燃料最优控制问题探究

#/7R(u)=1u(t)丨+九(t)u(t)(24)2对最优控制u(t)取极小值。其中，u(t)与九(t)的关系如下图1所示。2图1u*(t)与九(t)的关系图2即CCu*(t)=+1,九(t)<—12u*(t)=0,—1<九(t)<+12<u*(t)=—1,九(t)>+1(25)20<u*(t)<+1,九(t)=—12—1<u*(t)<0,九(t)=+12由式(25)可知，最优控制轨线的完全确定，取决于九(t)的性质。根据九(t)性22质的不同，燃料最优控制问题可以分为正常与奇异两种情况。(1)正常情况若在时间区间「0,t］上,I九(t)1=1只在有限点上成立，则最优控制u*(t)可取f2-1,0,+1三个值，且在这三个值上转换。(2)奇异情况若在时间区间「0,t］上，至少存在一段时间间隔［t,t］u「0,t］，在其上有f12f丨九(t)I=1，则属于奇异情况。此时，最优控制轨线u*(t)由正常弧段和奇异弧段2两部分组成。实践——有限推力轨道转移燃料最优控制有限推力下最小燃料消耗轨道转移问题的最优控制问题模型可描述如下minJ=_m(t)oJfIudtf0X=f(x)+(T/m)工uf0maxiii=1m=_utiuimaxx(0)=x0,m(0)=m0,h(x(t))=0fIul<1式中，T为发动机推力的最大幅值，控制u=(u,u,u)为推力在轨道坐标max123系中方向分量。卫星的轨道运动学方程的状态常用一种称为MEE的轨道根数x=I"PeehhL"|T和质量m来表示。xyxy对于轨道转移任务，要求初始轨道和目标轨道是不同的，因而最优控制是非空的。问题满足的初值边界条件用MEE可描述为Co,mo空的。问题满足的初值边界条件用MEE可描述为Co,mo)=(Po,eo,eo,ho,ho,Lo,mo)eR7yxyx而终端边界条件则为h(x)=(P一Pf,e一ef,e一ef,hxxyyx为使问题便于解决，作以下假设_hf,h_hf,L_Lf)=0xyy(27)(28)(1)系统模型的状态始终满足路径约束(29)A={x,m)IP>0,1(e,e)l<1,m>m}(29)xye即卫星在椭圆域内飞行，在地心坐标系下位置向量幅值始终大于地球半径，m为e无燃料的卫星质量。最终飞行时间t要严格大于最短轨道转移时间t。ffmin卫星在终端时质量满足mf>m且是自由的。e问题满足可控性条件，在满足假设(1)~(3)及非空最优控制约束的条件下，存在时间固定时的燃料最优可行解。解燃料最优的性能指标取为Lagrange型，应用极小值原理，系统的哈密顿函数为函数为H=(p-UTp)IuI+H+(T/m)£uH(30)0maxm0maxiii=1式中，p为大于0式中，p为大于0的常数，通常取为1；03为Hamiltonian提升；p,p分别为状态x,m对应的协状态。m根据极小值原理可知(p(t),p(t))不同时为0时，应用Cauchy-Schwarz不等m式，令H=(H,H,H)，取p=1，则式(30)有TOC\o"1-5"\h\z1230H>(1-UTp)IuI+H-fxIHIguI(31)maxm0m则当u=-TH,T>0时式(31)取等号。因此令z=(x,m,p,p)，当H=(H,H,H)m123不为0时，最小H函数的解可写成u=-T(z)H/IHI,T(z)e[0,1](32)定义切换函数S(t,z)=1-UTp-(T/m)IHI(33)maxmmax00<=z(t(,t(,t00<=z(t(,t(,tSS34H/IHI,

u(t)=\-TH/IHI,其中Te[0,l],而当H=0时，则有u(t)eS(0,l),l-UTp<0maxm<u(t)eB(0,1),1-UTp=0(35)maxmu(t)=0,1-UTp>0maxm由上述分析可知，最优控制函数是由Bang-Bang弧和奇异子弧所组成。上述问题中当H丰0,S(t,z)=0时的奇异控制无法确定，即使假设H丰0,S(t,z)H0