2023学年完整公开课版基本不等式

22基本不等式下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的（一）创设问题情景，抽象重要不等式（二）新知探究一如果用、分别代替结论中的、，则、需要满足什么条件？替换之后我们又会得到了什么结论呢？

通常把上式写作（二）新知探究二如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC=a，BC=b,过C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BDDBACab由相似定理或射影定理可求出CD=，圆的半径为

，则（二）新知探究三结论基本不等式若，则，（当且仅当时取等号）其中叫做的几何平均数，叫做的算术平均数。代数解释：几何平均数不大于算术平均数几何解释：半弦不大于半径例1：判断对错1、由，则。（）2、若，则。（）3、若时，。（）4、函数的最小值为。（）（三）概念辨析解：设矩形菜园的长为ｍ，宽为ｙｍ，则ｘｙ＝１００，篱笆的长为２（ｘ＋ｙ）ｍ．由可得

等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m．例2（１）用篱笆围一个面积为１００m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？积定和最小（四）合作探究（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大的面积是多少？

解：设矩形菜园的长为ｘｍ，宽为ｙｍ，则２（ｘ＋ｙ）＝３６，ｘ＋ｙ＝１８，矩形菜园的面积为xｙ㎡．由可得当且仅当，即时，等号成立．

因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大的面积是81㎡.和定积最大注意：①各项皆为正数；②和为定值或积为定值；③注意等号成立的条件一“正”，二“定”，三“等”结论1两个正数积为定值，则和有最小值结论2两个正数和为定值，则积有最大值基本不等式在求最值中的应用生成结论3在下列函数中，最小值为2的是（）ABCD1．函数＞0的值域为A．－∞，－2]B．0，＋∞C．[2，＋∞D．2，＋∞2．已知m>0，n>0，且mn＝18，则mn的最大值为A．18 B．36C．81 D．243练习CCD1化正型课堂探究学以致用例1．函数<0的值域为A．－∞，－2]B．0，＋∞C．[2，＋∞D．2，＋∞方法：采用添负号变为正数的方法【练】1已知，则的最大值为________．探究：各项为负值，利用基本不等式求最值A-2一“正”，二“定”，三“等”2凑定型学以致用例2．若，函数的最小值为________【练】2已知，则的最小值为________．方法：采用添项使乘积变成定值的方法探究2：构造积为定值，利用基本不等式求最值54例3．若，函数的最大值为____方法：采用配系数使和变成定值的方法2凑定型探究3：构造和为定值，利用基本不等式求最值【练】3已知，则的最大值时的值为_______．ABCD例3．若，函数的最大值为____方法：采用配系数使和变成定值的方法2凑定型探究3：构造和为定值，利用基本不等式求最值B【练】3已知，则的最大值时的值为_______．ABCD探究3：构造和为定值，利用基本不等式求最值【练】4．若，则的最大值为____【练】4．若，则的最大值为____例4已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值探究4：“乘一法”构造积为定值，利用基本不等式求最值例