椭圆及其标准方程省赛一等奖

211椭圆及其标准方程一、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。M几点说明：1、F1、F2是两个不同的定点；2、M是椭圆上任意一点，且|MF1||MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c（？）；4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F25、如果2a<2c，则M点的轨迹不存在（由三角形的性质知）下面我们来求椭圆的标准方程♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyM二、求椭圆的方程：原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴对称、“简洁”OYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点,且|F1F2|=2c,求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为轴,F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系,则焦点F1、F2的坐标分别为-c,0、c,0。-c,0c,0,y设M（,y为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1||MF2|=2aOYF1F2M-c,0c,0,y两边平方得：a4-2a2cc22=a22-2a2ca2c2a2y2即：a2-c22a2y2=a2a2-c2因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：b22a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：a>b>0这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在轴上。aA1yOF1F2B2B1A2cb三、椭圆方程的两种形式：如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1o,-c、F20,c方程是怎样呢？1oFyx2FM

图形方程焦点F±c，0在Ｘ轴上F0，±c在Ｙ轴上a,b,c之间的关系c2=a2-b2||MF1||MF2|=2a｝2a>2c>0定义12yoFFMx1oFyx2FM四、两类标准方程的对照表：（2）哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上！（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和,右边是1（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2c2。（4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。注意：5433,0、-3,06练习716(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_______，则三角形F1PF2的周长为___________F1F2XYPo2已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;若CD为过上焦点F2的弦，则F1CD的周长为________210,-1、0,12YOF2F1CD例１写出适合下列条件的椭圆的标准方程1a=4，b=1，焦点在轴上；2a=4，b=1，焦点在坐标轴上；

或五、应用举例：例2求满足下列条件的椭圆的标准方程：1两焦点的坐标分别是-4,0、4,0,椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。2两焦点的坐标分别是-2,0、2,0,且椭圆经过点P。课堂练习1：1口答：下列方程哪些表示椭圆？

若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；探究与互动：析：方程表示圆需要满足的条件：1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；探究与互动：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：1、方程，分别求方程满足下列条件的m的取值范围：①表示一个圆；②表示一个椭圆；③表示焦点在轴上的椭圆。探究与互动：析：表示焦点在轴上的椭圆需要满足的条件：解题感悟：方程表示椭圆时要看清楚限制条件,焦点在哪个轴上。练习2：若方程42y2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围。例（1）求焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆的标准方程。2求与椭圆2/5＋y2/4＝1有公共焦点，且过点3,0的椭圆的