2023年高考数学文一轮复习教案第2章2.10函数模型的应用

2.10函数模型的应用【考试要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．【知识梳理INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\右括.TIF"INET】1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\左括.TIF"INET【思考辨析INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\右括.TIF"INET】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．(√)(4)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(×)INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\左括.TIF"INET【教材题改编INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\右括.TIF"INET】1．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案D解析根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案D3．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”．答案10解析设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.题型一用函数图象刻画变化过程例1(1)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()答案B解析水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快．(2)(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0,0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\右括.TIF"INET】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()答案D解析依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．跟踪训练1(1)(2022·内江模拟)对于下列表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是()x123y35.9912.01A.y＝3×2x－1 B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2答案A解析根据题意，这3组数据可近似为(1,3)，(2,6)，(3,12)；得到增长速度越来越快，排除B，C，对于选项D，三组数据都不满足，对于选项A，三组数据代入后近似满足，则模拟效果最好的函数是y＝3×2x－1.(2)(2022·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是()答案A解析根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方．结合选项只有A选项能够较好的达到目的．题型二已知函数模型的实际问题例2(2022·百师联盟联考)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋80x，0<x≤40，,201x＋\f(3600,x)－2100，40<x≤100，))由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？解(1)由题意可得，当0<x≤40时，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；当40<x≤100时，W(x)＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(201x＋\f(3600,x)－2100))－300＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，所以W(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2＋120x－300，0<x≤40，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，40<x≤100.))(2)若0<x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500，所以当x＝30时，W(x)max＝1500万元．若40<x≤100，W(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800≤－2eq\r(x·\f(3600,x))＋1800＝－120＋1800＝1680，当且仅当x＝eq\f(3600,x)时，即x＝60时，W(x)max＝1680万元．所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元．INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\右括.TIF"INET】(2022·重庆南开中学模拟)某企业自主研发出一款新产品A，计划在2022年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2022年该企业每生产x(千件)A产品，需另投入生产成本R(x)(千元)，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋60x，0<x≤10，,70x＋\f(1800,x)－230，10<x≤40.))(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值(总成本＝研发成本＋生产成本)；(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(千件)的取值区间？解(1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，故生产一件的平均成本为eq\f(Rx＋50,x)元，所以p(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋60＋\f(50,x)，0<x≤10，,70＋\f(1800,x2)－\f(180,x)，10<x≤40，))当x∈(0,10]时，p(x)＝eq\f(1,2)x＋60＋eq\f(50,x)单调递减，故最小值为p(10)＝70，当x∈(10,40]时，p(x)＝1800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,20)))2＋65.5，故最小值为p(20)＝65.5，所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元．(2)由(1)知，要使p(x)≤66只需考虑x∈(10,40]，即70＋eq\f(1800,x2)－eq\f(180,x)≤66，整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，所以当x∈[15,30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元．思维升华求解已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．跟踪训练2(1)“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lgt＋1)，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝eq\f(1,6)P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg61≈1.79)()A．440分 B．460分C．480分 D．500分答案B解析由题意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)＝eq\f(kP,2.79)＝eq\f(1,6)P，∴k≈eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)＝eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是______；②最低种植成本是________元/100kg.答案①120②80解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.题型三构造函数模型的实际问题例3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)()A．4B．5C．6D．7答案C解析设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>eq\f(ln0.6,ln0.9)≈eq\f(－0.511,－0.105)≈4.87，则n>5.87，故至少需要“打水漂”的次数为6.(2)(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________．答案k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤160，,\f(1,30)x－160，160<x<190，,1，x≥190.))(只要写出的函数满足在区间[160,190]上单调递增，且过点(160,0)和(190,1)即可．答案不唯一)解析由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增，设k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160,190]，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(160a＋b＝0，,190a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,30)，,b＝－\f(16,3)，))所以k(x)＝eq\f(1,30)x－eq\f(16,3)，所以k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤160，,\f(1,30)x－160，160<x<190，,1，x≥190.))INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\左括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\左括.TIF"INET【备选INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"D:\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材\\word\\右括.TIF"INETINCLUDEPICTURE"\\\\张春兰\\e\\张春兰\\2022\\一轮\\数学\\数学人教A版理老教材（打包）\\word\\右括.TIF"INET】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解设该旅行团的人数为x，飞机票的价格为y元．旅行社可获得的利润为w元．(1)①当0≤x≤30时，y＝900，②当30<x≤75时，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，综上有y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0≤x≤30，,－10x＋1200，30<x≤75.))(2)当0≤x≤30时，w＝900x－15000，当x＝30时，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；当30<x≤75时，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，当x＝60时，w最大为21000元，∴每团人数为60时，旅行社可获得最大利润．思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．跟踪训练3(1)(2022·常州模拟)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册．要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志不可以定价为()A．2.8元 B．3元C．3.2元 D．3.5元答案D解析依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))万册，则该杂志销售收入为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))x万元，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))x≥22.4，化简得x2－6x＋8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2.(2)(2022·南京模拟)拉面是很多人喜好的食物．师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度．每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团．如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克．第一次拉的长度是1米，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀、质量相等，则最后每根1米长的细丝面条的质量是________．答案3克解析拉面师傅拉7次面条共有27－1＝26＝64根面条，在7次拉面过程中共对折6次，则去掉面的质量为6×18＝108(克)；剩下64根面条的总质量为300－108＝192(克)，则每根1米长的细丝面条的质量为eq\f(192,64)＝3(克)．课时精练1．(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx答案D解析由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．2．有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)，货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是()答案A3．(2022·福建师大附中月考)视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.15…11.21.52.0五分记录y4.04.14.2…55.15.25.3现有如下函数模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lg

eq\f(1,x)，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8答案B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.4．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米答案B解析该女生训练前立定跳远距离为1．84－0.03×eq\f(90－70,5)＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1．84＋0.1×eq\f(105－90,5)＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．5．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y℃，且y＝k·0.9085x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln0.9085≈－0.0960)()A．6min B．7minC．8min D．9min答案B解析由题意可知，当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.9085x＋25.当y＝55时，55＝60×0.9085x＋25，即0.9085x＝0.5，则x＝log0.90850.5＝eq\f(ln

\f(1,2),ln0.9085)＝eq\f(－ln2,ln0.9085)≈eq\f(0.6931,0.0960)≈7，所以茶水泡制时间大约为7min.6．(2022·厦门模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是()A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5eq\f(31,32)小时答案B解析由函数图象可知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－a，t≥1，))当t＝1时，y＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－a＝4，解得a＝3，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3，t≥1，))故A正确；药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝eq\f(1,32)，药物刚好失效的时间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3＝0.125，解得t＝6，故药物有效时长为6－eq\f(1,32)＝5eq\f(31,32)(小时)，注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物eq\f(1,8)小时后每毫升血液含药量为4×eq\f(1,8)＝0.5(微克)，故C正确．7．(2022·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．答案300解析由题意知100＝alog2(1＋1)⇒a＝100，当x＝7时，可得y＝100log2(7＋1)＝300.8．(2022·柳州市柳铁一中月考)著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度为θ0℃，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃，大约需要的时间为________分钟．(参考数据：ln3≈1.1)答案22解析由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，∴e－0.05t＝eq\f(1,3)，∴－0.05t＝ln

eq\f(1,3)，∴0.05t＝ln3，∴t＝eq\f(ln3,0.05)＝20×ln3≈22.9．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))mt(c，m为常数)．(1)求c，m的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？解(1)由题意可列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4m，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8m，))两式相除，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4).))(2)由题意可列不等式≤0.5，所以≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．10．某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元．(1)该车营运第几年开始盈利(总收入超过总支出，今年为第一年)；(2)该车若干年后有两种处理方案：①当盈利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；②当年平均盈利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．问：哪一种方案较为合算？并说明理由．解(1)∵客车每年的营运总收入为30万元，使用x年(x∈N*)所需的各种费用总计为(2x2＋6x)万元，若该车x年开始盈利，则30x>2x2＋6x＋50，即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9，∴该车营运第3年开始盈利．(2)方案①盈利总额y1＝30x－(2x2＋6x＋50)＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22，∴x＝6时，盈利总额达到最大值为22万元．∴6年后卖出客车，可获利润总额为22＋10＝32(万元)．方案②年平均盈利总额y2＝eq\f(－2x2＋24x－50,x)＝－2x－eq\f(50,x)＋24＝24－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤4(当且仅当x＝5时取等号)．∴x＝5时年平均盈利总额达到最大值4万元．∴5年后卖出客车，可获利润总额为4×5＋12＝32(万元)．∵两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短，∴方案②较为合算．11．(2022·衡阳模拟)“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为()A．72小时 B．36小时C．24小时 D．16小时答案A解析当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则eq\f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq\f(216,8)＝27，整理可得e6a＝eq\f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq\f(1,9)×648＝72.12．(2022·南通模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg

eq\f(I,I0).取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m，60m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为()A．10B．100C．200D．1000答案B解析设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lg

eq\f(I1,10－12)，120＝10lg

eq\f(I2,10－12)，两式相减即得20＝10lg

eq\f(I1,I2)，即lg

eq\f(I1,I2)＝2，从而eq\f(I1,I2)＝100，所以n的值约为100.13．如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)，4m，不考虑树的粗细，现在用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2)，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数u＝f(a)的图象大致是()答案C解析设AD＝x米，则CD＝(16－x)米，要将树围在矩形内，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,16－x≥4，))∴a≤x≤12.S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，x∈[a,12]，当0<a≤8时，当x＝8时，Smax＝64，当8<a≤12时，当x＝a时，Smax＝－a2＋16a.综上有f(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64，0<a≤8，,－a2＋16a，8<a≤12.))14．(2022·芜湖模拟)央视某主持人曾自曝，自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”主持人质疑这类问题的合理性．其实这类放水注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量－消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题．例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中