专题04 函数零点问题之分段分析法模型（解析版）

专题04函数零点问题之分段分析法模型一、单选题1．（2021·浙江奉化·高二期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】将条件转化为有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可.【详解】因为函数至少存在一个零点所以有解即有解令，则因为，且由图象可知，所以所以在上单调递减，令得当时，单调递增当时，单调递减所以且当时所以的取值范围为函数的值域，即故选：A【点睛】1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.2.若方程有根，则的范围即为函数的值域2．（2021·天津·耀华中学高二期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】函数定义域是，，，设，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．故选A．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．3．（2021·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得，构造新函数，通过利用函数的单调性，可知在处取最小值，函数至少存在一个零点，只需即可，即可求出实数的取值范围.【详解】依题意得，函数至少存在一个零点，且，可构造函数和，因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：解得：.故选：D.【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，通过构造新函数以及利用二次函数性质和导数求出函数的单调性进而求出函数最小值，结合零点求出参数范围．4．（2021·天津·南开中学高三）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【详解】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数，的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解．5．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】将函数的零点问题转化为函数与函数图象的交点个数问题，利用导数得出函数的单调性，进而得出其草图，结合图象，即可得出实数的取值范围.【详解】令，即令，则函数与函数的图象至少有一个交点易知，函数表示开口向上，对称轴为的二次函数，函数在上单调递增，在上单调递减，作出函数与函数的草图，如下图所示由图可知，要使得函数与函数的图象至少有一个交点只需，即解得：故选：B【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数的范围，涉及了导数的应用，属于中档题.6．（2018·全国全国·高三专题练习（文））已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出导函数、求出函数的单调区间，得出函数的极值，要使函数有两个零点，即可.【详解】，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在上只有一个极大值也是最大值，显然时，，时，，因此要使函数有两个零点，则，∴．故选：B．8．（2021·全国·高二）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【分析】方程有解，原方程两边同除以，然后令，问题变为有解，即有解，引入函数，由导数求出它的最小值，解关于参数的不等式可得的范围．【详解】由得，设，，则，则有解，设，为增函数，，当时，递增，当时，递减，所以当时函数取极小值，，即，若有解，则，即，所以或，故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查方程有解问题，对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．9．（2017·黑龙江大庆·三模（文））设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】A【详解】函数定义域是，，，设，则，设，则，，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，，函数至少有一个零点，则，．故选A．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．【名师