计量经济学 第十章 联立方程组模型

第十章联立方程组模型第一节联立方程组模型概述一、问题的提出1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。二、联立方程组的概念1、联立方程组模型的定义。由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。2、联立方程组模型的例子。（1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。Qd二a+aP+ua<0(1)i01i1i1Qs+Bp+uB1>0(2)i01i2i1Qd二Qs(3)ii称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；Qd表示需i求量，Qs表示供给量，P表示价格，u,u分别为（1）式和（2）式的随机误ii1i2i差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联

立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。2）一个凯恩斯宏观经济模型。(4)(5)(6)C=卩+卩Y(4)(5)(6)t01t1tI=a+aY+ut01t2tT=C+I+Gtttt式中，C表示消费，Y表示国民总收入（又GDP，实际上它们是有区别的），I表示私人投资，G表示政府支出，ul、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性）1、内生解释变量与随机误差项的相关性。2、直接对联立方程组模型运用2、直接对联立方程组模型运用OLS法，所得的参数估计值是有偏的，并C=C=卩+卩Y+Ut01ttY=C+Ittt・•・Y=卩+卩Y+U+1t01ttt(1—卩)Y=卩+1+U1t0ttt1-p1-p1-p111E(Yt)=占+占+已巴11P,I+k1-p1-p11・•・Y-E(Y)=Uttt1-p10<卩<11且是不一致的。例如，设凯恩斯收入决定模型为cov(Y,U)=E1(Y-E(Y))(U-E(U))]=e\(Y-E(Y))U](E(U)=0)=E(-UU)=-E(U2)1-卩1-卩11=丰01-卩表明内生变量Y在作解释变量时与随机误差U相关。对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）

(工y=工(Y-Y)=0)(=1)厶y2d工(C-(工y=工(Y-Y)=0)(=1)厶y2卩1二工(Y-Y)2二工y2二乞尸工Cy工(卩+卩Y+U)y卩工y+卩工与+工U==0丄=0乙y2乙y2B?Uy=P+v1乙y2求B的数学期望1在上式中，由于E(vUy)丰0，所以，p不是P的无偏估计11再看参数估计的一致性。对P的表达式两端同时求概率极限，得1vUyvUyplim(p)=plim(P+v)=P+Plim(v)=P+plim(1-P=P+H=P+plim(1-P=P+Hp1c21Yc2表明P不是P的一致性估计。11下面根据此例用具体的数据(文件名kaiensimx)加以说明。假定投资I得数据已知，并且用蒙特卡罗方法生成随机误差U得数据，再假定E(U)二0,E(UU)二0(s丰0),var(U)二c2二0.04cov(U,I)二0ttt-sttt进一步假定消费函数中得参数真实值已知为P二2,P二0.8。01(1)由P二2,P二0.8和U的值，根据Y・+丄+-^计算Y01t1-P1-P1-P111的数值；(2)由P二2,P二0.8、Y的数值和U的数值，根据消费函数计算C01的数值。(3)由于用蒙特卡罗方法生成随机误差U的数据，则样本误差应正好是“真实”误差，故求C对Y的回归，所得的参数估计就应是P=2,p=0.8，01与真实值一致。(4)但当Y与U相关时，则参数估计的无偏性不再满足。(Gujarati，计量经济学，第641页)四、联立方程组模型中的几个概念1、内生变量。其数值由模型体系所决定的变量称之为内生变量。其特点是：（1）内生变量受模型体系的影响，反之亦然；（2）内生变量是随机变量。2、前定变量。包括外生变量和滞后内生变量。外生变量是指，它取的数值不由模型体系所决定。其特点是：（1）外生变量影响模型体系，反之不成立；（2）外生变量是非随机变量。外生变量与内生变量的关系是：外生变量能够影响内生变量，但内生变量不能影响外生变量。举例说明，（1）均衡条件下的供需模型；（2）凯恩斯的宏观经济模型。1、结构型模型。根据经济学理论或现实经济活动，对某种经济结构或某种经济主体的行为运用数学关系式进行“直接”描述。其过程可表述为经济原型f数学模型为了简单起见，下面直接给出联立方程组模型结构型的矩阵形式BY+rx二U（7）其中，Y为内生变量向量，X为前定变量向量，U为随机误差向量，B为内生变量结构参数矩阵，r为前定变量结构参数矩阵（向量或矩阵的具体表示见教科书第211页）。2、简化型模型。所谓简化型模型是指在联立方程组模型中每一个内生变量只由前定变量和随机误差线性表示，或者说内生变量只是前定变量和随机误差的函数。用矩阵表示的过程如下，假设BH0，则Y+B-irx=B-1U（8）令n=-b-irv=b-iu有Y=nx+V（9）称（9）式为模型的简化型。简化型模型与结构型模型的区别是：结构型模型中的方程左端为内生变量，但右端也可能出现内生变量；简化型模型中的方程左端为内生变量，但右端只有前定变量。注意：在已知前定变量未来值的情况下，利用（9）式的样本估计式可直接对模型中的内生变量进行预测。3、递归模型。在结构型模型中，如果方程的结构按如下形式，即y=Yx+Yx+・・・+丫x+u1111221kk1y=py+Yx+Yx+・・・+Yx+u2112112222kk2y=py+py+yx+yx++yx+u3113223113223kk3则称为递归模型。递归模型的特点是方便估计，无模型的识别问题。第二节联立方程组模型的识别问题一、识别的概念1、一个例子。设凯恩斯宏观经济模型为TOC\o"1-5"\h\zC=a+aY+u（1）t01t1tI=p+pY+u（2）t01t2tY=C+I（3）ttt将（3）式变换为，I=Y-C（4）ttt将（4）式代入（2）式，得-C=p+pY+u（5）tt01t2t将（5）式整理，得到如下模型：C=-p+（1-p）Y-u（6）t01t2t对比（1）式与（6）式，两个C的表达式（均表示消费模型），对消费函数来讲表达式不惟一，究竟哪一个才是表达消费的函数，这就是所谓的识别问题。再例如，同样是上述模型，将（1）式代入（3）式，得=a+aY+u+1t01t1tt—aY=a+1+ut1t0t1t（1—a）Y=a+I+u1t0t1t=-^+—I+—u（7）t1—a1—at1—a1t111比较（3）式与（7）式，国民总收入也有两个表达式，那么哪一个才是国民总收入的函数？不仅如此，（3）式为恒定式，而（7）式为一随机函数。由凯恩斯宏观经济模型结构可知，该模型具有合理的经济学解释，即式（1）与（2）的参数，在所对应的经济意义解释上应该是惟一的，但经过一定的数(4)(4)学变换，我们发现事实并非如此。比较式（2）与式（6），可以看出对于样本数据C,Y,I,均能得到参数0与0的估计（3与Q。现在的问题是B与Q究ttt010101竟是投资函数（2）还是消费函数（6）的参数估计？这也是联立方程组模型的识别问题。2、识别的定义。总的原则是看方程组中一个方程与另一个方程有无差异,也就是看每一个方程出现的变量是否一致,如果出现在不同方程里的变量不一样,则方程为可识别,否则就不可识别。关于识别的定义大致有以下几种情况：（1）方程的统计形式是否具有惟一型；（2）零系数规则；（3）结构型与简化型系数之间导出的关系。本教科书仅从（3）给出识别的含义。3、模型的识别问题。只有当联立方程组中每一个（结构）方程是可识别的,则该方程组才是可识别的。反之,当方程组模型中有一个方程不可识别,则整个方程组都不可识别。相比较,以此判断方程组不可识别更容易。4、联立方程组可估计的条件：内生变量的个数=联立方程组中方程的个数。二、识别的类型面通过几个例子来看利用结构型与简化型系数之间导出的关系所表现的识别类型。1、不可识别。设模型为QdQd=a+aP+u01i1iQs=0+0P+ui01i2id=Qsiia<0(1)10>0(2)1(3)Qd=Qs

ii「.a+aP+u=0+0P+u01i1i01i2i0—a.u—u..P=—04+^2i1i-ia—0a—01111将（4）式代入（1）式或（2）得Q=Q=Qd=Qs=iii令兀=二000j—B11

u—uv=-^i1-1ij—B11则简化型模型为jB—jBju—BuTOC\o"1-5"\h\z—101+12i11ij—Bj—B1111jB—jB

兀=―1011J—p11Ju—puV—12i2iJ—p11TOC\o"1-5"\h\zP—兀+v(5)i01iQ—兀+v(6)i12i由结构型与简化型系数之间的关系可以看出，简化型模型的系数只有两个，而结构型模型的系数有四个，显然要由简化型系数解出结构型系数是不可能的，即每一个结构方程都是不可识别，从而整个方程组不可识别。如果在此基础上引入前定变量，则识别的状况会发生变化。如在上述模型中的供给方程引入价格P的滞后一期变量P，即t—1Qd—J+JP+ut01t1tQs—p+pP+pP+ut01t2t—12t类似上述的推导，这时能得到需求函数为可识别，而供给函数仍然是不可识别。2、恰好识别。在上述基础上往需求函数中引入一个前定变量I（收入），t得Qd—J+JP+JI+ut01t2t1tQs—p+pP+pP+ut01t2t—12t—Qs

t同样道理，可得到结构型参数与简化型参数之间的关系，可以看出，由简化型参数能惟一地解出结构型的参数，这就是恰好识别。3、过度识别。继续往需求函数里引入前定变量什（财富）,Qd—J+JP+JI+JR+ut01t2t3t1tQs—p+pP+pP+ut01t2t—12t—Qst我们仍然能够得到结构型与简化型参数之间的关系，可看出简化型参数个数多于结构型参数个数，把这种情况称为过度识别（详细说明可见教科书第216页——第219页）。在以上例子的讨论中，可以看出增加前定变量与改变识别状况的关系，即在有条件的情况下，联立方程组模型随着前定变量的增加，模型总是能够实现可识别。正因为如此，通常在实际建模过程中，往往淡化模型的识别问题。三、识别的规则由上述讨论，我们看到通过结构型模型与简化型模型参数之间的关系能够分析模型的识别状况，但从操作的角度讲，不方便判断模型的识别性，因此，需要用专门的方法对联立方程组模型的识别性问题进行判断。设用矩阵形式表示的联立方程组模型为BY+rx二U对于该模型，记M=整个联立方程组模型中内生变量的个数m=联立方程组中第i个方程中内生变量的个数iK=整个联立方程组模型中前定变量的个数k=联立方程组中第i个方程i1、识别的阶条件（必要非充分）。（1）设联立方程组模型有M个结构方程，对其中某一个方程进行判断。如果该方程是可识别的，则该方程中没有包含在联立方程组中的变量（包括内生变量和前定变量）个数至少为M-1。如果该方程没有包含的变量个数恰好为M-1，则该方程为（有可能）恰好识别；如果该方程没有包含的变量个数大于M-1，则该方程为（有可能）过度识别；如果该方程没有包含的变量个数小于M-1，则该方程一定不可识别。对阶条件的理解需注意以下几点：（1）阶条件运用的基本前提是：内生变量的个数=联立方程组中方程的个数；（2）“至少没有包含的变量个数为M-1（包括内生变量和前定变量）”，有两种情况要注意，一是模型中不可能只有前定变量，否则建立联立方程组模型便无任何意义；二是模型中完全有可能只有内生变量，如模型Qd二a+aP+ua<0(1)i01i1i1Qs邛+Bp+uB1>0(2)i01i2i1Qdi=Qsi(3)其中全部变量均为内生变量；最后基于上述两点，模型中至少出现的变量个数应为M个(每一个方程至少含有一个内生变量)，扣除正在判断的方程，考虑方程个数与内生变量个数一致，故为M-1，从而至少出现的变量个数应为M-1个。根据以上定义，没有包含在第i个方程的变量个数有如下关系(M+K)-(m+k)>M-1iinK—k>m—1ii当K—k二m—1时，该方程有可能是恰好识别；当K—k>m—1时，该方程有iiii可能是过度识别；当K—k<m—1时，该方程一定不可识别。ii由于阶条件是必要非充分，所以对可识别的判断存在局限，但用阶条件判断不可识别(即该命题的逆否命题)则非常方便。例1，对如下模型运用阶条件判断其识别性Qd=a+aP+aI+u(1)t01t2t1tQs=p+pP+pP+u(2)t01t2t—12tQ=Qd=Qs⑶ttt该模型所有内生变量个数M=3，对于(1)式有，K=2,k=1m=211nK—k=2—1=m—1=111所以方程(1)可能是恰好识别；对于(2)时有，TOC\o"1-5"\h\zK=2,k=1,m=222所以与方程(1)有相同的结果，即也可能是恰好识别。例2，设联立方程组为Qd=a+aP+aI+aR+u(1)t01t2t3t1tQs=p+pP+pP+u(2)t01t2t—12tQ=Qd=Qs(3)ttt该方程组模型内生变量个数M=3，对于方程(1)有K=3,k=2,m=211/.K—k=3—2=m—1=2—111所以方程(1)有可能恰好识别。对于方程(2)有K=3,k=1,m=122/.K—k=3—1>m—1=1—122所以方程（2）有可能为过度识别。例3，设联立方程组模型为Qd=a+aP+ut01t1t(1)Qs=p+pP+pP+ut01t2t—12t(2)Q=Qd=Qs(3)ttt该方程组内生变量个数仍然是M=3，对于方程（2）有K=1,k=1,m=222/.K—k=1—1<m—1=2—122所以方程（2）是不可识别，从而方程组不可识别。事实上方程（1）是可识别的。例4，设结构型模型为=3Y—2X+X+u12121=Y+X+uTOC\o"1-5"\h\z332=Y—Y—2X+u1233其中Y,Y,Y为内生变量，即M=3；X,X,X为前定变量，即K=3。下面对第123123三个方程进行识别性的判断。由第三个方程，可知m=3,k=1，根据识别的33阶条件，有K-k=3-1=2=m-1=3-1=2，则第三个方程有可能为恰好识33别。但由下面的秩条件可知第三个方程为不可识别。这说明方程满足识别的阶条件，未必一定是可识别的。2、识别的秩条件（充分且必要）。联立方程模型识别的秩条件可以表述为：在有M个内生变量M个方程的完整联立方程模型中，当且仅当一个方程中不包含但在其他方程包含的变量（不论是内生变量还是外生变量）的结构参数，至少能够构成一个非零的M—1阶行列式时，该方程是可以识别的。或者表述为，当且仅当一个方程所排斥（不包含）的变量的参数矩阵的秩等于M—1时，该方程可以识别。设结构型模型为BY+rx二U在上式中B为内生变量的系数矩阵，r为前定变量的系数矩阵，记矩阵（B,r）00为该方程组中第i个方程中没有包含的内生变量和前定变量系数所构成的矩阵，如果当（B,r）的秩为M-1时，即只有当至少有一个M-1阶非零行列式00时，该方程才是可识别的。类似阶条件有三种情况，秩条件也有三种情况：当只有一个M-1阶非零行列式时，该方程是恰好识别；当不止一个M-1阶非零行列式时，该方程是过度识别；当不存在M-1阶非零行列式时，该方程是不可识别。运用秩条件判别模型的识别性，步骤如下：（1）将结构型模型转变为结构型模型的标准形式，并将全部参数列成完整的参数表（方程中不出现变量的参数以0表示）；（2）考察第i个方程的识别问题：划去该方程的那一行，并划去该方程出现的变量的系数（该行中非0系数）所在列，余下该方程不包含的变量在其他方程中的系数的矩阵（B,r）；00（3）计算Rank（B,r），检验所余系数矩阵（B,r）的秩，看是否等于0000M—1，或检验所余系数是否能构成非零M-1阶行列式。（4）判断：如果Rank（B,r）=M-1，则该方程为可识别；根据非零行列00式个数判别是恰好识别，还是过度识别。设联立方程组模型BY+rx二U中第i个方程有m个内生变量和k个前定变量，那么该方程可识别的充分必要ii条件是该方程没有包含的变量（包括内生变量和前定变量）的系数所组成的矩阵的秩为M-1。秩条件的运用关键是如何构建某个方程不包含变量的系数矩阵，然后计算矩阵的秩。记矩阵（B,r）为第i个方程中没有包含的其它内生变量和前定变量00

之系数所构成的矩阵，Rank(B,「)=M-1，则该方程可识别；如果有多个非零00矩阵的秩为M-1，则该方程为过度识别；如果Rank(B,r)VM-1，则该方程00为不可识别。3、联立方程组模型识别的一般做法，即将阶条件与秩条件结合运用(教科书第221页)。运用阶条件。如果不可识别，则到此为止；如果有可能识别，则运用秩条件。运用秩条件。如果不可识别，则到此为止；如果可识别，还需进一步判断是恰好识别还是过度识别。运用阶条件判断可识别的类型，是恰好识别还是过度识别。例如，设定的联立方程模型为TOC\o"1-5"\h\zY=C+1+G(1)ttttC=a+aY—exT+u(2)t12t3t1tI=卩+卩Y—卩Y+u(3)t12t3t—12tT=Y+YY+u(4)t12t3t模型中，M=4个内生变量Y、C、I、T分别是收入、消费、投资、税收；tttt前定变量G和Y分别是政府支出和上年收入。tt—1由给定方程组模型写出其结构性模型的标准形式(5)(6)(7)(8)—a+C+01—aY+aT+0G+0(5)(6)(7)(8)TOC\o"1-5"\h\z1tt2t3ttt—11t—卩+0C+1—卩Y+0T+0G+卩Y=u1tt2ttt3t—12t—Y+0C+01—丫Y+T+0G+0Y=u1tt2tttt—13t0—C—I+Y+0T—G—0Y=0tttttt—1由结构型的标准形式写出其系数矩阵(B,r)，即(—a101—(—a101—P011—Y001W—1—1或者将以上一般形式的结构参数列于表1(b,r)=—x2—P2—Y210x3

00

10—10'

P300丿表1CIYTGYt-1方程1—a110-a2a300方程2-0101-020003方程3-Y100-Y2100方程40-1-110-10面利用秩条件判断该模型的识别性。（1）分析消费函数方程1的识别问题，划去方程1的那一行，并划去该行中非0系数所在列（即C、Y、T对应的列），余下方程1不包含的变量在其他方程中的系数，构成（b,r），并列于如下矩阵00(100)3(B,r)=00000I-1-10丿所余系数矩阵(B,r)能构成M-l=3阶行列式：001003000=0—1-10（B,r）只能构成一个等于零的M—1阶行列式，或者说Rank（B,r）＜M-1,这0000说明消费函数是不可识别的。值得注意的是，在阶条件的判断中该方程是有可能为恰好识别（见式（11.51）的阶条件判断），这一例子正好说明阶条件只是必要条件，而非充分条件，亦即满足阶条件的未必一定满足秩条件。（2）分析投资函数方程2的识别问题，同样道理可以划去方程2的那一行，并划去该行中非0系数所在列（即I、Y和Y对应的列），余下方程2不t-1（1a0）3包含的变量在其他方程中的系数，构成（b,r），得到（B,r）=010，0000I-10-1丿其行列式为

1a03010丰0-10-1只能构成一个不等于零的M—1阶行列式，则说明Rank（B,厂）=M-1=3,即表00明投资函数为恰好识别。（3）分析税收函数方程3的识别问题，可以划去方程3的那一行，并划去该行中非0系数所在列（即Y和T对应的列），余下方程3不包含的变量在其他方程中的系数，构成（其他方程中的系数，构成（b,r），00得到（B,r）为00(B0(B0,r0)二10-10010-1-1这是一个三行四列的矩阵，故可构成四个三阶行列式，100100这是一个三行四列的矩阵，故可构成四个三阶行列式，10010000010001000卩10卩01卩333-1-1-1-1-10-1-10-1-10即00P30很明显在这四个三阶行列式里只有00-1其余三个均为非零行列式，则表明税收函数是过度识别。最后一个方程为恒定式，可以不需判断其识别性。综上所述，由于消费函数是不可识别，所以，整个方程组为不可识别。第三节联立方程组模型的估计一、估计方法的概述1、单一方程估计法（有限信息估计法）。该类方法的特点是在估计参数的过程中，只用到该方程自身所带来的信息。2、系统估计法（完全信息估计法）。这类方法的特点是在估计参数的过程中，不仅用到该方程所提供的信息，而且还要用到其它方程所提供的信息。二、