专题复习勾股定理（备课件）八年级数学下册系列（人教版）

专题复习

勾股定理第十七章勾股定理导入新课讲授新课当堂练习课堂小结

八年级数学下册（人教版）

教学课件要点梳理1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2

+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件一、勾股定理3.勾股定理表达式的常见变形：

a2＝c2－b2,b2＝c2－a2，ABCcab二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2

，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数3.原命题与逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.ABCcab例1在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的长；（2）求BD的长．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，（2）方法一：∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴20×15=25CD，∴CD=12．∴在Rt△BCD中，考点一勾股定理及其应用考点讲练方法二：设BD=x,则AD=25-x.解得x=9.∴BD=9.方法总结对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示方法来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.针对训练1.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+AC2+BC2的值为（）A.8B.4C.6D.无法计算A3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为___________.2.如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长为______．13或5134．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，求△ABC的面积.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ab=24，即△ABC的面积为24．例2

我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺，由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.DBCA例3如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解析：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：①沿ABB1A1和A1

B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形，如下：解：

在Rt△ABC1中，

在Rt△ACC1中，

在Rt△AB1C1中，∴沿路径走路径最短，最短路径长为5.化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.方法总结针对训练5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上，它们的底部在地面的水平距离是3米，则梯子可以到达建筑物的高度是______米．4在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，∴AB2＝22－1.42＝2.04.∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，答：卡车可以通过，但要小心．解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点.6.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.（1）此时快艇航行了多少米(即AB

的长)？北东OAB60°45°C解：根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.（2）距离哨所多少米（即OB的长）？北东OAB60°45°C解：在Rt△BOC中，由勾股定理得例4

在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，，2c-b=12，求△ABC的面积．解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k，∵2c-b=12，∴10k-4k=12，∴k=2，∴a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的面积为×6×8=24．考点二勾股定理的逆定理及其应用例5B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8nmile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34nmile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=16（nmile）,乙船航行的距离为BP=30（nmile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90°,∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．8.下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有________．针对训练

(2)(4)

C10.如图，在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C的关系，并加以证明．解：猜想∠A+∠C=180°．连接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得

∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．考点三勾股定理与折叠问题例6如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，求△ABE的面积.解：∵将长方形折叠，使点D与点B重合，∴ED=BE.设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面积为3×4×=6(cm2).方法总结

勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．针对训练11.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为

．

1.75cm考点四本章解题思想方法方程思想

例7如图，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.试求△ABC的面积．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，设DC=x，则BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2=AC2−CD2=64，∴AD=8.∴S△ABC=×9×8=36．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.例8

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．分类讨论思想

题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结例9

有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP.则PM=8-3-2=3(cm)，QM=A1B1=×2×π×2=6(cm)，在Rt△QMP中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路径长是cm．转化思想

1.如图，已知在△ABC

中，∠B

=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一直角边c满足

.【思考】为什么不是？答案：因为∠B

所对的边是斜边.答案：（一）知两边或一边一角型题型一勾股定理的直接应用考题分类

2.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）如果a=3，b=4，则c=

；（2）如果a=6，c=10，则b=

；（3）如果c=13，b=12，则a=

；（4）已知b=3，∠A=30°，求a，c.585（一）知两边或一边一角型答案:（4）a=

，c=.1.如图，已知在△ABC中，∠B=90°，若BC＝4，AB＝x

，AC=8-x，则AB=

,AC=

.2.在Rt△ABC中,∠B=90°，b=34,a:c=8:15,则a=

,c=

.3.（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12,c-b=8,求b,c.答案：b=5，c=13.351630（二）知一边及另两边关系型1.对三角形边的分类.

已知一个直角三角形的两条边长是3cm和4cm，求第三条边的长．注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论．答案：5cm或

cm.（三）分类讨论的题型2.对三角形高的分类.图1图2（三）分类讨论的题型已知：在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求S△ABC．答案：第1种情况：如图1，在Rt△ADB和Rt△ADC中，分别由勾股定理，得BD＝9，CD＝5，所以BC＝BD+CD＝9+5＝14．故S△ABC＝84cm2．第2种情况，如图2，可得：S△ABC=24cm2．

1.在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A．一定不会 B．可能会 C．一定会 D．以上答案都不对A题型二用勾股定理解决简单的实际问题2.如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？AECBD答案：解：设AE的长为x

米，依题意得CE=AC-x,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2.∴在Rt△ECD中，CE=1.5.∴2-x=1.5，x=0.5.即AE=0.5.答：梯子下滑0.5米．答案：是．证明：在Rt△ACB中，BC=3，AB=5，AC=4．DC=4-1=3．在Rt△ECD中，DC=3，DE=5，CE=4．BE=CE-CB=1．即梯子底端也滑动了1米．3.（选做题）一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？Zx```xk答案：1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形.2.在直角三角形中找出直角边，斜边.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.1．证明线段相等.已知：如图，AD是△ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12.求证：△ABC是等腰三角形.答案：证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.∵在Rt△ADB中，AB=10，AD=8，∴BD=6.∵BC=12,∴DC=6.∵在Rt△ADC中，AD=8，∴AC=10，∴AB=AC.即△ABC是等腰三角形.

分析：利用勾股定理求出线段BD的长，也能求出线段AC的长，最后得出AB=AC，即可.题型三会用勾股定理解决较综合的问题【思考1】由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长？请在图中标出来.答案：AD=10，DC=8.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考2】

在Rt△DFC中，你可以求出DF的长吗？请在图中标出来.答案：

DF=6.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.答案：AF=4.【思考3】

由DF的长，你还可以求出哪条线段长？请在图中标出来.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考4】

设BE=x，你可以用含有x的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来.答案：EF=x，AE=8-x，CF=10.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.Z```xxk【思考5】

你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是

.答案：直角三角形△AEF,∵∠A=90°,AE=8-x，

∴

.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考6】

图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？答案：四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程.2．解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边BC沿CE折叠，使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长.【思考7】

请把你的解答过程写下来.答案：

设BE=x，折叠，∴△BCE≌△FCE，

∴BC=FC=10.令BE=FE=x，长方形ABCD，∴AB=DC=8，AD=BC=10，∠D=90°，∴DF=6,AF=4，∠A=90°,AE=8-x

，

∴，解得x=5.∴BE的长为5.3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC的长；（2）S△ABC

.

分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得BC及S△ABC

.3.做高线，构造直角三角形.已知：如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2.求（1）BC

的长；（2）S△ABC

.

答案：过点A作AD⊥BC于D,∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=45°，AB=2，∴AD=BD=.∵在△ABD中，∠ADC=90°，∠C=60°，AD=，∴CD=,∴BC=，S△ABC

=思考

：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？

解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题.思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形.2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中.3.利用勾股定理列出方程.4.解方程，求线段长，最后完成解题.1．下列线段不能组成直角三角形的是（）

A．a=8，b=15，c=17B．a=9，b=12，c=15C．a=，b=，c=D．a：b：c=2：3：42.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）Ａ．CD,EF,GHＢ．AB,EF,GHＣ．AB,CD,GHＤ．AB,CD,EFCEBHDFAGDB题型四勾股定理的逆定理的应用已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC.求四边形ABCD的面积.分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定△ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题.答案：连接AC,∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°.∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC=.∵CD=2，AD=3,∴△ACD是直角三角形；∴四边形的面积为1+.1.有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个角之比为3：4：5；③三边之比分别为7、24、25；④三边之比分别为5：12：13其中直角三角形有（）A.1个