2023学年完整公开课版空间角用

空间角的概念及其求法主讲：刘厚顺长沙市周南中学高一数学组长沙市周南中学智慧教学云课堂·高一数学考纲要求会求异面直线所成的角，直线与平面所成的角的大小或它们的一种三角函数值．会求简单二面角大小。知识梳理一、异面直线a，b所成角的定义经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角直角叫做异面直线a与b所成的角或夹角．二、射影自一点与平面α相交又不垂直，则直线m叫做平面α的斜线，交点称为斜足．四、斜线与平面所成的角平面α的一条斜线PA和它在平面α上的射影OA所成的锐角∠PAO，叫做斜线与平面所成的角．平面的垂线与平面所成的角为90°，而直线在平面内或直线与平面平行，此直线与平面所成的角为0°，任意直线与一个平面所成的角的取值范围为：．如图1五、二面角从一条直线AB出发的两个半平面α和β所组成的图形叫做二面角．记作二面角α-AB-β，AB叫做二面角的棱，两个半平面α和β叫做二面角的面．二面角的平面角：在二面角的棱AB上任取一点O，过O分别在二面角的两个面α，β内作与棱垂直的射线OM，ON，我们把∠MON叫做二面角α-AB-β的平面角，用它来度量二面角的大小．如图2二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直．二面角θ的取值范围：θ∈．平面角是直角的二面角叫做直二面角．基础自测1．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为 A．30° B．60° C．90° D．120°解析：二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为两条直线所成的角，所以θ＝60°故选B答案：B3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线DB与B1C所成角的大小为______．4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝a，AA′＝a，则AB′与侧面AC′所成角的大小为考点探究考点一求直线与平面所成角的大小【例1】△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则直线AD与平面BCD所成的角等于 A．60° B．45°C．30° D．15°解析：作AM垂直于CB的延长线于点M，因为平面ABC⊥平面DBC，所以AM⊥，则∠ADM为所求角，且BC⊥DM因为∠ABC＝∠DBC＝120°，所以∠ABM＝∠DBM＝60°又AB＝BD，所以△ABM≌△DBM，所以AM＝DM，在Rt△AMD中，∠ADM＝45°答案：B点评：求空间角的常用的步骤是：一作找，二证，三计算，作找出所求角是计算的基础，求斜线与平面所成的角关键在于作找出斜线在该平面内的射影．变式探究1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． 1求证：平面AEC⊥平面PDB； 2当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．1证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC∴AC⊥平面PDB∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB考点二求异面直线所成的角的大小【例2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________________．法二因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，故A1在平面CDD1C1上的射影为D1，即A1M在平面CDD1C1上的射影为D1M，而在正方形CDD1C1中，由tan∠DD1M＝tan∠CDN＝，可知D1M⊥DN ①又A1D1⊥平面CDD1C1，DN⊂CDD1C1，所以A1D1⊥DN ②由①②可得DN⊥平面A1D1M，所以A1M⊥DN，即异面直线A1M与DN所成的角为90°答案：90°点评：求异面直线的夹角，常用的方法是通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角．变式探究2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AA1＝8 1求证：AC⊥BC1； 2求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．1证明：∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC又∵C1C∥AA1，AA1⊥面ABC，∴C1C⊥面ABC∴AC⊥C1C∴AC⊥面BCC1B1∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AC⊥BC1例3、如图：在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,DE垂直平分SC,分别交AC、SC于D、E，且SA=AB=a,BC=a求：平面BDE和平面BDC所成的二面角的大小。SAECBD考点三求简单二面角的大小课时升华折叠问题与求空间角问题的综合考点四【例4】如下图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE1求证：BE⊥平面ADE；2求BD和平面ADE所成的角的正弦值．3求BD和平面CDE所成的角的正弦值解析：1证明：过D作DH⊥AE于H由平面ADE⊥平面ABCE得，DH⊥平面ABCE，所以DH⊥BE由题意可得AE⊥BE，又DH∩AE＝H，因此BE⊥平面ADE3在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行线交于F，再过B作BG⊥CF于G，连接DG，CH，BH可得BG⊥平面CDE；∴∠BDG为BD和平面CDE所成的角．点评：求空间角的常用的步骤是：一作找，二证，三计算，作找出所求角是计算的基础，异面直线所成的角一般通过作平行线来作出，而直线与平面所成的角最关键的是找一条与平面垂直的