全国生数学建模竞赛

况下罐内油量和油位高度关系的数学模型，并在此基础上建立了纵向倾角2.14°想，构造评价函数，得到结果0.0055%，误差极其微小，说明了所建模型问题重 问题分 模型假 符号说 模型建立与求 小椭圆型储油罐的罐容表标 罐体无变位时的罐容表标 纵向变位倾斜角α=4.1°时的罐容表标 实际储油罐的罐容表标 油罐内油料体积的计 利用最小二乘法对α、β进行估 误差分析及模型检 模型分 参考文 附 附录一龙贝格积分matlab程 附录二参数估计的C++程 4.1°两种情况进行和在第一问中，需要对倾斜角4.1a

S

油高为h时小椭圆油罐截面面积V Vbody

油高为h时实际储油罐球冠的理论储油量 1，其中a0.89,b0.6 b

y22byyh面面积S(h)h(2a y22yb)dy。无变位时，油罐内剩余油量可视 V(h)Lh(2a y22by 11hb

hb V(h)

41V(x)7.2471010x44.706107x30.002535x22.321x388.11画出V(h与V1(h2论值偏大，且差值会随h的增加而增加。纵向变位倾斜角4.1h1h1S(h)

arcsin 当纵向倾斜角4.1时，为方便运算，将油罐经旋转后放入坐标系进行分析，L1tanhL2tan4h0油罐内油料体积V(h) 1S(h(L1x)tan0②L2tanhML1tan5L1V(h) S(h(Lx) ML1tanhM6如图设h'，h'MhLLtan。于是，设罐内总油量为V

求得空余部分体积V"V(h')

1h'1罐内油料体积

L1S(h'(Lx)tan]ff h设用复合梯形计算积 b

b

ThTh

2则有IT1(h) f(a)f(b)2f(xi)。当f(x)在[a,b]上充分光滑时，可2 用Th逼近I的截断误差是IT(h)ah2ah4 ，其中a是与 F1hF无关的常数。按理查森外推法 F(qh)qpF ,m1, 其中q

m11满足1qpm0(m1, 的适当正数。以q24mT(h)T

取序 (h) m 。其中用 (h)来逼近I的误差 4m O(h2(m1)h=0,1,2,3…119,120带入到V(h10分别作出罐体变位前后的V-h曲线进行对比，模型曲线图如下：为计算储油罐实际变位量，首先建立模型，求得油浮子显示高度与储油量V(的关系，然后通过所给数据估计的具体数值，最后根据倾斜角度和横向偏转角度）Hrrhcos10H1H2tanH2H6tanH13H2010AB点分别作水平圆面，则由几何知识易知Vhead1的“余”部分可以近似补到Vhead2的“缺”部分，则求球头内油体积的问题转化为了求如下图所示的水平面下的球头体积问题[1]。图11是 的情况，其中R是两端封头球径，V headhead深度进行积分即可求出体积V'headR2R2

rsrsds 2h

R2h2s2ds2Sh1 2Rh211R2h2h2R2 R 2V h R2(hcosRcos2tana

0

Shdh 332R33R arctan2R(hcosRcos2tanaR)21 3 arctan2R(hcosRcos2tanaR)21 于是得到于是得到

))

(H2②当H3,H0时，只有 ，此时 V ③当H3时 V V head head r S(t)

arcsin

2rtt

2113dVsy)dx，中间部分体积的计算分一下三种情况H13,H20 8S(y)dx

H18tanS(

tan2ry1 H18tan[r2arcsinry(r 2ry1tan1

r

r2(r [r2(Ry)arcsin r (2ryy2)2r2yr2(r {r2(rH8tan)arcsinrH18tanr2(rH)arcsinr r(rHr(rH8tan

2rH2 2rH2 22

13

311H2)24r2tan1

HH13H20H1H2H和h的关系可求得h0.22，用同“问HVm

S(y)dx 0S(y)dy tan 0[r2arcsinry(r r2tan r2 r2

rH

311H) H2r2Htan11H) H2r2HH13时，与②同理可求得h2.92，此时Vm=中间部分总体积上部空余（1（2）V(,,h)V

(H)

(H

2H1H2tanHH6tan，Hrrh)cos2利用最小二乘法对、以上求出的储油罐中剩余油料体积公式中含有参数、，下面用题中所给其中Vihi时对应的油料体积，与实际数据不符，不能用来对、进行估计。hi时的总出油量vi。hi时，油罐内的实际剩余油量V'Vv；于是得到一系列数据(hi,V')，且这些数据均满足表 NF(,,V0)(V(,,hi)V00问题变为以下最优化问题：求取合适的**、V*，使得0 F(*,*,V*)minF(,,V 面求得的体积函数V(hihi一定时，V(hi随、的范围均为0~90°。然后用C++编程计算三个变量的具体数值。 精度为止。通过该方法计算出、、V0结果如下：02.14°、=4.6°、V=58.980将计算出的、值带入到函数V(hi中，取适当的hi得到实际储油罐油位高度间隔为10cm时的罐容表标定如下表：22（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的函数关系式中，再加上相对应的累量初始值，利用相对标准偏差的思想我们构造评价函数 其通过计算得0.0055%，误差很小，说明所建模型较为准确，基本可以用度）之间的函数关系式中的0,0明体积函数V(,,hi)模型建立基本正确。2007（3）:97- 1998（2：26-2004（2：36姜启源.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003，59-施光燕，董加礼.最优化方法[M].北京：高等教育出版社，1999,63-functionR=romberg(f,a,b,n)formatlong%ROMBERG--ComputeRombergtableintegral%% R=romberg(f,a,b,%% ComputesthecompleteRombergtableapproximationtothe%%/%I=f(x)%%/a%%f-The Assumedtobeafunctioncallable%y=%with`x'in[a,%a-Leftintegrationinterval%b-Rightintegrationinterval%%n-MaximumlevelinRomberg% -Romberg Representedasan(n+1)-by-(n+1) triangularmatrixofintegral%%SEE TRAPZ,QUAD,%NOTE:allindicesadjustedforMATLAB'sone-basedindexing%Pre-allocatetheRomberg Avoidssubsequentre-allocation%isoftenveryR=zeros([n+1,n+%Initialapproximation. R(0+1,0+1)=(b-a)/2*(feval(f,a)+feval(f,b));%FirstcolumnofRomberg Increasinglyaccuratefori=1:n,h=(b-a)/s=fork=1:2^(i-s=s+feval(f,a+(2*k-R(i+1,0+1)=R(i-1+1,0+1)/2+#include<iostream>#include<cmath>#definePI3.1415926usingnamespacedoubler=1.625;doublep1,p2;doubleR=1.5;doublef(double{doubleans=PI*r*r*x/2-PI*x*x*x/6+2*x*sqrt(2.25--2*x*r*sqrt(2.25--(1-3*r+2*r*r*r)*atan(x/sqrt(2.25-+(x*x*x-3*x*r*r)*atan(0.625/sqrt(2.25-returnans;}doubleg(double{ -8*tan(p1))-(x-8*tan(p1))*(x-8*tan(p1)))-R*R*(R-x)*asin((R-x)/R)-sqrt(2*R*x-x*x)-pow((2*R*(x-8*tan(p1))-(x-8*tan(p1))*(x-returnans;}int{doubleH1,V1,H,H2,h1,doubleout,s,t,ans,ansx,ansy,ansz,tt,ss,pppp;doublenumx[1024],numy[1024],left[1024];freopen("in2.txt","r",freopen("out1.txt","w",stdout);numx[0]=0;intk=while(scanf("%lf%lf",&numx[k],&numy[k])=={numx[k]+=numx[k-1];}printf("%d\n",doubleansk=for(intqq=5850;qq<=5950;qq++){doubleq=(double)qq/100;ans=100000000;for(intj=40;j<=60;{for(inti=190;i<=220;{p1(double)i/18000*PI;//角度p2=(double)j/1800*PI;doubletmp=for(into=5;o<=290;{t=numy[o];out=numx[o];t/=1000;out/=H=1.5-(1.5-H1=H+2*tan(p1);H2=H-