第12讲切点弦与中点弦（人教A版2019选择性）（原卷版）

第12讲切点弦与中点弦【人教A版2019】·模块一圆锥曲线中的切点弦·模块二圆锥曲线中的中点弦·模块三圆锥曲线中的焦点弦·模块四课后作业模块一模块一圆锥曲线中的切点弦1．圆锥曲线的切线和切点弦(1)切线方程：过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为.(2)切点弦方程：当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：.上述两条为一般结论.特别地：①对于椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1.当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1.(2)更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线.【考点1圆锥曲线的切线方程的求解】【例1.1】（2022·高二课时练习）经过点P(1,32)且与椭圆xA．x+23y−4=0 C．x+23y−2=0 【例1.2】（2023秋·江西南昌·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px的准线与圆M:x+12+y2=1相切于点A，直线ABA．x+y+2=0 B．x−y+2=0C．x+y+2=0或x−y+2=0 D．x+2y+2=0或x−2y+2=0【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）已知过圆锥曲线x2m+y2n=1上一点Pxo,yo的切线方程为x0A．x−y−3=0 B．x+y−2=0C．2x+3y−3=0 D．3x−y−10=0【变式1.2】（2022·全国·高三专题练习）求经过点M2,1的双曲线：x2−2【考点2圆锥曲线的切点弦问题】【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x2+y2t2=1，离心率为22，过P1,2的直线分别与A．x+y−1=0或x+4y−1=0 B．x+4y−1=0C．x+y−1=0 D．x+y+1=0或x+4y−1=0【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知点P(4,−2)在抛物线C:x2=2py(p>0)的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线ABA．x−y+2=0 B．2x−y+2=0 C．3x−y+2=0 D．x−2y+4=0【变式2.1】（2022·全国·高三专题练习）过点P(3,3)作双曲线C：x2−y2=1【变式2.2】（2023·河南信阳·河南省校联考一模）已知过点1,32的椭圆(1)求椭圆C的方程；(2)已知过椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上一点Px0,y0的切线方程为xx0a2+yy0b2=1．已知点M模块模块二圆锥曲线中的中点弦1．直线与圆锥曲线相交于两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则称线段AB为弦，与这条弦的中点有关的问题是一类综合性很强的问题，被称为弦中点问题.2．弦中点的有关问题解法解决圆锥曲线中与弦的中点有关的问题的常规思路有两种：(1)通过方程组转化为一元二次方程，结合一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式进行求解.(2)点差法，设出弦的两端点的坐标，代入方程，得到两个等式，两式相减即得弦的中点坐标P(x0,y0)与它和原点连线的斜率的关系.相关结论：①在椭圆中有：当x0不为零时，，令，即；②在双曲线中有：当x0不为零时，；③在抛物线中有：y0kAB=p.点差法只能用于一类与弦的中点有关的问题.【考点3椭圆的中点弦问题】【例3.1】（2023·全国·高二专题练习）若椭圆x24+y23=1的弦A．3x−4y+7=0B．3x+4y−1=0C．4x−3y+7=0 D．4x+3y+1=0【例3.2】（2023春·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）椭圆x212+y29=1A．−83 B．−32 C．【变式3.1】（2023·高二课时练习）椭圆9x2+4y2=144内有一点P(2,3)，过点A．2x+3y−12=0 B．3x+2y−12=0C．9x+4y−144=0 D．4x+9y−144=0【变式3.2】（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上存在两点M,NA．66 B．266 C．2【考点4双曲线的中点弦问题】【例4.1】（2023·全国·高二专题练习）过点P2,1的直线l与双曲线x2−y23=1相交于A,B两点，若PA．6x−y−11=0 B．6x+y−13=0C．2x−3y−1=0 D．3x−2y−4=0【例4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知点A，B在双曲线x2−y2=3上，线段AB的中点为MA．25 B．45 C．210【变式4.1】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a,b>0与直线y=−x+2相交于A、BA．y=±3x B．y=±3x C．y=±1【变式4.2】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，直线l与C相交于A，B两点，若线段ABA．−1 B．1 C．2 D．2【考点5抛物线的中点弦问题】【例5.1】（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知直线l与抛物线C:y=2x2相交于A,B两点，若线段AB的中点坐标为1,4，则直线lA．4x−y=0 B．2x−y=0C．8x−y−6=0 D．x−2y+3=0【例5.2】（2023秋·高二课时练习）直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（）A．2或－2 B．2或－1C．2 D．3【变式5.1】（2023秋·陕西西安·高二校考期末）设经过点F3,0的直线与抛物线y2=12x相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为9，则ABA．18 B．24 C．30 D．36【变式5.2】（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知直线l交抛物线C:y2=18x于M，N两点，且MN的中点为5,3，则直线lA．95 B．32 C．3 模块模块三圆锥曲线中的焦点弦圆锥曲线焦点弦求解策略：(1)两焦半径之和(之差)；(2)“弦长”公式；(3)当焦点在x轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角；当焦点在y轴上时，焦点弦|AB|=，θ为直线的倾斜角.一、椭圆的焦点弦弦长：(1)两焦半径之和；(2)“弦长”公式；(3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角.通径：.二、双曲线的焦点弦弦长：(1)两焦半径之和或之差；(2)“弦长”公式；(3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角.通径：.三、抛物线的焦点弦弦长：(1)两焦半径之和或之差；(2)“弦长”公式；(3)当焦点在x轴上时，|AB|=，θ为直线的倾斜角.通径：2p.【考点6椭圆的焦点弦问题】【例6.1】（2022·高二课时练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点分别是F1、F2，过F1的直线l垂直x轴交椭圆于A、BA．x24+C．x24+【例6.2】（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆C:x25+y24=1的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1，FA．1655,45 B．1655【变式6.1】（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l交(1)求C的方程；(2)若AF1⋅【变式6.2】（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A､B两点，求△ABF1的面积的最大值．【考点7双曲线的焦点弦问题】【例7.1】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y=2x，过双曲线C的右焦点F2A．x22−y24=1 B．【例7.2】（2022秋·高二课时练习）过双曲线x2−y28=1的右焦点作直线与双曲线交于A．一条 B．两条C．三条 D．四条【变式7.1】（2022·全国·高三专题练习）设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)【变式7.2】（2023·湖南郴州·校联考二模）已知F1，F2分别为双曲线E：x2a2−y(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足QA=QB【考点8抛物线的焦点弦问题】【例8.1】（2023春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点，若AF=3A．33 B．±33 C．3【例8.2】（2023·全国·高二专题练习）过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，作倾斜角为π6的直线l交C于A，B两点，交C的准线于点M，若OM=221A．8 B．16 C．24 D．32【变式8.1】（2023·辽宁·朝阳市校联考三模）过抛物线C：x2=4pyp>0的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若MN=ABA．2 B．33 C．1 D．【变式8.2】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，且直线l1，l2分别与抛物线C交于A，B和DA．32 B．64 C．128 D．256模块模块四课后作业1．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）椭圆4x2+9y2=144内有一点P3,2A．3x+2y−12=0 B．2x+3y−12=0C．4x+9y−14=0 D．9x+4y−14=02．（2022秋·天津·高二校联考期中）已知F1−2,0，F22,0是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且ABA．x25+C．x216+3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线x2−y22=1，过点P2,1作直线与双曲线交于A,B两点，且点PA．4x−y−7=0 B．4x+y−9=0C．x−4y+2=0 D．x+4y−6=04．（2022秋·江苏南京·高三校考阶段练习）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0，抛物线C2:y2=4x，且C1与C2在第一象限的交点为PA．12 B．32 C．145．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，DA．6 B．2 C．3 D．66．（2022·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当AF+BFA．y2=x B．y2=2x C．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆E:x22+y2=1的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、A．2 B．1 C．2 D．48．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）过双曲线x2a2−y23=1a>0的右焦点F作直线l与双曲线交于AA．0,1∪3,+∞ C．0,1 D．3,+∞9．（2023·贵州铜仁·统考模拟预测）设抛物线C：y2=6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线l1，l2，若l1与l2交于点P，且满足A．5 B．6 C．7 D．810．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线C:x2=2py(p>0)与曲线E:y=x交于点A，其横坐标为4，记C的平行于OA的切线为l1,E的平行于A．p=4 B．OA的方程为x−2y=0C．l1的方程为x−2y−1=0 D．l211．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线C：x2−2y2=1上点P(3,1)12．（2023秋·高二课时练习）已知抛物线y2=4x.其焦点为(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C1：x24+y2=1，椭圆C2：x216+y2(1)求直线AB的方程（用x0，