物理ii下课件量子

§12.3.1

氢原子光谱的规律性§12.3

氢原子光谱——巴耳末公式1853年瑞典人埃格斯特朗(A.J.Angstrom)测得氢可见光光谱的红线，Å即由此得来。

到1885年，观测到的氢原子光谱线已有14条。瑞士的一位中学教师巴耳末(J.J.Balmer)发现氢原子的线状光谱可见光部分的波长可归纳为如下公式

氢原子光谱：位置稳定的分立的线状光谱红蓝紫6562.8Å4861.3Å4340.5ÅR称为里德伯(J.R.Rydberg)常数广义巴尔末公式为经典物理困难：不能解释电子轨道运动的稳定性。电子作轨道运动具有加速度，要向外发射电磁波，电子能量逐渐减少，最后电子将落入原子核中。(2)

不能解释为什么原子光谱是线状的。电子作轨道运动，由于发射电磁波，能量逐渐减少，轨道半径逐渐变小，发射的电磁波的波长应逐渐改变，原子光谱应为连续谱。§12.3.2

玻尔量子假设解释氢原子线状光谱1.定态假设：原子系统只能有一系列不连续的稳定态，相应的能量取不连续的值E1、E2、

玻尔的基本假设2.频率规则：原子从一个稳定态跃迁到另一个稳定态，同时发射(或吸收)单色光。3.角动量量子化：电子以速度v在半径为r的圆周上绕核运动时，只有电子的角动量L等于

ħ

的整数倍的那些轨道才是稳定的，即n=1n=2n=3n=4从这些基本假设出发，玻尔推导出氢原子的能量公式为

氢原子的能量量子化

当n

时，En

连续值n=1，E1=

-13.6eV

基态

n=2，E2=-3.4eV受激态n=3，E3=-1.5eV受激态0En(eV)r-13.6-3.4-1.5

E>0时氢原子处于电离态，氢原子的电离能为13.6eV。式中叫做玻尔半径，即玻尔原子理论中第一圆轨道的半径。其值为氢原子的能量公式也可写成氢原子的能级公式稍加修改，也适用于类氢离子，例如氦离子He+。He原子核外有两个电子，当它电离失去一个电子后，其结构类似于氢原子，但核电荷数为+2e。以Z

表示类氢离子的核电荷数，则类氢离子的能级公式为把能量公式代入频率条件式，则氢原子光谱的波数为:R：里德伯常数赖曼系：巴尔末系：

帕邢系：6562.8红4861.3蓝紫4340.5也称为里德伯公式

玻尔理论(1913年)是在经典理论基础上加一些新的量子假设，它成功地解释了氢原子线状光谱，作为早期的量子理论，它对量子力学的发展具有重大的先导作用。但是，玻尔理论是有缺陷的，它还远未能反映微观世界的本质。例如，它不能解释多电子原子的光谱，对谱线的强度、宽度也无能为力。讨论

正确的原子结构理论要建立在全新的量子力学基础之上。虽然玻尔理论的一些基本概念，如“定态”、“能级”、“能级跃迁决定辐射频率”等在量子力学中仍是重要的基本概念，但是从量子力学出发，经典意义的轨道对微观原子世界已不适用。例1.处于第一激发态(n=2)的氢原子，如用可见光照射，能否使之电离？解：使第一激发态氢原子电离可见光最大能量：故不能。例2：用能量为12.5ev的电子去激发基态氢原子,问:受激发的氢原子向低能级跃迁时,会出现哪些波长的谱线?解:-13.6eV-3.39eV-1.51eV-0.85eV可见上述电子可把基态氢原子激发到E3能级。由第二激发态(n=3)向低能级跃迁有三种可能；共三条谱线,一条属于巴耳末系,两条属于莱曼系。巴耳末系:(m=2

)莱曼系:(m=1

)§12.4

粒子的波动性与波函数§12.4.1

德布罗意波

(1924年)

(LouisdeBroglie)L.V.deBroglie

(法1892-1986)德布罗意获得1929年诺贝尔物理学奖

从辩证思维出发，法国青年物理学家德布罗意提出，既然光具有粒子性，是否实物粒子如电子也应当具有波动性？

德布罗意假设：实物粒子具有波动性，与粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。——

德布罗意关系

——

德布罗意波长[例]

从德布罗意波导出玻尔角动量量子化条件电子波动反映到原子中，为驻波。解：当电子轨道周长恰为物质波波长的整数倍时，可以形成稳定的驻波(因只有驻波是一稳定的振动状态，不辐射能量)，这就对应于原子的定态。

物质波的概念可以成功地解释原子中令人困惑的轨道量子化条件。(n=1，2，……)爱因斯坦说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角”

“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”由得当

v<<c

时，可以取：其中m0

为物质的静止质量§12.4.2德布罗意波的实验验证1.戴维逊——革末实验(1927年)

(C.J.Davission)

(L.H.Germer)f真空电子枪掠射角INi

单晶U实验装置示意图

电子束在晶体表面上散射的实验，观察到和X

射线衍射相似的电子衍射现象。

使一束电子投射到镍晶体特选晶面上，探测器测量沿不同方向散射的电子束的强度。得由及散射电子束具有波动性，像X射线一样，电子束极大的方向满足布喇格方程晶面间距代入布喇格公式l

=1.65Å镍单晶的原子间距取k=1，由实验公式可得电子的波长该电子的德布罗意波长为当入射电子的能量为54eV时，在f=50o

的方向上，散射电子束强度最大。在实验中，由分析衍射条纹得出的波长与德布罗意波长公式计算结果符合得很好。这证明电子象X

射线一样具有波动性，也同时证明了德布罗意公式的正确性。实验原理2.G.P.汤姆逊(1927年)

电子通过金属多晶薄膜的衍射实验

同年，英国的G.P.

汤姆逊观察到电子束通过金属箔时产生的圆环形条纹。

十年后，戴维逊、汤姆逊因电子衍射实验的成果共获1937年度诺贝尔物理奖。3.

电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验(C.约恩逊1961)单缝双缝三缝四缝1961年，约恩逊进行了电子的单缝、双缝和多缝衍射实验，得出了衍射条纹的照片。4.一切实物粒子都有波动性后来实验又验证了：质子、中子和原子、分子等实物粒子都具有波动性，并都满足德布罗意关系。

自从发现电子有波动性后，电子束德布罗意波长比光波波长短得多。而且极方便改变电子波的波长。这样就能制造出用电子波代替光波的电子显微镜。

从波动光学可知，由于显微镜的分辨本领与波长成反比，光学显微镜的最大分辨距离大于0.2mm，最大放大倍数也只有1000倍左右。由代入解：静止电子经电压U加速后的动能[例]计算被15000V电场加速运动电子的德布罗意波长。电子的德波波长很短，用电子显微镜衍射效应小，可放大200万倍。★一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？[例]求

m=0.01kg，v=300m/s

的子弹的德布罗意波长。h

极其微小

宏观物体的波长小得实验难以测量

“宏观物体只表现出粒子性”问题：那么，粒子性和波动性这两个完全不同的性质又是如何统一到了微观粒子上呢？

12.4.3波函数的统计解释(Probabilitywaveandamplitudeofprobabilitywave)

量子力学建立初期，人们对德布罗意波的意义提出过各种猜测，例如:

电子波是一个代表电子实体的波包，电子本身是弥散于空间的物质波动，电子的波动性是大量电子之间的相互作用等。这些猜测最终都因不能圆满地解释实验现象而不得不放弃。德布罗意波是概率波1926年，玻恩（M.Born）对波粒二象性给出了一种统计诠释，他认为一、德布罗意波是概率波

当入射电子流密度很小时，电子几乎是一个一个入射，在屏上只能观察到几个亮点，它们落在屏上位置是随机分布的，如图(a

)。由于每次电子打在屏上时总是出现一个亮点，所以电子总是“整个”地到达接收点，这显示了电子的粒子性。1.电子双缝干涉实验

但随着时间的推移，打到屏上的电子越来越多，渐渐显现了与光的双缝实验相同的干涉图样,

如图(b

),(c

),(d

)，而干涉现象是波动的主要特征，这显示电子又是一种波动。图12-13电子双缝干涉实验结果(d)(c)(b)(a)电子双缝干涉实验结果(1)入射强电子流(2)入射弱电子流

:底片上很快出现衍射图样，许多电子在同一个实验中的统计结果.

:开始时点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样，一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果2.结论：

概率波的干涉结果根据玻恩概率波的观点，干涉图样中强度大的明纹地方，就是到达那里的电子多，或者说，电子到达那里的概率较大。相反地，暗纹处就是到达那里的电子少,或者说,电子到达暗纹处的概率小。2)

波动性它在空间传播有“可叠加性”，有“干涉”“衍射”“偏振”现象不是经典的波不代表实在物理量的波动1)

粒子性它与物质相互作用的整体性与颗粒性不是经典的粒子没有“轨道”概念3.正确理解微观粒子的波粒二象性要描述微观粒子的运动，应该用一个函数（波函数），它必须能把颗粒性与可叠加性统一起来！少女？老妇？两种图像不会同时出现在你的视觉中粒子,还是波动?3)对比子弹、水波和电子分别通过双缝的理想实验

费曼曾经设计了一个对比子弹、水波和电子分别通过双缝的理想实验，来说明微观粒子与经典粒子和经典波的区别?

对比子弹、水波和电子通过双缝的实验装置原理图：关下缝，子弹通过上缝到达屏上，观察到的子弹密度分布如曲线P1所示。反之,关上缝开下缝，得子弹密度分布曲线P2。将P1与P2叠加，得到曲线P1＋P2。

同时打开缝1和缝2，发射两倍数目的子弹，最后得到的子弹数目分布曲线是曲线P3。显然，曲线P3与P1+P2完全一样，称为“非相干叠加”。即主要表现了粒子性。

设想一下，对于水波的双缝实验，屏上观察到的分布是否与子弹实验结果一样？

因为水波通过双缝时被分为两个相干的次波源，它们在空间将进行相干叠加，所以在屏上将呈现出双缝干涉图样。

电子通过单狭缝后,当时间足够长，屏上接收的电子数越来越多，其分布将形成有规律的单缝衍射图样。

同时打开双缝，电子象子弹那样，只能通过其中一条缝；但是，电子在接收屏上出现的结果却显示出了确定分布的波的干涉图样。

实验结果表明：电子的行为既不等同于经典粒子，也不等同于经典波动，它兼有粒子和波动的某些特性，这就是波粒二象性。二、玻恩对波函数的统计诠释

本身并无物理意义，而波函数的模的平方(波的强度)代表时刻

t、在空间

r

点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。——称为“概率幅”，——称为概率密度。1954年玻恩获诺贝尔物理学奖。1.玻恩假定

为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了波函数。波函数由来描述，它是时间和空间的复函数。在一般情况下，微观粒子的波函数是复函数，它本身并不代表任何可观测的物理量。

那么，波函数是如何描述微观粒子运动状态的？它和粒子在空间各处出现的概率有什么联系？2.波函数应满足的条件：(1)

自然条件：单值、有限、连续(2)

归一化条件：粒子在空间各点的概率总和应为1，即(3)

状态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态，

1，

2···

，则它们的线性组合

=C1

1+C2

2+···

也是该体系的一个可能的状态。其中C1、C2···为任意复常数。

这里是的复共轭，将中的i变成–i即得到。在体积元dV=dxdydz中发现粒子的概率3.对电子双缝衍射实验的说明：

在电子双缝干涉实验中，用波函数和分别表示从缝1、缝2通过电子的状态。两缝同时开启时，电子的波函数为根据玻恩统计假设，屏上发现电子的概率分布为只开缝1时电子出现的概率密度只开缝2时电子出现的概率密度两缝同时打开时还有干涉项，正是产生双缝干涉的原因

玻恩用概率解释把微观粒子的波动性和粒子性统一起来，他的统计诠释可圆满地解释所遇到的实验现象，玻恩的统计诠释成为量子力学的一个基本假设。

波函数本身“测不到，看不见”，是一个很抽象的概念，但是它的模方给我们展示了粒子在空间分布的图像，即粒子坐标的取值情况。当测量粒子的某一力学量的取值时，只要给定描述粒子状态的波函数，按照量子力学给出的一套方法就可以预言一次测量可能测到哪个值，以及测到这个值的概率是多少。

对波恩的统计诠释是有争论的，爱因斯坦就反对统计诠释。他不相信“上帝玩掷骰子游戏”，认为用波函数对物理实在的描述是不完备的，还有一个我们尚不了解的“隐参数”。虽然至今所有实验都证实统计诠释是正确的，但是这种关于量子力学根本问题的争论不但推动了量子力学的发展，而且还为量子信息论等新兴学科的诞生奠定了基础。§12.4.4自由粒子波函数表达式为：

(x,y,z;t)它是由经典力学的波函数引申而来的。一维平面简谐行波写成复数形式将有考虑实物粒子的波粒二象性，有为与经典力学加以区别，

取代y，

0取代A三维空间一维空间运动的自由粒子波函数式中Y0代表归一化常数，E是自由粒子的动能。在非相对论情况下式中m为粒子质量。因为自由粒子不受外力场作用，其动能就是总能量。

在量子力学中，设自由粒子以动量px

沿x

轴方向运动，其德布罗意波的波函数可以写成类似经典平面波表达式的复数形式，只要把其中描述波动性的参量w

和k表示成描述粒子性的参量E和px就可以了。则自由粒子波函数可以写成如下形式[例]

将波函数归一化。计算积分得：则归一化的波函数为:归一化它解：设归一化因子为

A，则波函数为3.分别以频率为n1

和n2

的单色光照射某一光电管。n1>n2(均大于红限频率n0)；则当两种频率的入射光的光强相同时，所产生的光电子的最大初动能E1

E2；为阻止电子到达阳极，所加的遏制电压|Uc1|

|Uc2|所产生的饱和光电流im1

im2。(填>或<或=)l4.以波长为2.0mm的光照射一铜球，铜球放出电子。若将铜球充电，问至少充到