2-故障诊断的信号处理方法

主要内容信号处理基础知识信号的定义和分类信号的时域分析信号的频域分析旋转机械常用的振动信号处理图形振动监测的基本参数轴心轨迹转子振型轴颈涡动中心位置伯特图、极坐标图（奈奎斯特图）、三维坐标图阶比谱分析全息谱技术信号的时频分析短时傅里叶变换小波分析的基本原理与应用2023/9/251当一台机器出现故障时，会出现各种各样的异常情况，如振动超标、噪声增大、温度和压力改变等，最早是通过有经验的师傅“听、看、摸”来确定机器是否处于正常工作状态，很明显，这有着很大的局限性。现在的人们借助于更先进的各种各样的传感器，来获取更多的有关机器工作状态的信息，这些信息的载体就是信号。通过各种分析手段，可以对获取的信号进行处理、分析、比较、判断，从而为机器故障诊断提供强有力的手段。2023/9/2522.1信号处理基础知识2.1.1信号的定义和分类

定义：信号是表征客观事物状态或行为的信息的载体。信号具有能量，它描述了物理量的变化过程，在数学上可以表示为一个或几个独立变量的函数，可以取为随时间或空间变化之图形。 例如：

噪声信号可以表示为声压随时间变化的函数；一张黑白照片可以用亮度随二元空间变量变化的函数来表示；机械零件的表面粗糙度，可以表示成一个二元空间变量的高度函数。活动的黑白电视图像，像点的亮度除了随平面位置变化之外，还随时间变化，因而是二元空间及时间三个独立变量的函数。

2023/9/253分类：一、确定信号和非确定信号2023/9/254周期信号：简谐信号：准周期信号：

n为整数幅值圆频率初相位非周期信号：往往具有瞬变性，例如，锤子的敲击力、承载缆绳断裂时的应力变化、热电偶插入加热炉中温度的变换过程等信号均属于瞬变非周期信号。非确定性信号：所描述的物理现象是一种随机过程,其幅值、频率和相位变化是不可预知的。例如，汽车奔驰时所产生的振动，飞机在大气流中的浮动，环境噪声等。

锤子敲击力承载缆绳断裂时的应力热电偶插入炉中时的温度变化2023/9/255例：求x(n)=cos(3πn/7-π

/8)之周期。解：2023/9/256含第一类间断点的信号锯齿波矩形脉冲截断信号二、连续信号和离散信号x(t)时间离散而幅值连续时，称为采样信号；时间离散而幅值量化时，则称为数字信号。数字信号是离散信号，而离散信号不一定是数字信号。

2023/9/257三、能量信号与功率信号为从能量的观点来研究信号，假设信号是加在1Ω电阻上的电流，则在时间间隔内电阻所消耗的能量为：

其平均功率为：

当区间（t1，t2）为（）时，能量为有限值的信号称为能量信号，如矩形脉冲、减幅正弦波、衰减指数等信号。能量信号的平均功率为零。周期信号、随机信号等，在区间（）内能量不是有限值，而平均功率P为不等于零的有限值，这种信号称为功率信号。有些信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号又是功率信号。2023/9/258四、时限与频限信号

时域有限信号：在有限时间区间（t1，t2

）内定义，而在区间外恒等于零。例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。而周期信号、指数衰减信号、随机过程等，则称为时域无限信号。

频域有限信号：指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽（f1，f2

），在带宽外恒等于零。例如，正弦信号、sinc(t)函数等为时域无限、频域有限信号。时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。而一个在频域上具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限远处。显然，一个信号不能够在时域和频域上都是有限的。2023/9/2592.1.2信号的时域分析工程中所测得的信号大部分为时域信号，即信号是时间的函数，因此在时间域内对其进行定量和定性的描述、分析，是一种最基本的信号分析方法，这种方法直观、简便，物理概念强，易于理解。

直流项正弦项趋势项用非接触式涡流传感器测得的振动信号就包含了直流和交流两部分，直流分量表示传感器与被测对象之间的平均距离，交流分量代表被测对象的振动位移情况。信号的时域分解为了从时域了解信号的性质或便于分析处理，可以从不同角度将信号分解成简单信号分量之和

一、直流分量和交流分量2023/9/2510ReIm+q+q一个函数被分解为若干个矩形脉冲之和。当矩形脉冲宽度无穷小时，这个函数就是无穷多个脉冲分量之和。旋转矢量的实部就是信号在时刻t的值，而其虚部除了可以用来表示信号的相位外，没有其它意义。二、脉冲分量三、实部分量和虚部分量2023/9/2511四、正交函数分量信号可以用正交函数集来表示，即：

各分量的正交条件为：如果取三角函数集为正交函数集，那么正交分解就是傅里叶级数展开。图中曲线就可以用下列函数表示：2023/9/2512信号的时域统计

均值表示集合平均值或数学期望值，它描述了信号的静态量或直流分量。基于随机过程的各态历经性，均值可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即：

信号的均方值，也称为平均功率，它的平方根称为有效值或均方根值，具有信号幅值的量纲，是反映确定性信号作用强度的主要时域参数。均方值的数学表达式为：信号的方差定义为：

方差是信号相对于均值波动的动态分量，反映了信号的分散程度，对于零均值信号，其均方值和方差是相同的。称为均方差或标准差。可以证明：

2023/9/2513时域相关分析

相关是指客观事物变化量之间的相依关系。以两个变量x和y之间的关系为例，如果它们都是确定性的变量，则为函数关系；如果它们都是随机变量，则为一种相关关系。将它们对应的变量对（x,y）画在坐标平面上，若图呈不规则分布，表明随机变量x和y没有什么相关关系。由概率统计学可知，两个随机变量x和y之间的相关性可用相关系数来描述，即：2023/9/2514相关函数

如果所研究的随机变量x,y是一个与时间有关的函数，即x(t)与y(t)，如果令两个信号之间产生时差t，就可以研究两个信号在时差中的相关性，因此相关函数的定义为：互相关：自相关：信号x(t)和它的时延信号y(t)=x(t-T)2023/9/2515相关函数有如下性质：1)自相关函数是的偶函数，满足下式：

互相关函数不是的偶函数，也不是奇函数，而是满足下式：

2）时，自相关函数具有最大值，此时，能量信号为：

显然，在点，功率信号的平均功率就等于自相关函数。如果均值，则此时信号的平均功率、自相关函数、方差都相等，即。3)周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息，例如，正弦信号的自相关函数为。4)两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。例如，两正弦信号与的互相关函数为：。5)两个非同频的周期信号互不相关。6)随机信号的自相关函数将随值增大而很快趋于零。2023/9/2516相关分析的工程应用输油管道泄漏点信号的相关分析由此可以确定两传感器中点至泄漏点的距离为：式中，为声波在管道中的传播速度。2023/9/2517利用互相关函数准确地求出含噪信号中某一谐波成分的相位信息在动平衡、振动的全息谱分析中很有用处。如：正常情况下旋转机械转子的振动信号主要成分是与转速同频的工频分量，但也必然混有其它谐波成分和随机噪声，致使工频分量的相位较难分辨。利用互相关函数消除噪声的具体做法是：在转轴周向的某个部位上贴一反光片作为基准脉冲信号，转轴每转一圈，光电传感器就得到一个脉冲信号。再设立一个与基准信号同相的正弦信号和一个余弦信号，从转轴测得的振动信号可用如下形式表述：由此可直接获得同频振动信号的幅值及其相对于基准信号的相位：

将采样得到的整周期信号x3(t)分别与x1(t)和x2(t)作相关分析，根据互相关函数的同频相关、不同频不相关的性质，可得：2023/9/25182.1.3信号的频域分析

我们知道，信号的频域特性往往具有很强的物理意义，例如光线的颜色是由频率决定的，声音音调的不同也在于频率的差异，可见频率特性是信号的客观性质，在很多情况下，它甚至比信号的时域特性更能反映信号的基本特性。为此，进行信号分析时，常常需要将信号的时域描述（即信号是时间变量的函数）通过数学处理变换为频域描述（即信号以频率为独立变量），并进行相应分析，这种方法称为频谱分析。对于周期信号，可以用傅里叶级数展开的方法，将时域信号变换为频域信号，变换后的信号以幅值来表示的称为幅值谱，以相位来表示的称为相位谱，以能量来表示的称为功率谱。对于非周期信号，信号的时频变换用傅里叶变换进行，变换后的信号相应地称为幅值谱密度、相位谱密度、功率谱密度。2023/9/2519周期信号的幅值谱、相位谱、功率谱从数学分析已知，任何周期函数在满足狄利克莱（Dirichlet）条件下，可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如果正交函数集是三角函数集(，)或复指数函数集()，则可展开成为傅里叶级数，其三种数学表达式分别为：频谱分析是对傅里叶级数展开后的系数进行分析：、的关系称为幅值谱的关系称为相位谱由形成的关系称为功率谱2023/9/2520任何周期信号都可以用一系列的简谐信号组合而成，而任一简谐信号又可以用一单向旋转矢量来表示。幅值谱具有下列性质：1）谐波性，各次谐波频率比为有理数。即周期信号可以用有限或无限多个频率为基频整数倍的谐波信号来表示。2）离散性，即幅值谱是一条条离散的谱线。3）收敛性，即各次谐波分量随频率增加而衰减。2023/9/2521例：周期矩形脉冲信号，求其复数形式的幅值谱和相位谱。在一个周期内信号可表示成：解：复数形式的傅里叶级数展开式为：其幅值与相位分别为：2023/9/2522非周期信号的幅值谱密度（傅立叶变换）

非周期信号可以看作为周期是无穷大的周期信号，不能直接用傅立叶级数展开来进行时频变换，但非周期信号一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。故这种信号时频变换的数学手段可以是傅立叶变换，时域信号与其傅立叶变换构成时域、频域变换偶对，其表达式为：由于非周期信号的周期，基频，所以它包含了从零到无穷大的所有频率分量，此时幅值谱上的谱线无限密集而演变成连续的频谱，同时，由于，谱线的幅值趋于零而变成无穷小量，所以周期信号的频谱不能再用幅值表示。单位频率信号的幅值为，很明显，X(w)具有单位频率的幅值的量纲，而且与单位频率的幅值只差一个常数，为此选用X(w)作为非周期信号的密度函数。幅值谱密度相位谱密度傅立叶系数：2023/9/2523例：矩形脉冲信号的频谱分析其傅里叶变换：幅值谱密度和相位谱密度为：2023/9/25242023/9/2525周期信号的傅里叶变换周期信号的周期为，基频，其傅里叶级数展开式为：那么，的傅里叶变换为：其中：冲激函数δ：2023/9/2526离散傅里叶变换和快速傅里叶变换在工程实际中，使用最多的是离散傅里叶变换和快速傅里叶变换。离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简称DFT）一词并非泛指对任意离散信号取傅里叶变换或傅里叶级数，而是为适应计算机计算傅里叶变换而引出的一个专用名词，所以，有时称DFT是适用于计算机进行数字计算的FT。这是因为，对信号进行傅里叶变换或逆傅里叶变换（IFT）运算时，无论在时域或在频域都需要进行包括（）区间的积分运算，而若在计算机上实现这一运算，则必须做到：1）把连续信号（包括时域、频域）改造为离散数据；2）把计算范围收缩到一个有限区间；3）实现正、逆傅里叶变换。离散傅里叶变换快速傅里叶变换FastFourierTransform，简称FFT为解决离散傅里叶变换运算量过大而提出的改进计算方法。一般由计算机软件实现。2023/9/2527快速傅里叶变换中的参数选择信号采样连续时间信号的离散化过程称为采样，它是将连续的信号x(t)按一定的时间间隔Dt逐点取其瞬时值。

采样频率：采样时间间隔的倒数时域分析时采样频率越高，信号的复原性越好，可取采样频率为信号最高频率的10倍。但由于有些信号分析设备的采样点数有一定的限制，采样频率高，所采用的信号记录长度就短，会影响信号的完整性。采样频率一般取：fs≥2fc采样点数采样点数越多，越接近原始信号。采样频率确定后，信号中最低频率越低，所需采样点数就越多，反之，采样频率和采样点数确定后，所能分析的最低信号频率也就确定了，这就是频率分辨率。信号的记录长度和频率分辨率

采样点数记录时间长度频率分辨率2023/9/2528为了FFT算法的方便，采样点数一般取2的幂数，如256、512、1024等，否则会产生泄漏，影响变换精度。2023/9/2529FFT中的信号分辨率：2023/9/2530随机信号的功率谱密度功率信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅里叶变换。又因为随机信号的频率、幅值、相位都是随机的，因此从理论上讲，一般不作幅值谱和相位谱分析，而是用具有统计特性的功率谱密度来作谱分析。功率信号的平均功率可用均方值来表示，即：如果x(t)的傅里叶变换为X(w)，那么，在频域中也可类似地对各个频率成分的幅值进行平方，把它们看成是部分能量的携带者。对于同一信号，时域和频域的能量是应该相等的，因此有：令：则平均功率为：称为功率谱密度函数2023/9/2531由于功率信号很难直接进行傅里叶变换，因此，进行功率谱密度分析时，往往要借助相关函数。平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数是一傅里叶变换偶对，即因为自相关函数是偶函数，所以为非负实偶函数。在上式中，谱密度函数定义在所有频率域上，一般称为双边谱。在实际应用中，由于负频率没有实际的物理意义，故只取其正频率部分的谱，为保持功率不变，将正频率部分的谱值乘以2，称为单边功率谱密度函数，即。2023/9/2532在实际应用中，常用谱密度的幅值和相位来表示，即：互谱密度函数：单边互谱密度函数：互谱密度不像自谱密度那样具有功率的物理意义，引入互谱这个概念是为了能在频率域描述两个平稳随机过程的相关性。在实际中，常利用测定线性系统的输出与输入的互谱密度来识别系统的动态特性。2023/9/2533相干函数与频率响应函数

利用互谱密度函数可以定义相干函数及系统的频率响应函数，即相干函数是谱相关分析的重要参数，特别是在系统辨识中，相干函数可以判明输出y(t)与输入x(t)之间的关系。当时，说明y(t)与x(t)完全相关；当时，表明测量过程中有噪声干扰，或可能存在系统的非线性等。对H(w)作逆傅里叶变换，即可求得描述系统时域特性的单位脉冲响应函数h(t)。2023/9/25342.2旋转机械常用的振动信号处理图形

旋转机械的核心部件是转子，转子的主要振动形式有强迫振动和自激振动。强迫振动是由于质量不平衡、连轴器不对中以及安装不正确引起的轴弯曲等因素造成的，强迫振动的频率一般为转速频率或转速频率的整倍数。自激振动主要包括油膜半速涡动、油膜振荡、流体激振以及由内阻尼或干摩擦而引起自激振动等等。自激振动一般都是典型的非线性振动，振动信号中包含了丰富的频率成分。2023/9/25352.2.1振动监测的基本参数振动的时间历程机械振动是时间的函数，通常用以时间为横坐标、以振动体的某一振动量（位移、速度或时间）为纵坐标的曲线图来描述振动的运动规律，称为振动的时间历程。振幅振幅是表示振动严重程度(烈度)的一个重要指标。振幅可以是振动位移幅值、振动速度幅值或振动加速度幅值。振幅的大小通常用用三种指示值表示：峰值、有效值和平均值，峰值又包括单边峰值和峰峰值，有效值就是振动量的均方根值，位移的有效值代表了振动系统的势能含量，速度的有效值代表了振动系统的动能含量，加速度的有效值代表了振动系统的功率谱密度的含量。振动频率振动频率可以用来探寻机器各种外来激励力的来源，判断机器是否处于正常工作状态。旋转机械的振动频率一般用转速的倍(分)数表示。1倍(1x)转速频率指振动频率与机器转速相同，2倍(2x)转速频率指振动频率为机器转速的二倍，依此类推。相位振动信号的相位可以用来判断机器振动时各零部件之间的相对运动方位以及激励力与响应之间在时间上和空间上的关系。相位一般用（）表示，单位是“度”或“弧度”。2023/9/25362.2.2轴心轨迹轴心运动轨迹一般是指轴心相对于轴承座在其与轴线垂直的平面内的运动轨迹，简称轴心轨迹。这一轨迹是一平面曲线，比之振幅或幅频曲线，它更加直观地反映了转轴的运动情况。轴心轨迹的形状，直接而形象地描述了机械转子的运动状态，是获取诊断信息的有效手段，因此在旋转机械的故障诊断中具有重要作用。此外，轴心轨迹还可以用来确定转子系统的临界转速、空间振型。油膜振荡油膜涡动临界转速附近2023/9/2537轻度碰摩严重碰摩中度碰摩2023/9/2538转子振型所谓振型，是指转子轴线上各点的振动位移所连成的一条空间曲线。转子的振型在机器动力学特性评价和故障诊断中是非常重要的，由振型曲线可以确定转子振动的节点位置；在挠性转子的动平衡中，也往往需要知道转子的振型曲线。2023/9/2539轴颈涡动中心位置对于由滑动轴承支撑的转轴而言，在各种激扰力作用下，其轴颈中心是绕着某一中心点振动的，这一中心点就是轴颈的涡动中心位置。轴颈涡动中心位置是随着转速和载荷不同而变动的，这里的载荷主要是指轴承所承受的径向载荷，而不是指转轴的输入输出扭矩。x方向中心位置2023/9/2540波特图波特图的概念来自系统的频响函数，它是描述转子在某一频带下振幅和相位随转速变化的关系曲线。振幅可以是位移、速度或加速度，频带一般为转子的转动频率。由波特图可以得到有关转子系统的一些基本性能：1）确定转子系统在各种转速下的振幅和相位。2）确定转子系统的临界转速。3）了解转子在升速和降速过程中，是否还有其他部件（如基础、静子等）发生共振。4）作为评定柔性转子平衡质量的依据。5）了解转子系统的阻尼大小。6）对比系统在不同时段的波特图，可以判断是否存在动静摩擦或热弯曲等故障。2023/9/2541极坐标图极坐标图是把转子的振幅与相位随转速的变化关系用极坐标的形式表示出来，用一旋转矢量的端点代表转子的轴心，该点在各个转速下所处位置的极半径代表轴的径向振幅，该点在极坐标图上的角度就是相位角。1）利用极坐标图上每一种转速所对应的矢量位置，可以找到转子上不平衡质量的方位。2）同一转速时，在转子轴向的几个截面上用极坐标图同时观察，可以看到转子工作时的空间振型。3）机器的振动信号中包含了弯曲轴转动时的幅值和转轴本身的振动幅值，要把这两种幅值分开，用极坐标图来观察就非常清楚。4）转子以外的元件振动，如管道、联轴节、机壳和基础对转子产生的谐振作用，随着转速变化，旋转矢量点的轨迹会在极坐标图上出现一个个干扰小圆圈，而在波特图上就难辨别出这些干扰信号。临界转速2023/9/2542三维坐标图（三维瀑布图）三维瀑布图是一种用于转子动态过程故障的一种诊断方法。它要求测出转子在不同转速下的谱图，谱图可以是幅值谱密度图或自功率谱图，把这些谱图按转速大小顺序排列在同一张图上，这样就在转速-频率平面上定义了一个三维谱阵图，又称为“级联图”、“瀑布图”。

2023/9/2543阶比谱分析阶比谱是一种研究旋转机械振动特征的、在频谱分析基础上发展起来的信号分析技术，特点是充分利用转速信号，因为旋转机械的振动信号中多数离散频率分量与主旋转频率（基频）有关。具体方法是，将频谱图横坐标的每个频率值除以某个参考频率值（通常取转速频率），这样，横坐标就变成了无量纲的阶比，原来的频谱也就变成了阶比谱（OrderRatioSpectrum）。为了实现阶比谱分析，在数据采集阶段必须保证等转角间隔采样，而不是通常的等时间间隔采样。为保证采样频率能够跟随转速变化，需要有专门的装置和传感器，根据转速信号提供相应的采样时钟脉冲，转速变化，采样频率随之而变，从而实现等转角采样。2023/9/2544全息谱技术全息谱技术实质上是多传感器信息融合在大机组监测和诊断中的一种体现。它是在FFT算法的基础上，通过内插技术，精确求得按自由方式(非等转角间隔整周期)采集的振动信号的幅值、频率、相位值，然后将转于截面水平和垂直方向振动信号的幅值、颠率、相位信息进行集成，用合成的一系列椭圆来刻画不同频率分量下转子的振动行为。全息谱分析包括二维全息谱、三维全息谱和全息瀑布图。

二维全息谱合并了两张幅值谱和两张相位谱的信息，不仅反映了两个方向上振动信号的幅值，而且也反映了它们之间的相位关系，在各阶的图形上还标明了合成方向和起始点，这些起始点的位置反映了各阶振动的初始相位。在二维全息谱上，一根直线是由两个相位差为0或180的垂直和水平分量合成的，直线的倾角取决于两分量的比值，当两个分量的幅值相等并且相位差为90或270时，在二维全息谱上合成一个圆，在其余情况下，二维全息谱将得到偏心率不同的椭圆，椭圆的偏心率和长轴方向也不同程度地表征了该分量的振动情况。2023/9/2545二维全息谱应用实例2023/9/2546三维全息谱可以表示多个截面上同一阶分量的振动轨迹、它们之间的相位关系以及轴心线上出现的节点。2023/9/2547瀑布图是分析大型回转机械起动和停车过程的有效工具，它实质上是升速或降速时各个幅值谱的叠置，全息瀑布图则是升速或降速时各转速下二维全息谱的叠置。由于它综合了垂直和水平方向振动的幅值和相位，与传统的瀑布图相比更加有效地揭示了大型回转机械起动和停车时的振动特性。全息瀑布图2023/9/25482.3信号的时频分析短时傅里叶变换（STFT）某旋转机械在不平衡和脉冲激励下的时域响应2023/9/2549工频分量某旋转机械不平衡和脉冲激励响应的傅里叶变换结果倍频分量脉冲响应结果？？2023/9/2550短时傅里叶变换结果矩形窗内信号的傅里叶变换结果2023/9/2551被截断的信号：

STFT：th中心：宽度半径：2023/9/2552傅里叶变换的谱分析有它的局限性，其本质是一种全局变换，即要么完全在时域，要么完全在频域，它们无法表述信号的时频局域性质，而时频局域性质恰恰是非稳态信号最根本和最关键的性质，因此这种变换只能适用于稳态信号的分析。事实上，许多机械常常是在变速和变工况下运行的，例如各种车、船、飞机、起重设备、加工装置都是经常在开、停、升降速的过程中工作的。机器的非稳态信号包含着比稳态信号更丰富的信息，可以反映更多的系统特性。例如，旋转机械的转子过临界转速时的信号就充分体现了转子系统各方面的特性，可以用来识别转子的裂纹故障、系统的临界转速及阻尼等。对非稳态的时变信号进行分析的方法统称为时频分析法。时频分析法不是仅在时域或频域上对信号进行分析。它是将时域和频域组合成一体，通过时间轴和频率轴两个坐标组成的相平面（亦称时频相平面），得到整体信号在局部时域内的频率组成，或者看出整体信号各个频带在不同时间上的分布和排列情况，它的主要特点体现在对时间和频率的局部化上面。STFT和小波变换都是线性时频分析法。2023/9/25531.STFT窗函数的要求：

紧支集（即为有限长度）的或很快趋于零的函数。2.短时傅里叶变换的的时间-频率分辨率理想的时间分辨率：选择d(t)函数作为窗函数。理想的频率分辨率：选择不变窗g(t)=1函数作为窗函数。根据短时傅里叶变换的定义可以知道，如果要求有较高的时间分辨率，那么分析窗就应该尽量窄，也就是说，要将整个信号分解为更多时段的局部信号。相反，较高的频率分辨率要求滤波器的带宽尽可能窄，即所对应时域上的分析窗应尽量宽。这样时间分辨率与频率分辨率之间就产生了相互矛盾，在实际应用中，或者牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或者反过来牺牲频率分辨率来提高时间分辨率，短时傅里叶变换过程中要注意兼顾这两个方面。2023/9/25543.短时功率谱对短时傅里叶变换系数取平方，可得到信号的短时功率谱估计。它反映了信号在时频相平面上的功率谱密度分布情况，从中可以看出信号的时变特征。2023/9/255510.2小波变换小波变换不同于短时傅里叶变换，它可以通过伸缩和平移运算，对函数或信号进行多尺度细化分析。也就是说，小波函数的频率分辨率是可变的，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。从而有效地从信号中提取时频信息。设函数(表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅里叶变换为。当满足“容许性”条件时有如下关系：满足容许条件的小波称为容许小波。根据这个容许性条件以及为平方可积函数，可以推断出基小波函数必然是个波动(振荡)且快速衰减的短小波形，不可能是周期函数，这就是被称为小波的原因。2023/9/2556小波函数：a称为伸缩因子，b称为平移因子。小波函数的例子：设满足条件：可取为