北京理科数学试卷及答案

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.已知集合A={X|X2-2X=0},B={0,1,2}，则AB=（）A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2} ∩.下列函数中，在区间Q+∞）上为增函数的是（ ）A.y=IX+1 B.y=（X-1）2 C.y=2-χ D.y=log05（x+1）ʃX=-1+CoSθ.曲线［y=2+Smθ（θ为参数）的对称中心（）A.在直线y=2X上 B.在直线y=-2X上C.在直线y=X-1上 D.在直线y=X+1上.当m=7,n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A.7 B.42C.210 D.840［开始，输入？Jin匕的值/输出E/［结束］.设{“〃}是公比为q的等比数列，则"q>1"是"{"n'为递增数列的（）A充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件一X+y-2≥0<kX-y+2≥0.若X,y满足〔y≥0且Z=y-X的最小值为-4,则k的值为（）DTA.2 B.-2在空间直角坐标系C.2Oxyz中，已知AG,0,0),BL,0),C(02°),d1,1,三)若SI,S2,S3分别表示三棱锥D-ABC在xOy,yOz,zθχ坐标平面上的正投影图形的S=S=S,、S=SαS≠S面积,则()(A) 1 2 3 (B)1 2且3 1（C）S=SS≠S1 3且3 2（D）S=SS≠S2 3且1 3有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好,学科网且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5填空题（共6小题,每小题5分,共30分）居T=复数11-"J .\o"CurrentDocument".,,_z7ba=1b=（2,1） λa+b=0（λ∈R） ∣λ∣=已知向量a、b满足 ， ，且 ，贝/I .y2万 （2.2） 丁-X2设双曲线C经过点ʌ,且与4=1具有相同渐近线，贝C的方程为.；渐近线方程为 .H尺A*业心七［{a}a+a+a>0a+a<0 {a},,ɔʌ勿若等差数列n满足7 8 9 , 7 10，则当n= 时n的前n项和最大.13.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.14.设函数f(x)=Sin(3X+⑺,［巴,三］A>0,3>0,若f（x）在区间6'2上具有单调性，且f12JG6Jf1卦-f则f（x）的最小正周期为三．解答题（共6题,满分80分）πNB=—,AB=8.（本小题13分）如图，在AABC中， 3，点D在BC边上，且CD=2,cosAADC=17(1)求Sin/BAD(2)求BDAC的长3DC.（本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：场次投指土软命中嫂-Ξ¾1-复 .12 ―一]?一主拓3门 ・主场423 "8 .主由5斛一NtJ一投研强畲中模数言]常一W:门nTI碎37 .蜴 “15 .客场57石一n「（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率.记X是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较E（X）与X的大小（只需写出结论）.（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点，在五棱锥P—ABCDE中，F为棱PE的中点，平面abf与棱PDPC分别交于点G,H.（1）求证：AB〃FG；（2）若PAɪ底面ABCDE，且afɪPE，求直线BC与平面abf所成角的大小，并求线段PH的长.“、 . 八兀f(X)=XCoSX-SmX,X∈[0,一](本小题13分)已知函数 2，JSinX 兀、0a< <b(0,—)求证：f(X)—0；若X在2上恒成立，求a的最大值与b的最小值.(本小题14分)已知椭圆C:X2+2W=4，求椭圆C的离心率.设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线)=2上，且0A10B，求直线AB与圆X2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.P(a,b),(a,b),,(a,b)T(P)=a+b20.(本小题13分)对于数对序列11 22nn，记1 1 1，T(P)=b+max{T(P),a+a++a}(2≤k≤n)廿上k k k—112 k ，其中•••maX{Tk.1(P)，al+a2+ +ak}表示Tk-1(P)和al+a2+ +ak两个数中最大的数，对于数对序列P(2,5)，~4，1)，求TP),T2(P)的值.・♦♦•••记m为a,b,Cd四个数中最小值，学科网对于由两个数对(a,b),(Cd)组成的数对序列P(a,b)，(C，d)和P'(a,b)，(cd)，试分别对m=a和m=d的两种情况比较T2(P)和T(P')2()的大小.(3)在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一T(P) T(P)个数对序列P使5()最小，并写出5()的值.(只需写出结论).数学(理)(北京卷)参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)(1)C(2)A(3)B(4)C(5)D(6)D(7)D(8)B、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)(9)-1X2y2

r- - -1(10)<5(11)3 12 y=±2X(12)8(13)36(14)兀三、解答题(共6小题，共80分)(15)(共13分)COS/ADC=-解：(I)在AADC中，因为 7,Sin/ADC=4L3所以 7所以sin/BAD=sin(/adC一/B)=sinZADCCoSB—CoS/ADCsinBAB∙sin/BADSin/ADB33v38X __1^=34√3(II)在aabd中，由正弦定理得，在AABC中由余弦定理得AC2=AB2+BC2—2AB∙BC∙cosB=82+52—2X8X5X-=492所以AC=7解：(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有S场，分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过D∙6的概率是。.巳(II)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”。32- P(A)=-,P(B)=-则C=abab,a,b独立。根据投篮统计数据， 5 5U_ _P(C)=P(AB)+P(AB)3322=-X—+—X—5555_13=25所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过130.6的概率为25.(ΠI)EX=x(17)(共14分)解：(I)在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB〃DE。又因为ABU平面PDE,所以AB〃平面PDE,因为ABU平面ABF,且平面ABF平面PDF=FG，所以AB〃FG。(H)因为PAɪ底面ABCDE,所以PAɪAB,PAɪAE.如图建立空间直角坐标系A'",则A(OoO),B(IOO)F(2,1,0),p(0,0,2),FQ1,DJ∙AB=0,卜=0,BC=(1,1,0).设平面ABF的法向量为n=(X,y,Z)，则1n∙AF=0,即Iy+Z=0.令Z=1,,则y二一1。所以n=(0,^1,1),设直线BC与平面ABF所成角为a,则sina=CoS:''n,BCn∙BCnBC设点H的坐标为(u,%W),12因为点H在棱PC上,所以可设PH=XPC(0λ1)即(u,V,W—2)=λ(2,1,-2).。所以U2λ,V=X,We=2—2λ因为n是平面ABF的法向量，所以n∙AB=0，即(0,-1,1)∙(2λ,λ,2-2λ)=0。λ=2 (4,∣,∣). ph=/4)2+(I)2+(-4)2=2解得3,所以点H的坐标为33■粗。所以'3 3 3(18)(共13分)解：⑴由f(X)=XCoSX-SinX得f'(X)=CoSX-XSinX-CoSX=-XSinX因为在区间π,2上f'(x)=-xSinX0,所以f(X)在区间-呜1上单调递减。从而f(X)≤f(0)=0SinX a .(H)当X0时，“X”等价于“SinX-aX0SinX bX等价于“SinX-bX0，，YY令g(x)=SinX-CX，贝Ug'(x)=cosX-C,兀X∈(0,一)当CQ0时，g(x)0对任意2恒成立。AX∈(0,—)当C≥1时，因为对任意 2,g(X)=cosX-C 0，所以g(X)在区间2兀X∈(0,—) Y上单调递减。从而g(X) g(0)-0对任意2恒成立。―YX∈(0,一)当0C1时，存在唯一的012使得g(X0)=cosx0-C=0g(x加g'(X)在区间(0,2)上的情况如下:X(0,X)0X0(X,—)02 g'(X)→0→g(X)/\因为g(X)在区间’0,x0∣上是增函数，所以g(X0)g(O)=0。进一步，“g(X)0对X∈(0,—) g(—)=1-—C≥0 0C≤—任意2恒成立”当且仅当2 2，即兀,C≤2 -综上所述，当且仅当兀时，g(X)0对任意―X∈(0,—)2恒成立；当且仅当C≥1时，— JX∈(0,—) Ag(X)0对任意2恒成立。Y sinX 兀、 2ra b X∈(0,—) 一所以，若X对任意2恒成立，则a最大值为—,b的最小值为1.YY X2 V2.——+--=1(19)解：(I)由题意，椭圆C的标准方程为4 2 。所以a2=4,b2=2,从而C√2e e=———C2=a2-b2=2。因此a=2,C=42。故椭圆C的离心率 a2(I)直线AB与圆X2+y2=2相切。证明如下:(X,y) (t.2) XW0设点A,B的坐标分别为00,J',其中0t=-二因为四ɪ0B，所以0A∙OB=0，即tX0+2y0=0，解得 X012

y=— ■当X0=t时，。巳代入椭圆C的方程，得t=±∖''2,故直线AB的方程为X=±、2。圆心O到直线AB的距离d=,<2此时直线AB与圆X2+y2=2相切。当X0≠t时，y—2y-2=y—(X-1)直线AB的方程为 X0-t(20)(y—2)x—(X-1)y+2X—ty=0圆心0到直线AB的距离∣2X-tyJ——0 0<(y0-2"+(X0-t)2又X02+2y02=4,2yt二--→-X0故C2y22X+-ʌ-0X

0X2+y2+,0+40 0X20解：⑴4+x 0X—0—X4+8X2+16—0 θ 2X20=√2此时直线AB与圆X2+y2=2相切。T(P)=2+5=7T(P)=1+max{t(P),2+4)=1+max(7,6)=8d=(II)(In),即000 0 ,d=111T(P)=max{a+b+d,a+C+d}T(P,)=max{c+d+b,C+a+b}

2 2T(P')max{c+d+b,C+a+b}C+d+b当m=a时，2 = =C+u+u因为c+d+b≤c+b+