

弦波。

3-9窄带高斯过程的包络和相，立分别服从什么概率分布？

答：一个均值为零、方差为色2的窄带平稳高斯过程自(i),其包络a：(t)的一维分布是瑞利分布，相位

耍(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，(I)与强(1)是统计独立的，即f(空，现)

=f(医)f(管)。

3-10窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？

答：窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性：

(1)一个均值为零的窄带平稳高斯过程4(t),它的同相分量&(t)和正交分量蕊(t)同样是平稳高斯

过程，而且均值为零，方差也相同；

(2)在同一时刻上得到的虞(t)和&(t)是互不相关的或统计独立的。

3-11正弦波加窄带高斯噪声的合成包络服从什么分布？

答：正弦波加窄带高斯噪声的合成包络服从莱斯分布，即

〜、z

/U)=-yexpz>0

片喜f0'相当于X值很小，于是有I。（X）

当信号很小，即A-0时,信号功率与噪声功率的比值=1,

莱斯分布退化为瑞利分布。

当信噪比片方艮大时‘，丽乐有’这时在小附近「（z）近似为高斯分布。

3-12什么是白噪声？其频谱和自相关函数有什么特点？白噪声通过理想低通或理想带通滤波器后的情

况如何？

答：（1）白噪声是指噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数的噪声。

（2）频谱为常数；白噪声仅在时才相关，而在其他任意两个时刻的随机变量都不相关；同时白噪声

的带宽无限，其平均功率为无穷大。

（3）白噪声通过理想低通滤波器后输出为低通白噪声，也称带限白噪声；通过理想带通滤波器后输出为

带通白噪声。

3-13何谓高斯白噪声？它的概率密度函数、功率谱密度如何表示？

答：（1）高斯白噪声是指取值的概率密度分布服从高斯分布的白噪声。

（2）其概率密度函数为高斯函数，其功率谱密度为常数。

314不相关、统计独立、正交的含义名是什么？它们之间的关系如何？

答：3）含义：

①如果两个随机变量的协方差函数为零,则称它们不相关；

②如果两个随机变量的联合概率密度等于它们各自概率密度白谏积，则称它们统计独立；

③如果两个随机变量的互相关函数为零，则称它们正交。

（2）关系：两个均值为零的随机变量如果统计独立，则一定是正交且不相关；两个均值为零的随机变量

正交与不相关等价。三者的严格程度从高到低依次为：统计独立、正交、不相关。

习题

3-1设X是均值a=0、方差,=1的高斯随机变量，试确定随机变量Y=cX+d的概率密度函数f(y),

其中c,d均为常数且c>00

解：由于高斯随机变量X经过线性变换后仍是高斯型，所以Y是高斯随机变量。

Y的均值：E[Y]=E[cX+d]=d

Y的方差：D[Y]=E[(Y-d)21=E[(cX)2]=c2E[(X)2]=c2-o2=c2

根据教材式(3.3-5)可得，Y的概率密度函数为：

3-2设随机过程自(t)可表示成

4(t)=2cos(2加+0)

式中，。是一个离散随机变量，且P(8=0)=1/2、P(0=7t/2)=1/2,试求EgK(1)]及此(0，1)。

解：当t=l时芯⑴的均值为：

EU。(1)]=E[2cos(2jrt+6)]|t=|=2E[cos(2n+0)]=2E[cosO]=2(cosO/2+cos(zr/2)/2)=1

当ti=0,t2=l时(t)的自相关函数为：(0,1)=E[4(0)-^(1)]=E[2cos0cos(2兀

+0)]=E[4COS20]=4(COS20/2+cos2(#2)/2)=2

3-3设随机过程Y(()=X,coso)()t-X2sin(oot,若'与X?是彼此独立且均值为0、方差为砂的高斯随机变

量，试求：

(1)E|Y(t)]、E[Y2(t)]；

(2)Y(()的一维分布密度函数f(y)；

(3)Y(t)的相关函数R(tj,t2)和协方差函数B(tl,t2)o

解：(1)由题意得：

2

E|Y(t)|=E|X]Cosco0t-X2sin(oot]=cos(»)otE[X|]-sina)otE[X2]=0E[Y(t)]=

E[(Xicoswo1-X^sinwot)2]=cos2a)otE[X2]+siira)otE[X2]-sin(2a)ot),E[X]X)]

12

已知E[X]]=E[X2]=0,所以E[X]2]=E[X?]二02。又因为X]和X2相互独立,所以E[X1X2]=E[XJE[X2]

二0,故

22222

E|Y(t)]=(COS(D0(+sin(o()t)o=o

(2)由于A和X?均服从高斯分布，且Y(t)是A和X?的线性组合，因此Y(I)也服从高斯分布。又

Y(I)的方差为：

D[Y(t)]=E[Y2(t)]-E2[Y(t)]=O2

将其代入教材式(3.3-5)得丫(I)的一维概率密度函数为：

1y2

(3)Y(t)的相关函数R(力，12)为：

R(ti,(2)=E[Y(tj)Y(ta)]=E[(XjCOSCDoti-X2sin(o()t|)(X)cos(0ot2-X2sincoot2)I=

22

<y[cosu)0ljcos<o0t2+sinu)ol1sinwot2]=c2cos3。(t|-t2)=c2cos3。(t2-t|)=CCOSCO0T

其中T=t2-h，则B(h,t2)=R(h，t2)-E[Y(t1)]E[Y(t2)]=R(tI,t2).

3-4已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为ax和ay,自相关函数分别为

Rx(T)?QRY(T)0试问两者之和的过程Z(t)=X(t)+Y⑴是否平稳？

解：Z(t)的均值为：

E|Z(t)1=EIX(t)1+EIY(t)l=ax+aY

Z(t)的自相关函数为：

Rz(h，t2)=E[Z(t,)Z(t2)]=E{[X(t1)+Y(t|)][X(t2)+Y(t2)])=E[X(tI)X(l2)+

X(h)Y(t2)+Y(t])X«)+丫(口)Y(12)]=RX(T)+axaY+aYax+RY(T)=RX(T)+

RY(T)+2axaY

可见，Z(I)的均值为常数且自相关函数仅与时间间隔T有关，与时间I无关，所以Z(I)是平稳随机过

程。

3-5设s(t)是一个平稳随机脉冲序列，其功率谱密度为PJf),求已调信号c(t)=s(t)8s3cl的

功率谱密度匕(f)。

解：方法一：设s(I)的自相关函数为R、(T)。

由于s(1)的自相关函数R*(T)和功率谱密度P、(f)是一对傅里叶变换对，所以

,

Rs(T)=F-