修订版高中数学导数及其应用【精】

快乐快乐高中数学导数及其应用、知识网络二、高考考点1导数定义的认知与应用；2求导公式与运算法则的运用；3导数的几何意义；4导数在研究函数单调性上的应用；5导数在寻求函数的极值或最值的应用;6导数在解决实际问题中的应用。三、知识要点（一）导数1导数的概念II导数的定义（i）设函数在点10及其附近有定义，当自变量在处有增量4（△可正可负），则函数相应地有增量⑷=义工口+故）一丁（工口），这两个增量的比Ay_+Ax）-/（x0）以 瓜 ，叫做函数丁=汽电在点工0到工口+m这间的平均变化率。如果Ay瓜-0时，瓜有极限，则说函数y=f（»在点工口处可导，并把这个极限叫做在点工0处的导数（或变化率），记作“两妈如If，即“两）=11m型=11m妆+㈤—国）A；r->0AxQxtU Axo（ii）如果函数f（的在开区间（“力）内每一点都可导，则说r（丸在开区间（区8）内可导，此时，对于开区间（区&）内每一个确定的值工口,都对应着一个确定的导数尸（1°）,这样在开区间（区S）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做广母）在开区间（“力）内的导函数（简称导数），记作尸（工）或『‘，即y=/V）=hm竺=Hm汽犬+m）T⑴gtuAxjlxtrAxo认知：（I）函数f"）的导数尸（工）是以为自变量的函数，而函数”的在点小处的导数尸（工口）是一个数值；〃犬）在点工。处的导数厂‘工口）是""的导函数“工）当工=工0时的函数值。（II）求函数/⑵在点工口处的导数的三部曲：①求函数的增量切=义工口+效）一了（"口）；Ay_/（^o+Ax）-/（xQ）②求平均变化率加 也 ；limJ=/"（x0）③求极限g'M上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。（）导数的几何意义：函数广电在点工口处的导数尸（工°），是曲线尸汽电在点pgJ"）处的切线的斜率。（）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（I）若函数/（句在点工口处可导，则/⑷在点工口处连续；若函数在开区间（“田）内可导，则广（分在开区间（“田）内连续（可导一定连续）。11m汽殉+弱-小）=*犯）事实上，若函数在点10处可导，则有*3 以 止匕时，事实上，若函数lim/(x0+力x)=lim[(/(x0+Zx)-f(x0))+f(x0)]=lim[〃两+垓K两),Ax+/(x0)]•xtu Ax」KT■口 X 』¥T■口 ■口=/\xo)xO+/(xo)=1A工0)r+Ar=r 11m/W=M而） ”冶r记0 则有皿立 即八,在点口处连续。（II）若函数/"）在点工口处连续，但F"）在点工口处不一定可导（连续不一定可导）。反例："工）=因在点工=口处连续，但在点工=口处无导数。?$、、 Ay=/,（O+Ax）-1f（口）=|Ax|,过~=事实上，在点工口处的增量 瓜瓜

当加下口时，当加工口时，殁=1 hm^=l当加下口时，当加工口时，Ax 才tci+Ax,^=-1 bm^=-lAx xf)+Axhm包由此可知，X力工不存在，故在点元=口处不可导。2求导公式与求导运算法则(I基本函数的导数(求导公式)公式 常数的导数：二'=口hm包由此可知，X力工不存在，故在点元=口处不可导。2求导公式与求导运算法则(I基本函数的导数(求导公式)公式 常数的导数：二'=口l为常数)，即常数的导数等于公式 幂函数的导数：W="ISE②。公式 F弦函数的导数：61n寸=切"。公式 余弦函数的导数：3")'=F"公式 对数函数的导数：(InX)'=—x；公式指数函数的导数:(I)(I)()可导函数四则运算的求导法则设区y为可导函数，则有法则法则v)法则v)r=urv+V（-）=-2—0）法则v尸 。3复合函数的导数（）复合函数的求导法则设,=仪工）复合成以为自变量的函数尸力以切，则复合函数丁=力以疝对自变量的导数尸；，等于已知函数对中间变量在=以工）的导数工，乘以中间变量对自变量的导数”；，即『〔=『；U。引申：设y=r@）,"飙谟"则复合成函数卜力港⑴）］,则有月=『；山；H（）认知（I）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出广川），由第一层中间变量”内⑴的函数结构设出"=炉式吗，由第二层中间变量”=3<Q的函数结构设出,=/式用，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量/为自变量的简单函数'=且（为为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：y=」3）◎=弼（切D=的（兄），.…A=g（x）;（II）运用上述法则求复合函数导数的解题思路①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；③还原:将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。二、导数的应用1函数的单调性（）导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数丁=〃犬）在某个区间内可导，则若尸⑴:口即工）为增函数；若广⑺〈口则了⑺为减函数；若在某个区间内恒有1n工）=口，则在这一区间上为常函数。（）利用导数求函数单调性的步骤（I）确定函数/（的的定义域；（II）求导数尸,琦；（III）令尸⑴,0，解出相应的的范围当尸（工）>口时，1f（内在相应区间上为增函数；当尸（工）,0时在相应区间上为减函数。（）强调与认知（I）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域，并且解决问题的过程中始终立足于定义域。若由不等式尸口确定的的取值集合为A由尸⑺'0确定的的取值范围为，则应用总工以君工白；（I）在某一区间内尸S>>0（或尸6），口）是函数勾在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程/’（QnO的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定了'an0的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。举例：（）⑷="是上的可导函数，也是上的单调函数，但是当 时，尸。（）在点 处连续，点 处不可导，但广（“）在（8,）内递减，在（，+8）内递增。2函数的极值()函数的极值的定义设函数〃犬)在点工口附近有定义，如果对工。附近的所有点，都有八工)，Na)，则说『SC是函数〃"的一个极大值，记作姝梃="两)；如果对工口附近的所有点，都有，则说了6°)是函数f(目的一个极小值，记作收?小值=汽两)。极大值与极小值统称极值认知：由函数的极值定义可知：(I)函数的极值点是区间［/到内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；(II)极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；(III)当函数电在区间［风切上连续且有有限个极值点时，函数在［风句内的极大值点，极小值点交替出现。()函数的极值的判定设函数汽电可导，且在点工口处连续，判定了‘工口)是极大(小)值的方法是(I)如果在点工口附近的左侧尸⑴>口，右侧尸⑴‘口，则为极大值；(I)如果在点工口附近的左侧尸⑺<0,右侧八工):0,则/6°)为极小值；注意：导数为的不一定是极值点，我们不难从函数/(药=^的导数研究中悟出这一点。()探求函数极值的步骤：(I)求导数尸(工);(I)求方程尸(工)=口的实根及尸〔工)不存在的点；考察尸6）在上述方程的根以及尸（工）不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则f"）在这一点取得极大值，若左负右正，则f"）在这一点取得极小值。3函数的最大值与最小值（）定理若函数”药在闭区间上连续，则勾在［乌句上必有最大值和最小值；在开区间（鼻句内连续的函数句不一定有最大值与最小值。认知：（I）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。（II）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性）,最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。（III）若广⑵在开区间（风鲂内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。（）探求步骤：设函数”电在应切上连续，在（"力）内可导，则探求函数〃电在以切上的最大值与最小值的步骤如下：（）求〃"）在"内的极值；（）求"制在定义区间端点处的函数值广⑷,出；（ ）将广炽）的各极值与,手/比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。引申：若函数在［风句上连续，则广（分的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：（）求出的导数为的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

（ ）计算并比较f"）在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。（）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（ ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（ ）检验、作答：利用实际意义检查（）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点工口满足尸（工口）=口，并且在点风处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。四、经典例题例、设函数孔勾在点工口处可导，且“工口”工，试求1mlf值一遍-f（而）TOC\o"1-5"\h\z（）…Ax ；1ml汽两+Ax）一汽两一（）a 限 ；1ml汽2工一两）一/（2两-工）（）f ”/ ；11m汽演+3一〃两-J小）（）取TO M （总S为常数）解:/f解:/f(x0)=hm注意到/⑷+两）一/（曲）Axf(x.)=lim汽电一汽飞)当工口Q KT®X-Xo当工口lim° ——""=—lim"°— —~=—ff^')=-A由tu 及 -Ax()义丽+瓜)-〃/-端 [/(的+色工)一/(两)]+[/(曲)一了(丽一色工)]hni =lim 」*t口 力工 』*T。 /工f(x0+Ax)-f(^) f(x0-Ax)-f(x0)=hm +hm Ax 』#t。-Ax()令工f="，则当工―工口时电—口,f(2x-^)-f(2x0-x) /(x0+2Z?)-/(^)+/(x0)-/(x0lim =lim .… “% … 迎••/(x0+2h)~/(x0)f(x0-k)-〃瓯)=uni -nm 履tci h m h=211m汽两+%-汽两)+11mfW-桢一汽两)At。 2h At。-h=2尸8)+尸&)=3尸也”M1ml汽丽+心处一〃曲-Mx)()… Ax/(x0+aAx)-/(x0)-[/(x0-bAx)-/(x0)]=um kXT口 Ax=q11m义丽+^A/每)+411m -义工o)型-*0 0Ax 型t口 -bAx/11m汽两+血)-汽两)+匕11m八两一如)-义工o)取Td Mm_bM=歹'(工口)+b尸(工口)=S+的广(工口)=S+冷工/Xx0)=limn曲+竭一〃丽)点评：注意 …小 的本质，在这一定义中，自变量在工口处的增量故的形式是多种多样的，但是，不论出选择哪一种形式，相应的明也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。若自变量在工口处的增量为一如瓜，则相应的母=义工口一如的一义工口)，

”・\v 犬口—松犬）—丁（冲）丁（两）=hm 于是有 心一泌找 ；1n两）=lim汽电一W若令工=工厂3，则又有 ……例、2£-3/«（）已知1ra=2/⑶一，求理一11m八地方一2（）已知加="（1”:求^ —解：（）令工-3=故,则工=位+3,且当工―三时，MtO注意到这里/⑶"又中）7Qlim由tU〃升闻T⑶

Axr2x-3f(x)lim tx-3=limSlKT■口6+2Ax-3/(3+Ax)

Ax』xtuAx mtuAx=2-3/f(3)=8.JQ)=2*/(sinx)-2hm z =lim ： ： xt三cosx -(sinx-l)(smx+1),22••二11mH皿)-网)二^-m三sinx-1 1+sinx.hm-.1xt三1+sinxx—>—<=>sinx—>1注意到2

TOC\o"1-5"\h\z/(sinx)-/(I)hm =hm =/ =3xt■三 SitiX-1finmlsmx-1...由已知得2 ②11m〃叱卜J/TO-rt= =-fxt±cosx 1+1 2 2...由①、②得2例3求下列函数的导数y=e7!+y=e7!+x2cqsx-Ix()“(1+疗川+23；2x3- 瓜-1(4"x瓜解：()==(x2cosx')(-(7x)f=ex+2xcosx-x2sinx-7()好。+4/)。+2M=1+加+收+状.广。+2炉+4N+舐5y=4x+12户+4口产3 _1 _3 2 3_3y=(2x^- +x-1-x^y=3x^+-x亨-尸(i+«)+(i-1—>jx 1+ (1--t/x)”，一2v口"K—y_」1-X (1-x)2 (1-.I।xM冽‘广朴...当工对时，"STx...当工＜口时，,|2x,x>o；2x,x<0.点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例、在曲线Cy=d- -x+6上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线关于该点对称。解：（）y*e当工=2当工=2时，取得最小值T7上工—2n-4.y=2^—6-2^—2+6=—12又当工_』时，『...斜率最小的切线对应的切点为（2 ）2（）证明：设网工口,『口）为曲线上任意一点，则点关于点的对称点的坐标为

且有此=君-鬲-两+6 ①...将工二4-两代入^=炉-才-犬+6的解析式得«—飞了一6（4—两产一（4一两）+6=-Xq+6君+x0-30=-（君-6君-x0+6）-24=-24-7o,...点鼠4a-九）坐标为方程y=/-加-丈+6的解.2eC注意到，的任意性，由此断定曲线关于点成中心对称。fcl」『=/（工）与『=■/（»£也依（HK口）-+4-^/W>0口sdrEYM例、已知曲线J八、…八'' '，其中' ，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为*'6。^"，则有TOC\o"1-5"\h\z『口=『（％）『口=/（x0）sinax0, ,•『（工o）=fSo）sm"口•• ,・sm^0=l• ,ax^= +—（此wE）, 2• ,冗现5=—（2无笈+—）（kgZ）・a2••于是，对于巧T⑴有F'T⑺； ①对于为=义工）知奴有树=尸⑴……⑸3"对于为=义工）知奴有树=尸⑴……⑸3"...由①得由②得对fj=...由①得由②得,区卜一%=fg)sinax0+af(x0)cosa^=广（工口）血（比R+―）+期定0）匕口式2北方+—）...* *.”,即两曲线在公共点处的切线斜率相等，...两曲线在公共点处的切线重合...两曲线在公共点处相切。例67 1f（x）=k2x^--x3-k??+2x+-（）是否存在这样的值，使函数 3 2在区间（，2）上递减，在（2,+8）上递增，若存在，求出这样的值；（2）若产医）="2+工恰有三个单调区间，试确定厘的取值范围，并求出这三个单调区间。解：（）“电=炉炉-加-而+2由题意，当工川⑵时尸⑴＜口，当e（2,+8）时尸⑴:口...由函数八工）的连续性可知尸⑵=口，即嵬产一"伙+2=口整理得1亦-%-3=0k=-验证：k=-(I)当验证：k=-(I)当2时，尸⑺=#-2/-工+2=(x+W-1)(工-2)...若1*2,则尸⑴＜口；若工＞2,则尸⑴＞口，符合题意;

TOC\o"1-5"\h\z3 q 3儿=—一 /'(x)=一x3-2x2+—x+2(II)当8时， 16 49f7-呵“ 7+呵、=—(犬一 )(丈一2)(X- )16 9 9,显然不合题意。k=L于是综上可知，存在 工使〃的在(1)上递减，在(2+8)上递增。若心口则尸⑶＞口金的，此时汽电只有一个增区间S+8)，与题设矛盾;若"口则尸⑴=1,此时汽电只有一个增区间5+8)，与题设矛盾;若廿＜口fl(x)=3a(x2+^-')=3a(x+^L=')(x-则 若心口则尸⑶＞口金的，此时汽电只有一个增区间S+8)，与题设矛盾;若"口则尸⑴=1,此时汽电只有一个增区间5+8)，与题设矛盾;若廿＜口fl(x)=3a(x2+^-')=3a(x+^L=')(x-则 出 7-%并且当%时，尸⑴*尸⑴>0•••综合可知，当仃＜口时，**恰有三个单调区间:(-电亍减区间'卜兑,+时;增区间点评：对于()，由已知条件得了＜2)="，并由此获得的可能取值，进而再利用已知条件对所得值逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。例7已知函数/⑴+菽,当且仅当"T"］时，取得极值，并且极大值比极小值大()求常数见&的值；()求其力的极值。解：()=W+ ,令尸(工)=口得方程5—++匕=口,:*"在工=T"i处取得极值T或工=1为上述方程的根，5(—I)4+3(3(―1)2+S=口故有5⑴*+3厘①口+3=口故有...5+必+匕=口，即匕=一3"5 ①・f⑦=5八3后-"••=5(r-1)+3仪#-1)=。+l)(x-l)(5x2+3a+5)又...，⑵仅当。士1时取得极值，...方程尸(工)=口的根只有工=-1或工=1,...方程51+3厘+5=口无实根，,A=02-4x5x^+5)<0即加+5〉。,>_5而当马时，5黜+为+$>口恒成立，:.广⑺的正负情况只取决于"7的取值情况当变化时，尸⑺与,③的变化情况如下表：X(一虫-1]-1(-U)1+8/V)++/W/极大值极小值/...汽电在工=-1处取得极大值f（T），在工=1处取得极小值了⑴。由题意得“T）一加”整理得= ②于是将①，②联立，解得"=T力=一2（）由（）知，FMNYf+i了⑴报丈值=f（T）=3/⑺极小电=川）=一1点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与尸（工）的关系，立足研究尸（工）=口的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数尸6°）=口”与“r（幻在工口处取得极值”的必要关系。例8（）已知/母）二厘#—6厘步:+仪―1^左工2）的最大值为3最小值为2求区S的值；-<ff2<1 1f⑺=分--ZffiX2+^（-l<x<0（）设3，函数 2 的最大值为，最小值为，，求常数风甩的值。解：（）这里厘‘口，不然与题设矛盾f'（_x）=3ax2-12ax=3点式x-4）令"工”口，解得工=口或（舍去）（I）若心口，则当力时，尸⑴下口，〃犬）在（T口）内递增；当^（口⑵时，尸⑴^,汽电在电工）内递减又义肉连续，故当工=口时，汽肉取得最大值,⑻...由已知得f⑼=2J而《1”口+“⑵-6。+3.(-1)...此时『(药的最小值为『◎)...由〃2)79得_1金+3=-290厘=2(II)若"<口，则运用类似的方法可得当1=口时汽电有最小值，故有f(0')=—29：^：-b=-29；又汽-1)=-7"理六2)=-16"加〉孔-1)^又...当工=2时，,因有最大值，...由已知得一 = =于是综合(1)(11)得所求*=之力=$或。=-2/=-29()f—碗m,令尸⑺=口得忒…)=口X]=0rx2=m(—<m<X)解得 §当工在LU]上变化时，D与,⑺的变化情况如下表:X也㈱）m（褐1）/W极大值H、1极小值yy?-——+内2，*]...当工=口时，汽商取得极大值网；当工=加时，八»取得极小值2由上述表格中展示的汽电的单调性知『⑼>」（T）J⑨>久啕力6、久脸，小）最大值在川一⑴之中，,⑺的最小值在和和"和，’酒）之中，3 2/W-川）="一L；黄施C1,7（0）-/（1）>o考察差式 2 3 ,即八口）7⑴,故汽电的最大值为八°）由此得re）=iQ甩=i.1./（一1）一/（取）二—（端3-刎-2）=—（*—2）0+1产TOC\o"1-5"\h\z考察差式 2 22T、m,S,:N的最小值为八f3 乖 乖—一圾=- 阳=由此得2 2，解得3/=—,甩=1于是综合以上所述得到所求 3 。五、高考真题（一）选择题用工00=smx加工）=以工）万（工）二工3…加式工）=笈⑴ 说管、|设 , , ,, ,则力期⑺=（）。Sm工 一班工 cosx -C0SXA B 、 、八J_L，口f（工）=二口占工分析：由题意得' ,力⑺=一必工=-cosx,sinx,Z⑸=sinx=^j(x)：.f式/)(mw%具有周期性，且周期为,...%演琦7m=郎工，应选。TOC\o"1-5"\h\z2函数/")=**+X+1有极值的充要条件为( )心口 嫣口 ^<0 a<0A 、 C D分析：/w=w+1，当心口时，尸⑶;口且尸⑴工口;当口M口时，令尸⑴=口得3+1=口有解，因此F(电才有极值，故应选C3设/(电，冢电分别是定义在上的奇导数和偶导数，当工'O时，/‘'S'''„'g'' ,^且g''0，则不等式应⑴'口的解集是( )A(3)U(3+8) 、(，)U(0)、(8,3U(3+8) 、(8,)U(0)分析：为便于描述，设"⑴nF")纲，则b⑴为奇导数，当I口时，POO,且产㈠E••.根据奇函数图象的对称性知，""),口的解集为(8, )U(,),应选。二、填空题过原点作曲线丁=梦的切线，则切点坐标为，切线的斜率为。分析：设切点为（”"），则以为切点的切线方程为丁一中"两）...由曲线过原点得=*"（口一两），.小=1,•••切点为&*），切线斜率为电。点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。曲线丁=户在点（风标乂"*口）处的切线与轴，直线工=厘所围成的三角形面积为，，则厘。分析：y=/•••曲线尸炉在点（乌力（"口）处的切线方程为广黯=/（""）即尸勿"一谓咚口）切线与轴交点3 ,又直线工=厘与切线交点纵坐标为序,_11,।3_15=—.一团・0=一••・上述三角形面积 23 6,由此解得时=1即胃=±11.1,y=2-—x2 y=—x3-2曲线2与4 在交点处的切线夹角是（以弧度数作答）分析：设两切线的夹角为日，将两曲线方程联立，解得交点坐标为（2'0又切4=一？ 为『广区'1^=3^又 ,即两曲线在点处的切线斜率分别为2

tand=3+2tand=1—3x（—2）,I,, 州&=— —4，应填4。（三）解答题已知厘wK，讨论导数/⑺"（/+.+l+1）的极值点的个数。解析：先将丁⑴求导，"工"口即/+g+5+勿+1=口。当入口时，/⑺=口有两根，于是欢有两极值点。当AW口时，广⑺之。，『⑺为增函数，/⑺没极值点。本题考查导数的应用以及二次方程根、“A”等知识。解答：『3"以M+盆+”1）+叫2工+」）= +俗+2）工+（2值+1）］令八工”口，得―+。+加+勿+1=口当也=0+2＞一4（加+1）=.-4厘=加4一4）:口1当即“丁口或厘＞4时，方程尸〔Q=口有两个不同的实根工1、门不防设勺沁，于是广⑴"气"再）（"/），从而有下表：XS/)勺（勺，工G叼（心，十03）/V)了⑺/f"l）为极大值\/（心）为极小值/即此时一工）有两个极值点;2当屋口即”晅爆=4时，方程炉+S+乃犬+3+1）=口有两个相同的实根工1=13,于是“和叫”寸，故当工5时，尸⑴＞°;当工＞4时，尸⑺＞口，因此汽工）无极值；3当以工口即口＜厘＜4时，"+（"2）工+（须+1）＞口，而广»=回炉+3+方+（〃+1）］:口而 ，故代工）为增函数。此时义工）无极值；...当厘＞4或qc0时，鹏巧有两个极值点；当°乂空乂4时，式工）无极值点。一狈一6已知函数 1+匕的图象在点必Tf（T））处的切线方程为工+孙+$=口。（I）求函数F=/6）的解析式；（II）求函数F=/6）的单调区间。解析：（）由题一"（一琰在切线上，求得『㈠，再由苑T〃t））在函数图象上和产（-1）=-12得两个关于见6的方程。（）令尸⑶=口，求出极值点，尸⑴:口求增区间，尸⑴＜口求减区间。此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。解答（I）由函数/⑺的图象在点题一5一琰处的切线方程为工+*屋口知：-1+2/（-1）+5=0，即汽一1）=一2,

'■■/⑸=心+；；肃一"n~V)="?-a-6 =—2I1+占0(1+占)+2]—0—6),a(l+b)-2(a+6)即'.一(1+8)解得"即'.一(1+8)解得"2^=33寸+1不口―2?=-1舍去）y1/、 2工一日/w=-^―-所以所求函数解析式 工+3n、-27?+12x4-6f⑷ 『口浮—(x+9令-21口+12r+6=口解得西=»2后向=3+2括当工C的或"3+2后时，尸⑴＜口当-2^<.<3+2^时，尸⑴>口所以小在S"2问和0+2国⑹内是减函数，在07居+班）内是增函数。已知工=1是函数加AW一吼+1）#+/+1的一个极值点，其中想甩E^CCI(I)求咱与网的关系表达式;(II)求汽电的单调区间;(I)求咱与网的关系表达式;(II)求汽电的单调区间;(ill)当时，函数y=f®）的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求附的(ill)取值范围。解析：（）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第小题要根据r（I）的符号，分类讨论的单调区间；第小题是二次三项式在一个区间上恒成立的问题，用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。解答：（［）:"工）=3京-6g+1"+*，工=1是函数了⑴的一个极值点/（1）=刎一60+1）+胃=0，••用=3*+6.• ;（［［）・.•川道=乐/T伽+必甩=:W-岫+必―+1（”1）即一…। ।2f（（xy-0 x1=l,x2=l+—令了〔工…，得 施'2 1 八'与‘''的变化如下表：XS1+-)渭1-2。」」）施。什的/V)单调递减极小值单调递增极大值单调递减因此，式”）的单调递减区间是‘网"黑）和°'+8）;义内的单调递增区间是2(1+-4)m(III)由(II)ff(x)=3mx2一鼠濯+1)工+甩=3mx2-6(m+l)x+3m+6(III)由(II)日科必-2（琪+1）工+"口，"引-1J）即令双方=9-咖+1）工+工（濯＜口）,工式-1』令且山＜0;目(五)=般/-2(m+l)x+2>0,且山＜0=>-- <034--<0即的取值范围是3A-r2-7/W=--已知函数 2-x 。(I)求〃力的单调区间和值域；(II)设近1,函数目⑶二步一3/"2s”[0,1],若对于任意工1W1口J，总存在曲七卬]，使得目⑶=/5)成立，求值的取值范围。解析：本题考查导数的综合运用，考查综合运用数学知识解决问题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易，(I)中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为工具，(11)是三次函数问题，因而导数法也是首选，若式工0)=/(工1)成立，则二次函数值域必满足,(力心虱为关系，从而达到求解目的。解：(I)由 □一1) 得或2。_7...工£[口』 ...~2(舍去)则工，广⑺,汽电变化情况表为：(吟J121)/V)/W_72\-4/-3

因而当2因而当2时八,为减函数；当2 时,㈤为增函数;当工七［0」］时，广、焉的值域为17（II）且3=既3）因此应1,当工三色1）时式幻<父1一冷<口因此当犬£（"）时式期为减函数，从而当犬可口』时有式犬”［@QIg（D］又初二1"/位⑼=一勿，即当^叩］时有冢标［T"犷厂知任给工皿口』，『5）wi-引，存在工口毛［口」使得g（曲）=/（再）则1，用口1-"-山一知TOC\o"1-5"\h\zJ1—213—3l22至—4 CD"［-2a>-3 ②j5 Ja<-- a<—由（）得"之1或3，由（）得2又口之1\<a<-故厘的取值范围为 2。「斤a>0 丁田丁（£）= —2点E）彦*已知"一"，函数』"'" '（）当工为何值时，^取得最小值？证明你的结论；（）设在［一1』上是单调函数，求厘的取值范围。解析：本题考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，本题（I）常规题型，方法求尸（工）,解尸（工）=口的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（I）由（I）〃犬）在（工卜工g上单调，而再=".Ji+m1，因此只要

为="1+Jl为="1+Jl+/3>1即满足题设条件，从中解出〃的范围。解答：（1f(x)=(x2- +(2x-20M=[x2+2(1-a)x-2a]-令尸⑴=口则［/+空-耽-勿":口从而+2(1从而+2(1-d)x-=0，其中1 2工]=L3-1—Jl+M1-1+，其中1 2当工变化时八工），f（“）的变化情况如下表（-8,勺）L?—1—J1十0”5,叼）金一1+J1十值*（心，十8）/V)/W/极大值\极小值/:.江力在勺处取得极大值，心处取得极小值当心口时工10T，心之口，且〃对在氏，工。为减函数，在（5+8）为增函数而当工＜口时广元）二寺-旬心口，当…时/⑴=口.:当工="1+J1+M时/⑷取最小值；（II）当此口时〃"在［一1』上为单调函数的充要条件是电之1' :即"1+J1+J之1，解得"Y综上，〃犬）在LU］上为单调函数的充要条件为W［；收）即/的取值范围为） 。，门=W,,f（X'）=X2k-臼已知厘£代，函数八.(i)当厘=2时，求使^叵)=犬成立的工成立的工的集合;(II)求函数(电在区间上的最小值。答案：(［){,,1+0}1-(2, 当值XI时；0, 当IcsM时，m=iA(a-2),当2<a<^;a-\7当岂>LTOC\o"1-5"\h\z1 3解答：,. /(x)=x2|x-2\(I)由题意，''' 1 1当xc2时八"="(2-为=工解得r=口或1=1,当工22时兴为二炉(”2)=犬，解得了=1+"综上，所求解集为{ ，+II设此最小值为①当^-1时，在区间［,］上，『⑴"-翁，fe(x)=3x2-2ax=3武犬--a)>0,xs(1,2因为 3 ),则“的是区间［i］上的增函数，所以施=MD=i—2②U2时，在区间［1 ］/⑴=/卜一的°,由/⑷=口知溺=/@=口;③当值>2时，在区间［,］上，"琦=加一声/f(x)=2ax-3x2=3x(ja-x)如果”23在区间（，）内，尸⑺>°从而汽电在区间［,］上为增函数，由此得而二丁⑴=51；2TOC\o"1-5"\h\z1<-a<2如果2<fl<3则3 。ic工一厘 L当3时，尸⑺>口，从而〃"为区间［,耳］上的增函数；2…c2 乙当3 时，尸（犬）父°，从而汽电为区间［号,］上的减函数因此，当2cse3时，圾=〃1）="1或风=r⑵=恤-2）。7当2"“用时，故那=4（1）;7w当「"时—c4（"2）,故端=一综上所述所求函数的最小值［一④ 当厘W1时；0, 当1c厘工2时；7=14（a-2）,当2c值至可时；a-1,当0>二L 37I设函数y⑴”3尸十（1—沙%”初口 求〃期的最小值II设正数小外…%0满足小+如+的+~+%=1 ,证明Pl1^2Pl+P210§2P2+”叫处+•••+田/10g2P2„之一超。解析:本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。（I）已知函数为超越函数，若求其最小值，则采用导数法，求出产（»=1咤口犬-1口第*',解1 1 1 门人产:、 口X=一 工<一 X了一 尹.、 J一）n得2,再判断2与2时『IQ的符号，确定2为极小值点，也

是函数的最小值，对（II）直接利用数学归纳法证明，但由至*=丸+1过渡是难点。解答：(I)函数f()的定义域为(，)f'(x)=(xlog2x)'+[(l-x)log2(l-x)]=log2x-log2(l-x)+----=log2x-log2(1-x)In2In2/1W=0得x令 2/1W=0得x令 20<x<-当2时，f'1-<X<1当2时，f'在区间是减函数;4,1）日十的拂.•.f在区间上是增函数。时取得最小值且最小值为1时取得最小值且最小值为X——...f()在2II用数学归纳法证明（）当 时，由（I）知命题成立;假定当 时命题成立，即若正数7v…’中"满足死+%+…+%=1则01限小+巧1暇巧+…+%1吗均“无时，若正数的队…却满足小+%+…+用=]令30+%+…+令30+%+…+力的_P1—% _%--，的=一，…叫= X X X则的，的，…与为正数，且的+的+…+如则的，的，…与为正数，且的+的+…+如=1由归纳假定知犷限的+以效+…+如也如"无Pl1 0+%1◎比%%%且%=血1呜%+的1呜矽+-+%电%+1吗为内-曾+犬侬尸①同理，由三'+1+号+3+…+号目=＞犬可得^+1log2^+1+...+^log2^21—x6 +dx 01-x ②综合①、②两式A1oS2Pi+^210§2A+-"+2[x+（1—x—（ +xx+g—x （1—x2—（+1即当 时1命题也成立。根据（）、（可知对一切正整数命题成立。函数在区间口+⑹内可导，导函数尸⑴是减函数，且“工”口,设工口”,+8）,y=kx+m是曲线在点时汽犯»处的切线方程，并设函数g（x）=此犬+圾（I）用M、门”、产”表示m（II）证明：当犬£电+电时虱心式心x2+1>ax+b>—x3「口（III）若关于x的不等式 2 在LU，招”上恒成立，其中、为实数，求的取值范围及与所满足的关系。解答：（）y=，⑺在点（工°'/（工口）处的切线方程为,一式飞）二八%）"一两）叩y=八%）Y+」&）-两产（而）即因而叩=/5）-小，&）;（I证明：令血⑴寸⑺T⑶，则犷⑴=尸（初一/⑴/每）=0：：：: ，因为“工）递减，所以短⑴递增因此，当工,工口时，血Q）>°；当工,工口时，hn,所以工。是现乃唯一的极值点，且是极小值点，可知/X）的最小值为因此/g即且⑺"⑴;(Ill)解法一：是不等式成立的必要条件，以下设此条件成立。,+\>ax+b,即“一"+(1-功之0对任意成立的充要条件是1a<2(1-^，3-/«=-x3 =*、另一方面，由于 2满足前述题设中关于丁一了I用的条件，3孑 3-ax+b>—x3 fnAly=—#利用II的结果可知， 2 的充要条件是：过点I'，与曲线之相切的直线的斜率不大于”,二该切线的方程为：片侬尸工+S,,.3| 1b>-xs 口于是2 的充要条件是“一◎如X1+\>ax+b>-x^ 龙E⑴4W)综上，不等式 2 对任意犬成立的充要条件是显然，存在区》使①式成立的充要条件是:2-42^^2+42有解，解不等式②得4 4因此，③式即为匕的取值范围，①式即为实数”与匕所满足的关系。(III)解法二：0-i-^>0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立。,+l>ax+b,即/-苏+。一出川对任意^^用)成立的充要条件是a<2(1-^3- 3-0(x)=ax+b-—x3 ax+b>—x3 「门、令 之，于是2对任意'+叼成立的充要条件是0(x)>0得工当口<工时，0,⑺工口；当工下不时，0⑺〉口，所以，当工=不时，取最小取最小值。因此0（力之口成立的充要条件是0"）之°,即"之殿）”TOC\o"1-5"\h\zx2+1>ax+b>—x^ 「门、综上，不等式 2对任意x£L'十叼成立的充要条件是3九々"足①J. 1显然，存在、使①式成立的充要条件是：不等式（四）°±2°-句。TOC\o"1-5"\h\z匕旦4三三月有解，解不等式②得 4 4因此，③式即为的取值范围，①式即为实数与所满足的关系。点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能力，抽象思维能力，以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对（I）,曲线y=广（电在点（工工口））处切线斜率为口），切线方程小¥—丁（E0）=丁工演乂太一瓦）为 ,即八八工0）•工”尸区■），因而中=汽工。）一工厂尸氏J；对（］［）即证明g⑺7⑺之口在时恒成立，构造函数血⑴= ⑴则短⑴=百口）一尸⑴..目（工）=八工6 ・尸5）.=••••也⑴7g）7⑺则产（工。”11•• ,则由广⑴递减•短⑴递增，则当工滔时训工）"'（工。）=口，当工