数学物理方程 3Bessel 函数

本章主要内容第3章Bessel

函数用分离变量法求解多个自变量的方程，自变量个数3.1二阶线性常微分方程的幂级数解法二阶线性常微分方程的如下形式y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.

f

(x)称为自由项，当

f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程.

当

f(x)恒为

0时，称为二阶线性齐次常微分方程，

简称二阶线性齐次方程.

定理

1

如果函数y1

与y2

是线性齐次方程的两个解，y=C1y1+C2y2仍为该方程的解，其中

C1，

C2

是任意常数.则函数

定义设函数y1(x)和y2(x)

是定义在某区间I

上的两个函数，k1y1(x)+

k2y2(x)

=0如果存在两个不全为0的常数k1和k2，使在区间I

上恒成立.则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.

定理

2如果函数y1

与y2

是二阶线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的两个线性无关的解，y=C1y1+C2y2是该方程的通解，则其中C1,C2为任意常数.

定理

3如果函数y*

是线性非齐次方程的一个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解.Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：

(1)

求线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的线性无关的两个解y1与y2，得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.

(2)

求线性非齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)的一个特解y*.那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.

y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)+f2

(x)，y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)，和y

+p(x)y

+q(x)y=f2

(x)则是方程①

的特解.定理

4设二阶线性非齐次方程为①②③的特解，3.1.1二阶常系数线性常微分方程的解法如果二阶线性常微分方程为y

+py

+qy=f(x)，其中p、q均为常数，则称该方程为二阶常系数线性常微分方程.设二阶常系数线性齐次方程为y

+py

+qy=

0.考虑到左边p，q均为常数，我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r

为待定常数.将y

=rerx,y

=r2erx

及y=erx代入上式，erx(r2+pr+q)=0.二阶常系数线性齐次常微分方程的解法由于erx

0，因此，只要r

满足方程r2+pr+q=0，即r

是上述一元二次方程的根时，

y=erx就是④式的解.方程⑤称为方程④的特征方程.特征方程的根称为特征根.④⑤得1

特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，因而方程的通解为所以y1

与y2

线性无关，都是④的解，即r1

r2.那么，这时函数2

特征方程具有两个相等的实根，即这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个解y1=erx.还需再找一个与y1线性无关的解y2，将y2

及其一阶、二阶导数y

2=(c(x)erx)

=erx(c(x)+rc(x))，为此，设y2=c(x)y1，其中c(x)为待定函数.y

2=erx(c(x)+2rc(x)+r2c(x))，代入方程y+py+qy=0中，得注意到是特征方程的重根，所以有r2+

pr+

q=0及2r

+

p=0.且erx

0，因此只要c(x)满足则y2=cerx就是④式的解，为简便起见，取方程c(x)=0的一个解c(x)=x，于是得到方程④且与y1=erx

线性无关的解y2=xerx.因此，④式的通解为

3

特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=a–ib.这时有两个线性无关的解y1=e(a+ib)x与y2=e(a-ib)x.这是两个复数解，为了便于在实数范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解.由欧拉公式可得于是有由定理1知，以上两个函数eax

cosbx与eaxsinbx

均为④

式的解，且它们线性无关.因此，这时方程的通解为上述求二阶常系数线性齐次常微分方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：(1)

写出所给方程的特征方程；(2)

求出特征根；

(3)

根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.例

1

求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

-2r–3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,

其对应的两个线性无关的特解为y1=e-

x

与y2=e3x,所以方程的通解为

例

2

求方程y

-4y

+4y=0

的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

该方程的特征方程为r2

-4r

+4=0，求得将y(0)=1，y

(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x

与y2=xe2x，所以通解为因此，所求特解为它有重根r=2.例

3

求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为2r2

+2r

+3=0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为例

4

求方程y

+4y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.对应的两个线性无关的解

y1=cos2x.

y2=sin2x.所以方程的通解为注：第二章分离变量法经常出现的两个常微分方程通解为通解为二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法1

自由项

f(x)为多项式Pn(x).设二阶常系数线性非齐次常微分方程为y

+

py

+

qy=Pn(x),其中Pn(x)为x

的n

次多项式.当原方程⑥

中

y

项的系数q

0时，k

取

0；当q

=0，但

p

0时，k

取

1；当p

=0，q

=0时，k取2.⑥因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，所以可设⑥

式的特解为其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，例

5

求方程y

-2y+y

=x2

的一个特解.解

因为自由项f(x)

=x2

是x的二次多项式，则代入原方程后，有且y

的系数q=10，取k=0.所以设特解为比较两端x

同次幂的系数，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为例

6

求方程y

+

y

=x3–x+

1的一个特解.解

因为自由项f(x)

=x3–x+

1是一个x的三次多项式，则代入原方程后，有且y

的系数q=0，p=1

0，取k=1.所以设方程的特解为比较两端x

同次幂的系数：解得故所求特解为2

自由项

f(x)为Aeax

型设二阶常系数线性非齐次常微分方程为y

+

py

+

qy=Aeax，其中a，A

均为常数.由于p，q

为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，其中B为待定常数，

当

a

不是⑦

式所对应的线性齐次方程的特征方程

r2+pr+q=0的根时，取

k=0；当

a

是其特征方程单根时，取

k=1；

当

是其特征方程重根时，取

k=2.⑦因此，我们可以设⑦

的特解当

a

不是特征方程

r2+pr+q=0的根时，取

k=0；当

a

是其特征方程单根时，取

k=1；当

是其特征方程重根时，取

k=2.例

7

求方程y

+

y+y

=2e2x

的通解.

解

a=2不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为.B72=例

8

求方程y

+2y

-3y

=ex

的特解.

解

a=1是特征方程r2+2r

-3=0的单根，取k=1，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为,41=B注：第二章分离变量法出现的非齐次常微分方程P42一个特解为3

自由项

f(x)为eax

(Acoswx+Bsinwx)型设二阶常系数线性非齐次常微分方程为y

+

py

+

qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A

，B

均为常数.由于p，q

为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此,我们可以设⑧有特解⑧其中C，D

为待定常数.取

k=0，是根时，取

k=1。

当

a+wi

不是

⑧

式所对应的齐次方程的特征方程的根时，当

a+wi

不是

特征方程的根时，取k=0当

a+wi

是

特征方程的根时，取k=1例9

求方程y

+3y

-

y

=excos2x

的一个特解.

解

自由项f(x)=excos2x

为eax(Acoswx+Bsinwx)

型的函数，则且a

+

wi

=

1+2i，它不是对应的常系数线性齐次常微分方程的特征方程r2

+3r–1=0的根，取k=0，所以设特解为代入原方程，得比较两端cos2x与sin2x的系数，得解此方程组，得故所求特解为例

10

求方程y

+

y

=sinx

的一个特解.

解

自由项f(x)

=sinx

为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a

=

0，w=1，则代入原方程，得且a

+

wi

=

i

是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，设特解为比较两端sinx

与cosx

的系数，得故原方程的特解为而对应齐次方程y

+

y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为例11

方程y

+4y

=x+1+sinx

的通解.

解

自由项f(x)

=x+1+sinx可以看成f1

(x)

=x+1和f2

(x)

=sinx

之和，y

+4y

=x+1，y

+4y

=sinx.和⑨⑩方程⑨

的特解易求得，设方程

⑩

的特解为的特解.所以分别求方程代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解原方程所对应的线性齐次方程为

y

+4y

=0，其通解为Y=C1cos2x+C2sin2x，故原方程的通解为3.1.2变系数线性方程的幂级数解法定理3.1考虑下面的二阶变系数线性常微分方程

y

+p(x)y

+q(x)y=0(3.1.3)如果p(x)、q(x)在x0的邻域解析，即在该邻域可展成Taylor级数，则方程（3.1.3）有如下形式的解析解其中可由待定系数法求出。例12求解下列方程根据定理3.1，可设解为将该级数求一阶和二阶导数并将y(x),y

(x)和y(x)代入到原方程或，它们都是R上的解析函数。解：本题此即可得将上面的结果代入到得系数全为零解：此题，它们都是R上的解析函数。根据定理3.1，可设，将该级数带入原方程，可得或又代入到（1），可得展开可得系数全为零，可得代入，可得

例13

求解下列方程根据定理3.1，可设解为将该级数求一阶和二阶导数并将y(x),y

(x)和y(x)代入到原方程，它们在(-1,1)解析。解：本题此即系数全为零或将上面的结果代入到得可得作业P76习题3第一题(2)(4)

3.2Bessel函数3.2.1Γ函数记为Γ函数。它对任意有定义，该广义积分收敛。Γ函数具有下面两条性质证明下面求记利用极坐标变换可得所以利用性质还可得到例1计算下列积分解（1）延拓问题，将定义域延拓到定义则在区间（-1,0）有定义。类似可以定义在区间（-2，-1）上的值，如此继续下去，可以扩充到整个实轴（去掉负实数点集），其图象如下：3.2.2

Bessel方程和Bessel函数设，二阶线性常微分方程称为r阶Bessel方程。r阶Bessel方程可以写成利用幂级数解法，待定系数，注意到定理3.2考虑下面的二阶变系数线性常微分方程

y

+p(x)y

+q(x)y=0(3.1.5)如果解析，即，方程(3.1.5)有如下形式的解析解其中可由待定系数法求出。在的邻域最多为p(x),q(x)的一阶和二阶极点。则在该去心邻域令其中和为待定常数。有带入(1)，得即整理，有有即比较前面的系数，可得由于，故有首先取则由（4）可得如果选取，则有代入到得到原方程的一个解此函数称为r阶Bessel函数，通常记如果则由（4）式可得如果选取，则有代入到得到原方程的另一个解此函数称为-r阶Bessel函数，通常记注1

当r为正整数时，例如，取对于，当时的系数等于零。特别r=m(m为正整数)时，有所以，对所有的实数r，都有意义。求解过程失效。

注2

记表达式中幂级数部分的系数为，直接计算可得即表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。类似可证表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。因此，中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。

注3

注意到在x=0右连续而在x=0的邻域无界，故当r>0不等于整数时，是线性无关的，它们构成原方程的一个基解组。当r=m(m为正整数)时，直接计算可得令n阶第一类贝塞尔函数

1

r不为整数时，贝塞尔方程的通解和线性无关n阶第二类贝塞尔函数（Neumann函数）

n为整数时2

r为整数时，贝塞尔方程的通解A、B为任意常数，n为任意正整数作业P76习题3第七题(1)第十三题(3)(4)3.2.3贝塞尔函数的性质性质1有界性

性质2奇偶性

当n为正整数时