材料力学(孙训方版全套课件)

材料力学同学在学习过程中

要积极学习；不要被动学习；更不要不去学习。高层建筑与大型桥梁桥面结构缆索与立柱桥墩桥面结构

§1材料力学的任务

材料力学是研究工程构件在载荷作用下的内效应,确定构件在正常工作条件下承载能力的科学.第一章绪论及基本概念理论力学：材料力学：刚体力学；研究构件外力与约束力。变形体力学；研究内力与变形。构件构件正常工作的条件：强度：构件抵抗破坏的能力刚度：构件抵抗弹性变形的能力稳定性：构件保持原有平衡形式的能力——组成结构物和机械的单个组成部分足够的强度足够的刚度足够的稳定性不因发生断裂或塑性变形而失效不因发生过大的弹性变形而失效不因发生因平衡形式的突然转变而失效结构——建筑物或构筑物中承受外部作用的骨架称为结构.巨型水泥罐砸扁民工棚12月17日凌晨1时10分，武汉市梅山水泥厂一辆散装水泥罐车，在对汉口花园17号楼工地水泥罐实施灌装过程中，撞击水泥罐支架，造成水泥罐倒塌，将紧邻的武汉天弓建筑工程有限公司民工食堂和1间民工住宿工棚砸塌（该工棚内共住民工23人）。散落的水泥和瓦砾，造成1人死亡、1人重伤、7人轻伤。“肇事”水泥罐高达11米，罐体自重也超过10吨，并装有10吨水泥。事发时，罐体连根拔起，倒地后将一排数十平方米的工棚压成废墟。水泥罐的使用方—17号楼施工单位“武汉丰太”公司员工接受警方调查时表示，该钢结构散装水泥罐由“梅山桥亚”公司提供图纸，“武汉丰太”承建底座。警方现场调查时发现，水泥罐的罐体和支座都有被撞的痕迹，一根支架与底座仅有两个焊点，水泥罐的水泥底座仅有30厘米厚。

(a)材料力学的任务：

研究材料及构件在外力作用下所表现的力学性质，为合理设计构件提供有关强度、刚度、稳定性分析的理论和方法。

30(b)构件受力后，由于塑性屈服引起塑性变形而导致其丧失正常工作能力。试问这种情况是属于强度、刚度、还是稳定性问题？解答：构件受力后，因塑性屈服引起塑性变形，是构件破坏的一种形式。因此，属于强度问题。刚度问题中的变形，一般是指弹性变形。稳定性问题中的原有平衡形态，是指与所受外力相应的变形形式下的平衡形态。人类历史有多久，力学的历史就有多久。“力”是人类对自然的省悟。

§2材料力学与生产实践的关系

经计算,符合现代力学原理.用竹索做成悬索桥，以充分利用竹材的拉伸强度。物理和理论力学:质点:只有质量,没有大小.刚体:有质量,有大小,但没有变形.变形体:有质量,有大小,有变形.质点----刚体----变形体,人类认识的深化.运动的一般规律(质点刚体)§3可变形固体的性质及基本假设

一、连续性假设内容：认为物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质，其结构是密实的。二、均匀性假设

内容：认为物体内任一点处取出的体积单元,其力学性质（主要是弹性性质）都是一样的。

无空隙单元体的力学性质能代表整个物体的力学性能。有利于建立数学模型三、材料的各向同性假设

内容：材料沿各个方向的力学性能是相同的。

四、小变形条件

内容：构件在荷载作用下产生的变形与其原始尺寸相比，可以忽略不计，这样的变形为小变形。FN,ABFN,AC§4材料力学主要研究对象的几何特征

根据空间三个方向的几何特征，弹性体大致可分为：杆空间一个方向的尺度远大于其它两个方向的尺度。板空间一个方向的尺度远小于其它两个方向的尺度，且各处曲率均为零。壳空间一个方向的尺度远小于其它两个方向的尺度，且至少有一个方向的曲率不为零。体空间三个方向具有相同量级的尺度。§5杆件变形的基本形式轴向拉伸与压缩剪切扭转弯曲三角形构架ABC用于支承重物W，如图所示。构架中杆AB为钢杆，两端用销钉连接，构件BC为工字钢梁，在B处销接而在C处用四个螺栓连接。试问杆AB和构件BC将分别产生哪些变形？建立力学模型：认为重量W位于构架ABC平面内，因此可作为平面力系问题来处理。销钉B、C理想化为光滑销钉。C处的螺栓连接，其约束既不像光滑销钉可自由转动，也不像固定端那样毫无转动的可能，而是介于两者之间，并与螺栓的紧固程度有关。§1轴向拉伸与压缩的概念受力特征：外力合力的作用线与杆件的轴线重合变形特征：轴向伸长或缩短第二章轴向拉伸和压缩§2

内力、截面法、轴力及轴力图1、内力的概念固有内力：分子内力.它是由构成物体的材料的物理性质所决定的.(物体在受到外力之前，内部就存在着内力)附加内力：在原有内力的基础上，又添加了新的内力内力与变形有关内力特点：1、有限性

2、分布性

3、成对性2、轴力及其求法——截面法轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆的轴线重合,用符号

ＦＮ

表示内力的正负号规则同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。拉力为正压力为负一直杆受力如图示,试求1-1和2-2截面上的轴力。例题2.1

20KN20KN40KN112220KN20KN20KN20KN40KN11求图示直杆1-1和2-2截面上的轴力FF2F2F1122例题2.2

F2F22F课堂练习：10KN10KN6KN6KN332211FF2112333、轴力图FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F轴力与截面位置关系的图线称为轴力图.F2FF2F2F例题2.3

图示砖柱，高h=3.5m，横截面面积A=370×370mm2，砖砌体的容重γ=18KN/m3。柱顶受有轴向压力F=50KN，试做此砖柱的轴力图。y350Fnn例题2.4

FFNy5058.6kNA=10mm2A=100mm210KN10KN100KN100KN哪个杆先破坏?§3

应力.拉(压)杆内的应力应力的概念

受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度.F1FnF3F2应力就是单位面积上的内力?

(工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。)F1F2ΔADFΔFQyΔFQzΔFN垂直于截面的应力称为“正应力”

与截面相切的应力称为“切应力”

应力的国际单位为N/m2（帕斯卡）1N/m2=1Pa1MPa=106Pa＝1N/mm21GPa=109Pa拉(压)杆横截面上的应力几何变形平面假设静力关系原为平面的横截面在杆变形后仍为平面σ——正应力FN——轴力A——横截面面积σ的符号与FN轴力符号相同试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正

应力.已知横截面面积A=2×103mm220KN20KN40KN40KN332211例题2.5

20kN40kN

图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，

BC杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，

P=10KN，试求AB杆和BC杆横截面上的

正应力。例题2.6

FNABFNBCCdABFa试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN，A=400mm2FDBCAaaa例题2.7

FNAB计算图示结构BC和CD杆横截面上的正应力值。

已知CD杆为φ28的圆钢，BC杆为φ22的圆钢。20kN18kNDEC30OBA4m4m1m例题2.8

FNBC以AB杆为研究对像以CDE为研究对像FNCD实验：设一悬挂在墙上的弹簧秤，施加初拉力将其钩在不变形的凸缘上。若在弹簧的下端施加砝码，当所加砝码小于初拉力时，弹簧秤的读数将保持不变；当所加砝码大于初拉力时，则下端的钩子与凸缘脱开，弹簧秤的读数将等于所加砝码的重量。实际上，在所加砝码小于初拉力时，钩子与凸缘间的作用力将随所加砝码的重量而变化。凸缘对钩子的反作用力与砝码重量之和，即等于弹簧秤所受的初拉力。

在一刚性板的孔中装置一螺栓,旋紧螺栓使其产生预拉力F0,然后,在下面的螺母上施加外力F.假设螺栓始终处于弹性范围,且不考虑加力用的槽钢的变形.试分析加力过程中螺栓内力的变化.书中例题

长为b、内径d=200mm、壁厚δ=5mm的薄壁圆环，承受p=2MPa的内压力作用，如图a所示。试求圆环径向截面上的拉应力。bbFXFFσα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应力αFFF拉(压)杆斜截面上的应力讨论：轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。F切应力互等定理圣维南原理§4拉（压）杆的变形.胡克定律`杆件在轴向拉压时：

沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形

横向尺寸也相应地发生改变——横向变形1、纵向变形xyCOAB△xz线应变:当杆沿长度非均匀变形时ACB△x△δx绝对变形受力物体变形时，一点处沿某一方向微小线段的相对变形当杆沿长度均匀变形时纵向线应变

(无量纲)实验表明：在材料的线弹性范围内，△L与外力F和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。胡克定律在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。：拉抗（压）刚度当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。在计算ΔL的L长度内，FN,E,A均为常数。2、横向变形横向线应变△b=b1－b

泊松比bb1图示为一端固定的橡胶板条，若在加力前在板表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后AB线所在位置是?（其中ab∥AB∥ce）例题2.9

BbeacdAae.

因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向变形△L，B点的位移δB和C点的位移δCFBCALL例题2.10

F图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆的抗拉刚度EA.

B1C1DFCALLaB22刚杆例题2.11

1.已知ε2.已知EA图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知α＝300，杆长L＝2m，杆的直径d=25mm，材料的弹性模量E＝2.1×105MPa，设在结点A处悬挂一重物F＝100kN，试求结点A的位移δA。ααACFB12例题2.12

FNACFNAB图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点处受荷载F作用，试求B点的位移δB。例题2.13

ADFBαaL/2L/2B1§2-5拉（压）杆内的应变能应变能:

伴随着弹性变形的增减而改变的能量应变能密度:

单位体积内的应变能§6材料在拉伸和压缩时的力学性能力学性能———指材料受力时在强度和变形方面表现出来的性能。

塑性变形又称永久变形或残余变形

塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料,如低碳钢

脆性材料：断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料一、材料的拉伸和压缩试验国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2002)LL=10dL=5d对圆截面试样：对矩形截面试样：万能试验机二、低碳钢在拉伸时的力学性能PO△LO残余变形——

试件断裂之后保留下来的塑性变形。ΔL=L1-L0

延伸率：δ＝δ≥5％——塑性材料

δ<5％——脆性材料

截面收缩率Ψ＝

三、其他材料在拉伸时的力学性能锰钢强铝退火球墨铸铁σb是衡量脆性材料强度的唯一指标。b0.2%σεo确定的方法是:

在ε轴上取0.2％的点,对此点作平行于σ－ε曲线的直线段的直线（斜率亦为E）,与σ－ε曲线相交点对应的应力即为σ0.2

.铸铁拉伸dLbbLL/d(b):1---3四、金属材料在压缩时的力学性能国家标准规定《金属压缩试验方法》（GB7314—87)低碳钢压缩压缩时由于横截面面积不断增加，试样横截面上的应力很难达到材料的强度极限，因而不会发生颈缩和断裂。铸铁压缩铸铁拉伸塑性材料和脆性材料的主要区别：塑性材料的主要特点：塑性指标较高，抗拉断和承受冲击能力较好，其强度指标主要是σs，且拉压时具有同值。脆性材料的主要特点：塑性指标较低，抗拉能力远远低于抗压能力，其强度指标只有σb。五、几种非金属材料的力学性能混凝土木材玻璃钢塑性材料冷作硬化后，材料的力学性能发生了变化。试判断以下结论哪一个是正确的：（A）屈服应力提高，弹性模量降低；（B）屈服应力提高，塑性降低；（C）屈服应力不变，弹性模量不变；（D）屈服应力不变，塑性不变。正确答案是（）低碳钢材料在拉伸实验过程中，不发生明显的塑性变形时，承受的最大应力应当小于的数值，有以下4种答案，请判断哪一个是正确的：（A）比例极限；（B）屈服极限；（C）强度极限；（D）许用应力。正确答案是（）BB根据图示三种材料拉伸时的应力－应变曲线，得出如下四种结论，请判断哪一个是正确的：（A）强度极限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；弹性模量E（1）＞E（2）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（B）强度极限σｂ（2）

＞

σｂ（1）＞σｂ（3）；弹性模量E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（1）＞δ（2）＞δ（3）；（C）强度极限σｂ（3）＝σｂ（1）＞σｂ（2）；弹性模量E（3）＞E（1）＞E（2）；延伸率δ（3）＞δ（2）＞δ（1）；（D）强度极限σｂ（1）＝σｂ（2）＞σｂ（3）；弹性模量E（2）＞E（1）＞E（3）；延伸率δ（2）＞δ（1）＞δ（3）；正确答案是（）B关于低碳钢试样拉伸至屈服时，有以下结论，请判断哪一个是正确的：（A）应力和塑性变形很快增加，因而认为材料失效；（B）应力和塑性变形虽然很快增加，但不意味着材料失效；（C）应力不增加，塑性变形很快增加，因而认为材料失效；（D）应力不增加，塑性变形很快增加，但不意味着材料失效。正确答案是（）C关于有如下四种论述，请判断哪一个是正确的：（A）弹性应变为0.2%时的应力值；（B）总应变为0.2%时的应力值；（C）塑性应变为0.2%时的应力值；（D）塑性应变为0.2时的应力值。正确答案是（）C低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种，请判断哪一个是正确的：（）（A）OAB→BC→COAB；（B）OAB→BD→DOAB；（C）OAB→BAO→ODB；（D）OAB→BD→DB。正确答案是（）D关于材料的力学一般性能，有如下结论，请判断哪一个是正确的：（A）脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力；（B）脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力；（C）塑性材料的抗拉能力高于其抗压能力；（D）脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力。正确答案是（）A§7强度条件.安全因数.许用应力1.拉压杆的强度条件强度条件强度计算的三类问题：(1)、强度校核(2)、截面设计

(3)、确定许用荷载§7强度条件.安全因数.许用应力1.拉压杆的强度条件强度条件强度计算的三类问题：(1)、强度校核(2)、截面设计

(3)、确定许用荷载圆截面等直杆沿轴向受力如图示，材料为铸铁，抗拉许用应力＝60Mpa，抗压许用应力＝120MPa，设计横截面直径。20KN20KN30KN30KN20KN例题2.14

30KN

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料面积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）15mF5mF5m5mF例题2.15

采用等截面石柱

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）15mF例题2.15

采用三段等长度阶梯石柱

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）5mF5m5m例题2.15

采用等强度石柱A0：桥墩顶端截面的面积这种设计使得各截面的正应力均达到许用应力，使材料得到充分利用。

图示石柱桥墩，压力F=1000kN，石料重度ρg=25kN/m3，许用应力[σ]=1MPa。试比较下列三种情况下所需石料体积（1）等截面石柱；（2）三段等长度的阶梯石柱；（3）等强度石柱（柱的每个截面的应力都等于许用应力[σ]）F例题2.15

图示三角形托架，AC为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F可沿水平梁移动。为使斜撑杆重量为最轻，问斜撑杆与梁之间夹角应取何值？不考虑BD杆的稳定。例题2.16

设F的作用线到A点的距离为xx取ABC杆为研究对象FNBDBD杆：§8应力集中的概念d/2d/2rDdr构件几何形状不连续应力集中：几何形状不连续处应力局部增大的现象。应力集中

与杆件的尺寸和所用的材料无关，仅取决于截面突变处几何参数的比值。本章作业2－1，2－3，2－6，2－7，2－8，2－13，2－17，2－19，2－22，2－26，2－27，2－5，第三章扭转

§1概述

变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动。受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用着一对力偶，其力偶矩相等、方向相反。扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。

§2薄壁圆筒的扭转1、各圆周线绕轴有相对转动，但形状、大小及两圆周线间的距离不变。2、各纵向线仍为直线，但都倾斜了同一角度γ，原来的小矩形变成平行四边形。横截面上没有正应力。横截面上必有τ存在，其方向垂直于圆筒半径。

每个小矩形的切应变都等于纵向线倾斜的角度γ，故圆筒表面上每个小矩形侧面上的τ均相等。:切应变直角的改变量MennnnMeTL

＝G

剪切胡克定律G:切变模量

§3传动轴的外力偶矩.扭矩及扭矩图外加力偶矩与功率和转速的关系mnmnAB(a)ⅠⅠ扭矩扭矩图nxnTmIIT+右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。扭矩符号规定：mITImIITmITImIIT

图示圆轴中，各轮上的转矩分别为mA＝4kN·m，mB＝10kN·m,

mC＝6kN·m，试求1－1截面和2－2截面上的扭矩，并画扭矩图。例题3.1

1122轮轴轴承6KNm4KNm一圆轴如图所示，已知其转速为n＝300转／分，主动轮A输入的功率为NA＝400KW，三个从动轮B、C和D输出的功率分别为NB＝NC＝120KW，ND＝160KW。试画出此圆轴的扭距图。例题3.2

112233轴的转向3.82kN·m7.64kN·m5.10kN·m平衡吗？

切应力互等定理xyzdxdydz

根据力偶平衡理论在相互垂直的两个平面上，切应力必成对出现，两切应力的数值相等，方向均垂直于该平面的交线，且同时指向或背离其交线。不论单元体上有无正应力存在，切应力互等定理都是成立的。因为切应力互等定理是由单元体的平衡条件导出的，与材料的性能无关。所以不论材料是否处于弹性范围，切应力互等定理总是成立的。若单元体各个截面上只有切应力而无正应力，称为纯剪切状态。试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确。30kN例题3.3

§4等直圆杆扭转时的应力.强度条件MeMe变形几何平面假定dxTTdxIp截面的极惯性矩dxTTdxIp截面的极惯性矩扭转截面系数截面的极惯性矩与扭转截面系数实心圆截面空心圆截面

由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。例题3.4

(A)(B)(C)(D)解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环截面）的剪切弹性模量（G1=2G2），所以内层在二者交界处的切应力一定大于外层在二者交界处的切应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。在答案（D）中，外层在二者交界处的切应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的切应变不为零，根据剪切胡克定律，切应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）因不知道壁厚，所以不知道是不是薄壁圆筒。分别按薄壁圆筒和空心圆轴设计薄壁圆筒设计Dd设平均半径R0=(d+δ)/2空心圆轴设计当δ≤R0/10时，即可认为是薄壁圆筒

一内径d=100mm的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩T=5kN·m，许用切应力[τ]=80MPa，试确定空心圆轴的壁厚。例题3.5

TT圆轴扭转时斜截面的应力AτττAτefef讨论:τττσmaxσminτ强度条件强度计算的三类问题：(1)、强度校核(2)、截面设计

(3)、确定许用荷载已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,

空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。例题3.6

§5等直圆杆扭转时的变形.刚度条件dxTTdxIp截面的极惯性矩

§4等直圆杆扭转时的变形.刚度条件当等直圆杆有两个以上的外力偶作用时，需要先画出扭矩图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总变形。当等直圆杆仅在两端受一对外力偶作用时如图所示阶梯轴。外力偶矩M1＝0.8KN·m，M2＝2.3KN·m，M3＝1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。0.8kN·m1.5kN·m例题3.7

0.8m1.0mABC

图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩M1＝9KN·m，轮2、轮3、轮4为从动轮,力偶矩分别为M2＝4KN·m，M3＝3.5KN·m，M4＝1.5KN·m。已知空心轴内外径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ24。G＝80GPa，［τ］＝60MPa。5kN1.5kN4kN例题3.8

500500500已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻杆入土深度L=40m，G=80GPa，[τ]=40MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。例题3.9

单位长度阻力矩一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。例题3.10

因两杆扭转变形时无相对转动一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。例题3.11

圆杆:矩形杆:

矩形面积与圆形面积相近.但最大应力却增大了一倍,且h/b之值越大，切应力也越大，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。刚度条件

§6等直圆杆扭转时的应变能xyz单元体外力作功应变能密度等直圆杆扭转时的应变能

§7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形自由扭转：非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。约束扭转：横截面可以自由翘曲。横截面的翘曲受到限制。横截面上只有切应力而无正应力横截面上既有切应力又有正应力矩形截面轴扭转时切应力的分布特点角点切应力等于零

边缘各点切应力沿切线方向最大切应力发生在长边中点T分别计算两种截面杆最大切应力圆杆：矩形杆：查表：β＝0.801分别计算两杆截面面积圆杆：矩形杆：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。

一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T=400N·m作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为60mm×20mm，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。轴向拉压扭转内力分量内力分量轴力FN扭矩T应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分量强度条件应力分量强度条件变形公式位移截点或截面的线位移截面的角位移刚度条件应变能本章作业3－1，3－5，3－8，3－9，3－13，3－15，3－20，3－23，第四章弯曲应力

杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴线平面内作用有外力偶时,杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形称为弯曲。

§1对称弯曲的概念及梁的计算简图力学模型X杆轴纵向对称面F1F2FAFB构件几何特征构件为具有纵对称面的等截面直杆yz形心受力特征横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内变形特征杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动对称弯曲构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面X杆轴纵向对称面F1F2FAFB平面弯曲梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合

对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。非对称弯曲构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形梁：以弯曲变形为主的杆件静定梁支座反力可以由静力平衡方程求解的梁超静定梁支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁梁按支承方法的分类悬臂梁3（2）简支梁3（2）外伸梁3（2）固定梁6（4）连续梁4（3）半固定梁4（3）均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力作用在梁上的载荷形式

§2梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图FaABFAFBFAFsxM

使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。符号规定：Fs＞0Fs＜0M＞0M＜0ACDB试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩例题

4.1ACCDBBD向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；截开后取左边为示力对象：向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。

向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；截开后取右边为示力对象：向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、G各截面上的内力。例题

4.2求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力1212343455例题

4.3一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。例题4.4

剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图ABFAFBx图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力图和弯矩图.例题4.5

XkNkNm

图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图.AB例题4.6

35kN25kNX1X22.5kNkNm分布荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系及其应用剪力图是水平直线.弯矩图是斜直线.弯矩图是水平直线.剪力图是斜直线.弯矩图是二次抛物线.

若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.

若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积.+-+

例题4.74.8

kNkNmkNkNm突变规律(从左向右画)1、集中力作用处，FS图突变，方向、大小与力同；M图斜率突变，突变成的尖角与集中力F的箭头是同向。2、集中力偶作用处，M图发生突变，顺下逆上，大小与M

同，FS图不发生变化。作图示梁的内力图例题4.9

kNkNm4.51.55.5kNkNm例题4.10

用直接法作图示梁的内力图例题4.11

kNmkNABCDADBCFBFB’FAMAFD例题4.12

kNkNm叠加法作弯矩图＋FqLFF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL例题4.13

+-+-例题4.14

+-例题4.15

+-结构对称，载荷反对称，则FS图对称，M图反对称结构对称，载荷对称，则FS图反对称，M图对称

§3平面刚架和曲杆的内力图刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。横梁立柱当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。求做图示刚架的内力图qLLABCqLqL/2qL/2例题4.16

求做图示刚架的内力图2kN/m4m4mABC2kN2kN8kN24kNm例题4.17

等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试作折杆的剪力和弯矩图AL1L2F例题4.18

C2rrABF图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图.AB:BC:例题4.19

纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。

纯弯曲时梁横截面上的正应力

§4梁横截面上的正应力.梁的正应力条件实验现象：1、变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线间相对转动了一个角度。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍为平面。MZ:横截面上的弯矩y:到中性轴的距离IZ:截面对中性轴的惯性矩

长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。（压）例题4.20

试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。200100竖放横放例题4.21

图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。例题4.22

梁的正应力强度条件对梁的某一截面：对全梁（等截面）：

长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［σ］=215MPa。kNkNm查表N012.6工字钢WZ=77.5cm3例题4.23

铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ＋］=50MPa，抗压强度［σ－］=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。B截面C截面例题4.24

如果T截面倒置会如何???

铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa，[σ]－＝100MPa。试校核梁的强度是否安全。AB例题4.25

为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ]＝160MPa

，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁1.确定F加在辅助梁的位置FAFB令:例题4.26

为了起吊重量为F＝300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力[σ]＝160MPa

，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁FAFB％％2.确定工字钢型号

图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力[σ]＝160MPa。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷[q]。FAFB梁的强度杆的强度例题4.27

验算题图所示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为0.5kN/m2，工字钢立柱的［σ］＝215MPa。查表:例题4.28

试对图示结构布置图中的L－2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截面，[σ]＝215MPa，已知L－1梁上简支板的荷载设计值为3.5kN/m2。查表:I36a例题4.29

简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。例题4.30

解：1、计算梁底层微段的伸长量2、梁的最底层纤维的总伸长

承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为σmax（a）、σmax（b）、σmax（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。例题4.31

(a)(b)(c)zzzzB

§5梁横截面上的切应力.梁的切应力强度条件kNkNm一、矩形截面梁的切应力假设：1、横截面上的τ方向与FS平行2、τ沿截面宽度是均匀分布的zyFsFs–横截面上的剪力；IZ–截面对中性轴的惯性矩；b–截面的宽度；

SZ＊

–宽度线一侧的面积对中性轴的静矩.

矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。

求σmax,τmax

。细长等值梁例题4.32

二、工字形截面梁的切应力

横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5)％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.hh0t三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力zydDdA为圆环形截面面积

如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置；（2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是一水平面）胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值是多少？ABCDBB最大拉应力发生在B截面上最大压应力发生在Fs=0的截面上ab线上最大切应力发生在BC段

例题4.33

梁的切应力强度条件

最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；

最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为[σ],其许可荷载[F]为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则其许可荷载[F]为多少?若螺栓材料许用切应力为[τ],求螺栓的最小直径.

例题4.34

两梁叠加:两梁用螺栓连接两梁只有一个中性轴将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.梁中性层处切应力中性层剪力

§6梁的合理设计一、合理选择截面形状，尽量增大Wz值1.梁的合理截面

工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理2.根据材料特性选择截面对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值1.合理布置梁的支座2.适当增加梁的支座3.改善荷载的布置情况+三、采用变截面梁四、合理利用材料钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越的

矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5kN，a=1.5m，[σ]=10MPa，试确定此矩形截面h/b的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直径d。例题4.35

解：1、确定WZ最大时的h/b2、确定圆木直径d例题4.36

悬臂梁由两根槽钢背靠背(两者之间未作任何固定连接)叠加起来放置,构成如图示.在载荷作用下,横截面上的正应力分布如图_________所示.FI-I剖面(A)(B)(C)(D)zzD例题4.37

在图示十字形截面上,剪力为Fs,欲求m--m线上的切应力,则公式中,____.A、为截面的阴影部分对轴的静矩，；B、为截面的阴影部分对轴的静矩，；C、为截面的阴影部分对轴的静矩，；D、为截面的阴影部分对轴的静矩，；D例题4.38

若对称弯曲直梁的弯曲刚度EI沿杆轴为常量,其变形后梁轴_____.A、为圆弧线，且长度不变。B、为圆弧线，而长度改变。C、不为圆弧线，但长度不变。D、不为圆弧线，且长度改变。A本章作业4－1，4－2(c)(e)，4－34－4(a)，4－8(a)(e)，4－15(b)(c)，4－19，4－25，4－31，4－36，4－38，4－53，第五章梁弯曲时的位移位移的度量§1梁的位移---挠度及转角ω－挠度θ－转角挠曲线－－梁变形后各截面形心的连线挠度向下为正，向上为负.转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。§2梁的挠曲线近似微分方程及积分梁挠曲线近似微分方程在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。通过积分求弯曲位移的特征：1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。3、积分常数由位移边界条件确定。积分常数C1、C2由边界条件确定XyXy

求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。

例题5.1

边界条件

例题5.2

求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。边界条件

求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。

例题5.3

AC段CB段

求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。

例题5.3

最大转角力靠近哪个支座，哪边的转角最大。最大挠度令x=a转角为零的点在AC段一般认为梁的最大挠度就发生在跨中

例题5.4

画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。

例题5.5

用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数xy边界条件连续条件

例题5.5

用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数边界条件连续条件

例题5.5

用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xy挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数边界条件连续条件L1全梁仅一个挠曲线方程共有两个积分常数边界条件

例题5.5

用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xy

例题5.5

用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件挠曲线方程应分两段AB,BC.共有四个积分常数边界条件连续条件xy§3按叠加原理计算梁的挠度和转角叠加法计算位移的条件：1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。

例题5.6

试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度ωc和梁端截面的转角θAθB.

AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.

例题5.7

计算C点挠度将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半查表

例题5.8

试用叠加法求图示梁C截面挠度.EI为已知。

例题5.9

变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度ωc.

例题5.10

多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.

例题5.11

图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.C处挠度等于弹簧变形。根据对称关系平衡关系叠加法求挠度

例题5.12

悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?(a)(b)(C)(d)AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。§6梁内的弯曲应变能横力弯曲轴向拉压扭转内力分量内力分量轴力FN扭矩T对称弯曲内力分量弯矩M,剪力FS应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线应力状态应力状态应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态强度条件强度条件轴向拉压扭转对称弯曲强度条件变形公式变形公式变形公式轴向线应变单位长度扭转角挠曲线曲率截面位移截面位移截面位移轴向线位移扭转角挠度与转角刚度条件刚度条件轴向拉压扭转对称弯曲刚度条件变形刚度条件变形刚度条件位移刚度条件应变能应变能应变能本章作业5－1，5－3，5－4，5－9，5－13，5－14，5－20，第六章简单的超静定问题1.超静定问题及其解法未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构.未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.

求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理等三个方面.2.拉压超静定问题

一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F,垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的自重不计,求两杆中的内力.L112变形协调方程

例题6.1

列静力平衡方程变形协调方程

图示刚性梁AB受均布载荷作用，梁在A端铰支，在B点和C点由两根钢杆BD和CE支承。已知钢杆的横截面面积ADB=200mm2，ACE=400mm2，其许用应力[σ]=170MPa，试校核钢杆的强度。2m1m2.拉压超静定问题1.8LL2m1m

例题6.2

列静力平衡方程变形协调方程计算1，2杆的正应力

图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为A钢=1000mm2，A铜=2000mm2。当F=200kN，且温度升高20℃时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为E钢=210GPa，线膨胀系数αl钢=12.5×10-6

℃-1；铜杆的弹性模量为E铜=100GPa，线膨胀系数αl铜=16.5×10-6

℃

-1；

例题6.3

例题6.4

3.扭转超静定问题

例题6.5

4.简单超静定梁

例题6.6

图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,[σ]=100MPa.试校核该梁的强度.

例题6.7

列静力平衡方程变形协调方程

例题6.8

试求图示梁的支反力在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定.

例题6.9

结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超静定。

例题6.10

当系统的温度升高时,下列结构中的____不会产生温度应力.

例题6.11

图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用,梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,___是错误的.A.若取支反力FB为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度ωB=0;B.若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1=0;C.若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移ΔC1等于弹簧的变形;D.若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠度ωc等于弹簧的变形。

例题6.12

图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接.在截面C上_____.A.有弯矩，无剪力；B.有剪力，无弯矩；C.既有弯矩又有剪力；D.既无弯矩又无剪力；

例题6.13

等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结构,则_____.A.多余约束力为FC，变形协调条件为ωC=0;B.多余约束力为FC，变形协调条件为θC=0;C.多余约束力为MC，变形协调条件为ωC=0;D.多余约束力为MC，变形协调条件为θC=0;本章作业6－4，6－11，6－15，6－17，6－18，6－1，第七章应力状态和强度理论§1概述低碳钢拉伸试验铸铁拉伸试验问题?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？低碳钢扭转试验铸铁扭转试验问题?为什么脆性材料扭转时沿45º斜截面断开？根据单元体的局部平衡：拉中有剪剪中有拉结论

不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力的三个重要概念应力的点的概念;

应力的面的概念;

应力状态的概念.横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。

单元体平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力指明哪一个面上

哪一点？

哪一点哪个方向面？

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。

就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。应力状态的研究方法应力状态的分类σσττ轴向拉伸σσττ扭转弯曲变形ττσστσσττσxσxσyσyyx三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例§2平面应力状态的应力分析主应力一、公式推导：二、符号规定：α角

由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。正应力拉应力为正压应力为负切应力

使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。例题7.1

在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。例题7.2

分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。

低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。例题7.3

分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。

铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。

应力圆一、应力圆的方程式二.应力圆的画法

在τα－σα坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上应力对应的点a和d

连ad交σα轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。a(sx,tx)d(sy,ty)cAD３、几种对应关系

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；

转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。ADa(sx,tx)d(sy,ty)c点面对应caA转向对应、二倍角对应2αab例题7.4

试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。例题7.5

对于图中所示之平面应力状态，若要求面内最大切应力τmax＜85MPa，试求τx的取值范围。图中应力的单位为MPa。ad

主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力a(sx,tx)d(sy,ty)c例题7.6

已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.1、画各点应力状态图2、计算各点主应力1点2点(处于纯剪状态)3点(一般平面状态)4点例题7.7

自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,.试求此点的主应力及主平面.ad面,db面是该点的主平面.例题7.8

构件中某点为平面应力状态，两斜截面上的应力如图所示。试用应力圆求主应力和最大切应力在应力圆上量取平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩平面应力状态的几种特殊情况扭转弯曲平面应力状态的几种特殊情况

空间应力状态——三个主应力均不为零的应力状态；§3

空间应力状态的概念s1s2s3szsxsytxty至少有一个主应力及