高考数学：高中数学经典题型汇总

高考数学经典题型1、设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a取值范围是（）（A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1,+[答案][解析]当a≥1a＜1f(f(a))＝2222f(a)≥1，即3a－1≥1，∴a≥≤a＜1，综上a≥.∴选333[方法点拨]1.分段函数求值或解不等式时，一定要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数要用好其周期性．2．形如f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则．2、偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f(ax－1)<f(2＋x2)恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－23，2)解析]由于函数为偶函数，故f(ax－1)＝f(|ax－1|)，因此f(ax－1)<f(2＋x)f(|ax－1|)<f(2＋x)，据已知单调性可得f(|ax－1|)<f(2＋x2)⇔|ax－1|<2＋x2，据题意可得不等式|ax－1|<2＋x2恒成立，即－(2＋B．(－2,2)C．(－23，2D．(－2,2[－ax＋3>0，＋ax＋1>0－12<0，－4<0，2)<ax－1<2＋x2⇔恒成立，据二次函数知识可知解得－2<a<2，故选B.13()32A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．a<c<b[答案]D[解析]∵f(x＋1)为偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，第1页共90页112∵f(2)＝f(0)，且2，∴f(2)<f()<f(log2)，∴a<c<b.33221－x＋1，－1≤x<k－3x＋2，k≤x≤a4、已知函数f(x)＝，若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是()1A．[3，＋∞)B．[，C．(0，3]D．{2}2[答案]B[解析]当a＝2时，f(x)＝x－3x＋2，k≤x≤2，f(2)＝28不合题意，∴a≠2，排除A、D；1111222当k＝，<loglog2<0，23333333∴不合题意，排除C，故选B.5.已知命题py＝2－2在Ry＝2＋2在Rq：121p∨p∧p：(¬p)∨p和q：p)中，真命题是()12212312412A．q，q3B．q314D．q24[答案][解析]∵y＝2x在R在R－2在R上是增函数，所以py＝2－2在R上为增函数为真命题，py＝2＋2在R上为减函数为假命题，故12q：p∨p为真命题，q∧p是假命题，q：(¬p)∨p为假命题，q∧(¬p)是真命题．故真命题112212312412是q，故选146、已知实数a、b，则“2>2a>logb”的()22A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]由y＝2x为增函数知，2>2b⇔a>b；由y＝logx在(0，＋∞)上为增函数知，a>logb⇔a>b>0，∴a>b/a>b>0，但a>b>0a>b，故选B.227已知定义在R上的函数f(x)＝2－1(ma＝f(log则a，b，c的大小关系为(A．a＜b＜cB．a＜c＜b)C．c＜a＜bD．c＜b＜a第2页共90页[答案][解析]考查函数奇偶性及指数式、对数式的运算．因为函数f(x)＝2－1为偶函数，所21|log1|以m＝0，即f(x)＝2－1，所以a＝f(log3)＝f3＝23－1＝2log3－1＝3－1＝2，2b＝f(log5)＝2log5－1＝4，c＝f(2m)＝f(0)＝2－1＝0，所以c<a<b，故选22[方法点拨]1.幂式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指数或同真数等借助于函数单调性或图象求解．．指数函数与对数函数的图象与性质2指数函数对数函数y＝logy＝a(a>0，a≠1，x∈R)叫指数函数(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1)x>0；(1)y>0；(2)图象恒过点(1,0)；(3)a>1，(2)图象恒过点(0,1)；(3)a>1，当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0；0<a<1，当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1；0<a<1，当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0；(4)a>1，在(0，＋∞)上y＝logxy＝logx为减函数当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1；R上y＝ax在R上y＝ax为减函数第3页共90页3.幂函数的性质y＝x3y＝x12y＝x2(－∞，0)∪(0，＋定义域RR[0，＋∞)∞)(－∞，0)∪(0，＋R[0，＋∞)[0，＋∞)非奇非偶∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数x∈[0，x∈(0，＋∞)时，减＋∞)单调性增时，增增x∈(－∞，x∈(－∞，0)时，减0]时，减8命题f(x)＝a－2(a>0且f(x)＝lg|x|(x≠0)有两个零则下列说法正确的是(A．“p或q”是真命题C．¬p为假命题)B．“p且q”是真命题D．¬q为真命题[答案][解析]∵f(0)＝a－2＝－1，∴p为假命题；令lg|x|＝0得，|x|＝1，∴x＝±1，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，¬p为真，¬q为假，故选2－1，x>0，9、已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是－2－2x，x≤0，第4页共90页________．[答案](0,1)[解析]f(x)的图象如图所示：当0<m<1时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点．10、a、b∈[－1,1]，则函数f(x)＝ax＋b在区间(1,2)上存在一个零点的概率为()12B.11148[答案]C[解析]f(x)＝ax＋b在区间(1,2)111112上存在一个零点的点(a，b)所在区域面积S′＝××1×2＝，故所求概率P＝＝.222842，x∈[0，1，311、f(x)＝若f(xx的取值范围是()004－2x，x∈[1，2]，235B．(0，log2]∪[，＋∞)5A．(log2，)2424C．[0，log35D．(log2，1)∪[524240≤x0<1，1≤x≤2，4－2x0≤330≤3[答案]C[解析])≤⇔或0222350≤x≤log2或≤x≤2，故选024第5页共90页12、已知常数a、b、c都是实数，f(x)＝ax＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－81B.1C．2D．53[答案][解析]依题意得f′(x)＝3ax＋2bx＋c≤02b，c－－2×3＝，∴b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝3a2115，－a＝－81，a＝2，故选2设函数f(x)＝3＋axex(a∈Rf(x)在x＝0ay＝f(x)在点(1，1f(1))处的切线方程。6x＋a－3x＋ax－3x2＋exx＋a，解析：(1)对f(x)求导得f′(x)＝ex2f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.－3x＋6x当a＝0时，f(x)＝2，f′(x)＝，exx33故f(1)＝，f′(1)＝.ee33f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.ee14、已知函数f(x)＝(ax＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.求a的取值范围；解析](1)由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e，[f′(x)＝[ax＋(a－1)x－a]ex依题意须对于任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以须f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；第6页共90页当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x－1)e<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对于任意x∈(0,1)，f′(x)＝－xe<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件．故a的取值范围0≤a≤1.πα＋π115、6－cos2sin6)355C．－77A．－B.99π3α1[答案]B[解析]2sinαcos6＝α22＝32α－2＝22α＋ππ131316－，又由于6－cosα＝α＋α－cosα＝α－α＝22222α－π16＝，3π6π－ππα＋π2α＋π277又16＝cos23＝1－2sin26＝1－＝2sinαcos6＝9995－＝.2[方法点拨]关系公式求解，能用诱导公式化简的先化简．2tanα求sinα与cosα的齐次式的值时，将分子分母同除以cos时，视分母为1＝sinα＋cosα代换．3．sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ知一求其他值时，利用关系(sinθ±cosθ)2＝1±2cosθcosθ.第7页共90页要特别注意利用平方关系巧解题．已知某三角函数式的值，求另一三角函数式的值时，关键是分析找出两三角函数式的联系恰当化简变形，再代入计算．116、已知角α的终边经过点A(－3，a)，若点A在抛物线2的准线上，则)433C．－11A．－B.22221[答案]D[解析]由已知得抛物线的准线方程为y＝1，故A(－3，1)，所以sinα＝.2π17、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，2则只要将f(x)的图象()ππA．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度4ππC．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4答案]B[解析]由题知，函数f(x)的周期T＝4(5－，所以ππ2π＝，[433ω解得ω＝3，易知A＝1，所以f(x)＝sin(3x＋φ)．又f(x)＝sin(3x＋φ)过点(5，－1)，πsin(3×5＋φ)＝－1，所以3×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，π32πππππ所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin(3x＋)＝sin[3(x＋)]，4244π所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)＝sin3x的图象，故选B.第8页共90页[方法点拨]1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时，用待定系数法求解．由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定ω，由图象上特殊点的坐标来确定φ，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次类推即可．2mx＋m(或x－m)代替xy上)平移ny＋n(或y－n)代替k代替x(或代替kky)，即可获解．18、已知α∈R，sinα＋2cosα＝10tan2α＝()24B.3C．－3D．－43443[答案][解析]本题考查三角函数同角间的基本关系．将sinα＋2cosα＝两边平方可得，253sinα＋4sinαcosα＋4cosα＝，∴4sinαcosα＋3cos.22将左边分子分母同除以cosα得，＋4tanα＝，解得tanα＝3或tanα＝－，311＋tanα232tanα3∴tan2α＝.1－tanα4ππ1函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象关于直线23数f(x)图象的一个对称中心是()ππC．(πA．(B．(D．(－，0)3[答案]B[解析]由题意知T＝π，∴ω＝2，第9页共90页ππππ由函数图象关于直线x＝对称，得＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z3326πππππk又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝Asin(2x－2x－＝kπ(k∈Z＋π(k∈Z)．26662π∴一个对称中心为(，0)，故选B.20、在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是()221D．－1A．－B.3222tanA＋tanB[答案]B[解析]由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，1－tanA·tanBA＋B＝3π，cosC＝2，故选B.π442π－，ππ3－3cos23R则f(x)在闭区间44上的最大值和最小值21、已知函数4分别为________．14113cosx－3＝sin2x－3(cos2x＋1)＋13[答案]、－[解析]f(x)＝sinxcosx＋3cosx＋2x－π2224444x－π－，ππ－6，π－1，1－，11212π＝344时，2x－∈363∈2.∴f(x)∈24.22、f(x)＝3sinωx－2sin2(ω>0)的最小正周期为3π.2π3π(1)当x∈[，]时，求函数f(x)的最小值；24(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．解析]∵f(x)＝3sin(ωx)－2·1－cosωx＝3sin(ωx)＋cos(ωx)－1＝2sin(ωx＋)－1，π[26第10页共90页由2＝3π得ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)－1.π22πω336(1)由≤x≤得≤≤，∴当x＋时，f(x)＝2×－1＝3－1.ππ2π2π24236336222π2π(2)由f(C)＝2sin()－1及C＋)＝1，3636π2π2πππ而≤C＋≤，C＋＝，解得.63663622π在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，∴2cosA－sinA－sinA＝0，22∴A＋sinA－1＝0，解得sinA＝－.∵0<sinA<1，∴sinA＝.2π5π23、已知函数f(x)＝2sin(x＋5)cos(x＋)－2cos(x＋)＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间．π解析](1)∵f(x)＝2sin(x＋5)cos(x＋)－2cos(x＋)＋1＝sin(2x＋)－cos(2x＋5π5π)[2[sin(2x＋5)·cos－cos(2x＋2sin[(2x＋2sin(2x＋πππππ＝4446∴f(x)的最小正周期2π＝π.2ππππ(2)由(1)可知f(x)＝2sin(2x＋＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Zkπ－≤x≤kπ＋(k∈)62ππ6236时，πππf(x)＝2sin(2x＋)是增函数，∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z336第页共90页24、α＝2.π(1)求4的值；的值．2α＋sinαcos2α－1α＋tanππ4α＋12＋1＝－3，－tanαtanπ1－tanα1－2[解析]4＝＝＝142α2α＝＝α＋sin2α－1sinα＋sin2cosα－12αcosα2tanα2×2＝＝＝1.2α－2cosαtanα＋tan＋2－225、在直角梯形中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则)10B.352555[答案]B[解析]由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，∴a2＝(2a)2＋(5a)2－2×2a3.×[方法点拨]解三角形的常见类型：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.和对的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知和A＋B＋C＝π求正弦定理或余弦定理求c，要注意解的讨论．第12页共90页(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.26、在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA＝22，a＝2，S＝2，则b3的值为()B.32C．221D．2332112＝2，∴bc＝3，[答案]A[解析]由已知得：cosA＝＝bcsinA＝bc×3223又由余弦定理得：a＝b＋c－2bccosA，即b＋c2－2＝4，2＋c＝6，∴b＋c＝23，解得b＝c＝在△ABC的对边分别为2＋c－b)tanB＝B的值为(∴2)π6π3π5π6π3B.或或63＋c－b2[答案][解析]由(a2＋c2－b)tanB＝3ac得，·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝a＋c－b2得，2cosB·tanB＝sinB＝3π，∴角B的值为或，故应选23328、在△ABCA所对的边分别是c＝7，πC＝，则△ABC的面积是()3A.337337434636ππ[答案]D[解析]由已知得：2sinBcosA＝3sin2A＝6sinAcosA，若cosA＝0，则∠A＝，则B＝，267321＝bc＝××7＝7113πb＝＝322362第13页共90页112＝a＋b7＝a＋9a2－3a2＝7a＝absinC＝2×1×3×＝32429、在△ABC中，已知atanB＝btanA，试判断△ABC的形状．[解析]1：由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB.∴(2RsinA)2＝(2RsinB)2sinA，cosBcosAπ∴∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.2△ABC为等腰或直角三角形.2：∵atanB＝btanA，∴a2＝tanAsinAcosB＝.由正弦定理得＝.ab2tanBcosAsinBsinBba＋c－b2由余弦定理得cosB＝，cosA＝＋c－a2.∴a2＝·acosBa＋c－b2＝，2bc2bcosAb＋c－a2整理得(a－b)(c2－a－b)＝0.∴a＝b或2＋b＝c2，∴△ABC为等腰或直角三角形．3330、设向量，b满足||＝2，·＝，|＋|＝22，则||等于()2123B．1D．22[答案]B[解析]∵|＋|＝|a＋2a·＋||＝4＋3＋||＝8，∴|b1、若两个非零向量、b满足|b|＝|a－|＝2||，则向量＋b与ab的夹角是()π6π336B.＋b·ab－2[答案][解析]解法b|＝3|acosθ＝＝ab|·|－|2||2第14页共90页＝－22θ＝2π.122332、如图，正方形中，点E是的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF＝()11111112→→→→→→→→B.AB＋234232231112→→→→→→→→→[答案]D[解析]EF＝AF－AE＝AB＋AD－(AD＋AB)＝AD.3223→→→→→→33、在边长为1的正三角形中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________.b－11→→→→→→[答案]－[解析]如图，令AB＝aa＋)，BE＝BC＋CE＝(－342＝2a，3ab－a1a|2|21|2||211111－a·＝－－×.621→→∴AD·BE＝22·3＝·b－＋－a·＝－3232326324→→→→→34、和BD相交于点aa和b表示)．11223231223→→→→→→→→→[解析]据题意可得AC＝AD＋DC＝AD＋AB＝＋b，又由AB＝2DC，可得AO＝a＋)＝a2第15页共90页13＋.x≥1，→→35、Oy≥0，x＋y≤4.[解析]据不等式组得可行域如图所示：→→由于z＝3×4＋2×0＝12.36、在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋)，求tanB＋tanC的值；(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a－c22.[解析](1)xy＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，∵z∥(x∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，整理得tanC＋tanB＋2＝0，∴tanC＋tanB＝－2.(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，＋b2－c2b＋c－a22bc∴由正、余弦定理得：a·＋3××c＝0，∴a－c.37、已知{a}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S.若a，a，a成等比数列，则()nn348A．ad>0，dS>0B．ad<0，dS<0C．ad>0，dS<0D．ad<0，dS>014141414[答案]B[解析]考查等差数列的通项公式及其前n项和；等比数列的概念．5∵}为等差数列，且a，a，a成等比数列，∴(a＋3d)＝(a＋2d)(a＋7d)⇒an34811113第16页共90页25323∴S＝2(a)＝2(a＋3d)＝－d，∴ad＜0，dSd2＜0，故选B.4141114338、等比数列{an项和为SS＋10a＝9，则a)nn3215113B．－111399[答案][解析]＋10a＋a＝a＋10a，a＝9aq，∴q＝9，321123213111又∵a＝9，∴9＝a·q＝9a，∴a＝1，又a＝9aa＝.5333311911139、若数列{a}为等比数列，且a＝1，q＝2，则T＝＋＋…＋等于()n1naaaa1aa223n121121B.(1－)(1－)4n34n2n3n[答案]B[解析]a＝1×2＝2，所以a·a＝2·2＝2×4，nn1111＝×()，所以{}也是等比数列，aa24aann11－1111n21T＝＋＋…＋aa＝×＝)，故选B.aaaa121－143n223n55S40、已知等比数列{an项和为Sa＋a＝，a＋a＝()nn132424nA．4－1B．4C．2－1D．255115[答案][解析]设公比为a(1＋q(1＋q)＝，∴a＋a＝，∴a＝2.12111242421212122[1－]＝4[1－(]，∴＝4[1－]11S1∴aq＝＝2(2－)＝2n1n22an122第17页共90页[点评]用一般解法解出a、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下：n1a11－qn1－q1－1Snn－1.1∵a＋a＝q(a)，∴q＝＝＝＝24132n·q12aq·141、设数列{aa＝1，且a＝n＋1(n∈)，则数列a前项的和为________．n1nn20[答案][解析]考查数列通项，累加法、裂项求和．n2＝(a－a)＋(a－a)＋…＋(a)＋a＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝nn211111111111，S20.以－)，S＝2(1－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－n＋1nnnn＋1223n[方法点拨]1.熟记等差、等比数列的求和公式．23．形如＝a＋f(n)的递推关系用累加法可求出通项；．形如＝af(n)的递推关系可考虑用累乘法求通项a；nnb4．形如＝ka＋b(k、b为常数)可通过变形，设b＋构造等比数列求通项nnnk－12Sn42、已知等差数列{a}的前n项和为S}满足b＝.求数列{ann13n123n{b}的通项公式。[解析](1)等差数列{a}，a＝1，S＝6，∴d＝1，故a＝nn13nb·b·b·…·b＝2Sn1123n，(1)÷(2)得b＝2S＝2a＝2(n≥2)，nnb·b·b·…·b＝2S2123b＝2S＝2＝2，满足通项公式，故b＝2n11n第18页共90页43、已知等差数列{a}满足：a＝2，且a成等比数列．求数列{a}的通项公式。n1125n(1)设数列{a}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)＝2(2＋4d)．化简得d2－4d＝0，解得或当d＝0时，a＝2；当时，a＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{a}的通项公式为a＝2或a＝4n－2.nnn44、已知数列{a}的各项均为正数，且a＝2，a＝a2＋4a＋2.n1n(1)令b＋2)，证明：数列{b}是等比数列．n2nn(2)设c＝nb，求数列{cnS.nnnn[解析](1)由a2＋4a＋2，得＋2＝a2＋4a＋4＝(a＋2).因为aa＋2＝a＋2.因为b＝2＋22＋2＝log22＋2＝b＝log1112b2n＋2)＝2，1所以数列{b}是首项为2，公比为的等比数列．n211(2)由(1)知，b＝2·2c＝2n2.nn1111S2＋4×21＋…＋2(n－1)2＋2n2111112＝2×212＋…＋2(n－1)2＋2n2.②111111①＝－②得：S＝2×2＋2×2＋2×2＋…＋2×22nn212n11112－2n·2＝4－(4＋2n)2＝8－(n＋2)2.1－2第19页共90页[方法点拨]数列求和的类型及方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{a·bn项和，其中{a}、{b}分别是等差数列和等比数列．nnnn(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．n45、已知向量＝(SS是数列{a}的前na⊥}nnn的最大项的值为________．n2[解析]a⊥，∴·b＝2S－n(n＋1)＝0，∴S＝，∴a4nn14nnn∴＝＝n＝2取最小值取到最大值·ann＋＋5n19.46、设数列{an项和为S，满足(1－q)S＋qa＝1，且q(q－1)≠0.nnnn(1)求{a}的通项公式；(2)若S，S成等差数列，求证：a成等差数列．396285[解析](1)当n＝1时，由(1－q)S＋qa＝1，∴a111第20页共90页当n≥2＋qa＋qa＋q(a)＝0，nnnn∴＝qa＝1，q(q－1)≠0，∴a，综上a.1nnn(2)由(1)可知＝q，所以{a1为首项，q为公比的等比数列．＝1－aqS＋S＝2S1－aq1－aq＋＝21－aq，3691－q1－q化简得a＋a＝2a，两边同除以q得a＋a＝2a.故a成等差数列．369258285[方法点拨]1.在处理数列求和问题时，一定要先读懂题意，分清题型，区分等差数列与等比数列，不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列，在利用分组求和时，要特别注意项数．方程求解．247、.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.34π333B.C．8－D．8－[答案][解析]由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个圆锥，13∴－V＝2×2×2－×(π×1)×2＝8－.3第21页共90页[方法点拨]1.求几何体的表面积与体积问题，熟记公式是关键，应多角度全方位的考虑．(1)给出几何体的形状、几何量求体积或表面积，直接套用公式．(2)用三视图给出几何体，先依据三视图规则想象几何体的形状特征，必要时画出直观图，找出其几何量代入相应公式计算．(3)用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积或表面积．(4)求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法．2归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．构成的线段P－ABCD补成球的内接长方体，利用4R＋PB＋PC2解决问题．8、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面34E和F分别是CD、PC的中点，求证：ABCD；(2)BE∥平面(3)平面BEF⊥平面[解析](1)因为平面垂直于这两个平面的交线AD，所以ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为的中点，第22页共90页AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄BE∥平面(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知ABCD.所以CD⊥PD.E和F分别是和的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF，又因为CD⊥BE，BE∩EF＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.9、在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面为等腰梯形，AB∥CD，AC＝3，AB＝2BC4＝(1)求证：AC⊥平面(2)求四面体的体积；(3)线段上是否存在点M，使得EA∥平面FDM？证明你的结论．[解析](1)证明：在△ABC3，AB＝2，BC＝1，∴AC⊥BC.FBC.(2)解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC.∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD.第23页共90页在等腰梯形中可得∠BCD＝120°，CB＝DC＝1，∴FC＝1.∴S＝，4四面体的体积为：V＝S·FC＝.1∴3(3)线段上存在点M，且M为中点时，有FDM，证明如下：CE，与交于点N，连接MN.CDEF为正方形，所以N为中点．所以EA∥MN.因为⊂FDM，EA⊄FDM，EA∥平面FDM.所以线段上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．50、a，b，m，n是四条不同的直线，其中a、b是异面直线，则下列命题正确的个数为()①②③若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n；若m∥a，n∥b，则是异面直线；若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线．A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]对于①，过直线a上一点O作直线a∥b，则直线a，a确定平面α，因为m⊥a，11m⊥a1m⊥α，同理n⊥α，因此直线a上取点A作直线与b其中正确的命题的个数是1，故选B.5设的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第24页共90页[解析]m⊥α⇒nα[答案]Aα⊥β.n⊥β⇒m∥β或mβ⇒/n⊥β.52、a、b表示直线，α、β、γ表示平面．①②③④⑤若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；若⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；若α⊥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a⊥b；若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内无数条直线；若⊂α，mα，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中为真命题的是__________．[答案][解析]对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；④对a只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有⑤是正确的．3、已知三棱柱ABC－ABC底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面②511112π，则该三棱柱的体积为________．[答案][解析]4πR＝12π，∴R＝3，△ABC外接圆半径2，∴柱高h＝2R－r＝2，3∴V＝×(23.454、已知正方体ABCD－ABCD的棱长为1，点P是线段AC上的动点，则四棱锥P－ABCD的外接111111球半径R的取值范围是______________．343，[答案]2[解析]当P为AC的中点时，设球半径为R，球心到底面距离为h，则11第25页共90页R＋h＝133，3R－h＝1，∴R＝P与AC11424225如图，在直三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC为等边三角形，AB＝4，AA＝5，点M是BB的中11111(1)求证：平面AMC⊥平面C(2)求点A到平面A的距离．111[解析](1)证明：记与AC的交点为11∵∴直三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC为等边三角形，AB＝4，AAM是BB的中点，11111＝MA＝MC＝MC＝.112因为点E是C的中点，所以ME⊥AC且ME⊥AC，从而ME⊥平面C111111MEAMC，所以平面ACC.1111(2)过点A作AH⊥ACH，由(1)知平面ACC，平面AMC∩平面CC＝AC，∴AH⊥平面CC111111111∴即为点A到平面A的距离．在△A中，∠AAC＝90°，AA＝5，AC＝4，∴AC＝41，∴AH＝5＝1111A到平面A的距离为.15如图1Rt△ABCE在线段上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿折起，使得平面AB.第26页共90页(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)求三棱锥A－BDE的体积．解析](1)在图1[∵AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝60°.的平分线，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，∴CD＝2CE＝4，∠DCE＝30°，∴DE＝2.则CD＋DE2＝EC，所以∠CDE＝90°，DE⊥DC.3∵又因为平面BCD⊥平面BCD∩平面ACD＝CD，DE⊂DE⊥平面BCD.(2)在图2中，作BH⊥CD于H，因为平面ACD，平面BCD∩平面BHBCD，所以BH⊥平面1中，由条件得BH＝321××2×2sin120°×＝.113所以三棱锥A－BDE的体积V＝V＝S3322257、如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC－ABC中，AA＝AB＝2，D是BC的中点．1111(1)求证：AD；A到平面D的距离．1111[解析](1)证明：连接AB，交O，连接OD，11第27页共90页∵∵ABC－ABC是直三棱柱，∴ABBA是平行四边形，∴O是AB的中点，111111D是BC的中点，∴OD∥AC，∵OD⊂D，A⊄D，∴A111111(2)由(1)知，O是AB的中点，∴点A到平面D的距离等于点B到平面D的距离，111∵ABC－ABC⊥平面BD＝＋BD＝1111111∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面B，∴AD⊥BD，111B到平面D的距离为d，∵VB－ABD＝VB－ABD，111·BB＝AD·BD·BBBD·BB25.∴∴·BBD·d，∴d＝＝11S△ABDAD·BDBD525.点A到平面D的距离为11558、P－ABC中分别是)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面C．平面PDF⊥平面D．平面PDE⊥平面[解析]∵D、F分别为AB、AC的中点，∴BC∥DF，∵⊄平面PDF，∴BC∥平面A正确；在正四面体中，∵E为BCBC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面B正确；∵DF⊥平面平面第28页共90页PDF⊥平面正确，故选9、l表示空间中的两条直线，若p：l是异面直线，q：l，l不相交，则(5)121212A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[解析]若不相交成立，121212即p是q的充分条件；反过来，若q：l，l不相交，则l，l可能平行，也可能异面，所以不能推出l，121212是异面直线，即pq的必要条件，故应选0、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形，侧面为正三角6形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为边的中点，求证：BG⊥平面(2)求证：AD⊥PB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．[解析]为BG⊥AD.又平面ABCD，ABCD＝AD，∴(2)证明：连接为正三角形，G为的中点，得PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，∵PG∩BG＝G，⊂PGB，BG⊂PGB，∴∵PGB.PGB，∴AD⊥PB.第29页共90页(3)解：当F为的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取的中点F，连接中，FE∥PB，在菱形中，GB∥DE，∴AD⊥EF，AD⊥DE.∴AD⊥平面DEF，又ADABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.61、如图，在三棱柱ABC－ABC中，AA⊥平面ABC，AC⊥BC，E在线段BC上，BE＝3EC，AC11111111＝＝4.(1)求证：BC⊥；(2)试探究：在上是否存在点F，满足EF∥平面A，若存在，请指出点F11的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．[分析]BC⊥ACA，111BC⊥AA，这由已知三棱柱中可证．11(2)假定存在，执果索因找思路：假定上存在点F，使EF∥平面A，考虑矩形C中，E在BC上，且BE＝3EC，因此11111111取BC上点G，使BG＝3GC，则EG＝BB，从而EG∥平面A，因此平面EFG∥平面A，由面11111面平行的性质定理知＝BGG作的平行线交于即所探求的点．GC[解析]∵AA⊥平面ABC，∴BC⊥AA.11⊂CCC，111111又CC，∴BC⊥AC.1111(2)解法一：当AF＝3FC时，FE∥平面A.11理由如下：在平面ABCE作EG∥AC交AB于G，连接1111111第30页共90页3∵BE＝3EC，∴EG＝AC，111143又AF∥AC且AF＝AC，∴AF∥EG且AF＝EG，11114∴∴四边形为平行四边形，∴EF∥AG，又⊄AA，1111EF∥平面A.11解法二：当AF＝3FC时，FE∥平面A.11理由如下：在平面BE作EG∥BB交BC于G，连接FG.111∵∵∴∴EG∥BB⊄A，BBA，∴EG∥平面A.11111111BE＝3EC，∴BG＝3GC，∴FG∥AB，又ABA⊄A，111111FG∥平面A.又EGEFG，FGEFG，EG∩FG＝G，11EFG∥平面A.∵EF⊂EFG，∴EF∥平面A.111162、3x＋4y＝b2＋y－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或B．2或－12C．－2或－12D．2或[答案]D[解析]1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式．3x＋4y＝b与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|＝1b＝2或12，故选∵3＋4263、已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)＋(y－1)＝2C．(x－1)＋(y－1)＝2B．(x－1)2＋(y＋1)D．(x＋1)＋(y＋1)2第31页共90页[答案]B[解析]由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直线上，又2a||2a－4|在直线x＋y＝0上，设圆心C(a，－a)，半径为r，则由已知得|B.＝，解得a＝1，∴r＝2，故选22[方法点拨]1.点与圆的位置关系①d与半径r⇔⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r(或0)作比较，大于r(或时，点在圆外；等于r0)时，点在圆上；小于r0)时，点在圆内．2．直线与圆的位置关系l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)与圆：(x－a)＋(y－b)2＝r(r>0)的位置关系如下表.代数法：几何法：Ax＋By＋C＝0|Aa＋Bb＋C|x－a2＋＝r22＋B2位置关系消元得一元二次方程，与r的大小关系根据判别式Δ的符号Δ＝03.求圆的方程有两类方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；(2)代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．64、P(－3，－1)的直线lx＋y＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()ππππ]]]D．[0，]6363第32页共90页[解析]由题意可画出示意图：易知过点P的圆的两切线为与处倾斜角为0，在Rt△POMππ中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝，66ππ∴，∵直线l倾斜角的范围是[0，]．33[方法点拨]本题还可以设出直线l的方程P点代入得出k与bb，再将直线代入圆方程，利用Δ>0k的范围，再求倾斜角的范围．12．求直线的方程常用待定系数法．．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．65、C：x＋y＝1C22－6x－8y＋m＝0外切，则)12A．21B．19C．9D．－11[答案][解析]本题考查了两圆的位置关系．由条件知C：x＋y＝1，C：(x－3)＋(y－4)＝25－m，圆心与半径分别为(0,0)，(3,4)，r＝1，r2121＝25－m，由两圆外切的性质知，5＝1＋25－m，∴m＝9.方法点拨]圆与圆的位置关系表现形式几何表现：圆心距d与r、r的[12位置关系d>r＋r2程组的解的情况d＝r＋r2一组实数解两组不同实数解一组实数解－r|<d<r＋r2121d＝|r－r≠r)1212第33页共90页0≤d<|r|(r≠r)1212166、一动圆过点A(0,1)，圆心在抛物线2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为()411A．x＝1B．x＝D．y＝－1[答案]D[解析]∵A(0,1)是抛物线2＝4yC在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：y＝－1总相切．16＋y＝1相交于的面积为)2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件12|k|[解析]O(0,0)到直线l：kx－y＋10＝0的距离d＝，弦长为|AB|＝21－d＝1，1＋k21＋k21|k|1∴＝×|AB|·d＝＝，∴k＝±1，因此当“k＝1”时，“S＝”，故充分性成立．2k＋1221“＝”时，k也有可能为－1，∴必要性不成立，故选2168、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2A＋sinB＝C，则直线ax－by＋c＝02＋y2所截得弦长为________．1c[解析]由正弦定理得＋b＝c，∴圆心到直线距离d＝＝＝c22，122a＋b2∴l＝2－d＝29－2＝269、已知动圆C过定点M(0,2)，且在x轴上截得弦长为4.设该动圆圆心的轨迹为曲线C.求曲线C方程。解析：(1)设动圆圆心坐标为C(x，y)，根据题意得2＋2＝＋4，化简得＝4y.第34页共90页2y20、设P是椭圆＋＝1＋y和(x－2)2＋y＝1795＋|PN|的最小值，最大值分别为(A．4,8B．2,6)C．6,8D．8,12[解析]如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝6，连接两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝4；连接并延长，分别与两圆相交于M′、N′两点，此时|PM′|＋|PN′|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝8，即最小值和最大值分别为4、8.[方法点拨]涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义．π71、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离3心率为()B．223C.23D．2A．2或333解析](1)当双曲线的焦点在x－y2y2[2b2bbπc＝±x，所以＝tan＝3，所以b＝3a，c＝＋b＝2a，故双曲线C的离心率e＝＝aa3aa(2)当双曲线的焦点在y轴上时，由题意知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±a2b2baπc＝2.＝tan＝3，所以3b，c＝＋b＝2b，故双曲线C的离心率e＝＝b3a3b3第35页共90页综上所述，双曲线C的离心率为223.3已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别为FFF为直径的圆被直线＋截得xy71212a2b2ab的弦长为6a，则双曲线的离心率为()A．3B．2326axya＋b2[解析]由已知得：O(0,0)到直线＋＝1的距离为：d＝，由题意得：22＋d2＝r2即ab6aa＋b22＝c2－c＋ae－2＝2或e＝55122＋222＝[方法点拨]b用ca、c代换，求的值；另外要注意双曲线的渐近线与离心率的关系．a2．注意圆锥曲线的对称性在解题中的应用．73、设抛物线＝8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线的倾斜角等于60°，那么|PF|等于()A．23B．43C.8D．43[解析]在△APF中，|PA|＝|PF|，|AF|sin60°＝4，∴|AF|＝83，又∠PAF＝∠PFA＝30°，过P作31|AF||BF|8＝.2⊥于B，则|PF|＝＝cos30°3cos30°74、从抛物线2＝8x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△PFM的面积为()第36页共90页：s.sanA．56B．65C．102D．52[解析]抛物线的焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2.设P(m，n)，则|PM|＝m＋2＝5，解得m＝3.代入11抛物线方程得n＝24，故|n|＝2S＝|PM|·|n|＝×5×26＝52275、过原点的直线l与双曲线C：x2－y2＝1(a>0，b>0)的左右两支分别相交于A，B两点，F(－3，0)2b2→→是双曲线CC的方程是________．[解析]由已知得：c＝F，则四边形B为矩形，∴|AB|＝2c＝211|＋|FB|22|AB|2＋|FB|2，∴2即||AF|－|AF1||＝22，∴a＝2∴2＝1，∴双曲线标准方程为－y276、已知抛物线C：x2＝4y的焦点F也是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点，C与C的公共弦的1212a2b2→→长为26.过点F的直线l与C相交于A，B两点，与C相交于C，D两点，且AC与BD同向．求C的方122[解析](1)由C＝4y知其焦点FF也是椭圆Ca－b212①；又C与C的公共弦长为26，C与C都关于y轴对称，且C的方程为：x2＝4y，由此易知C与121211396C2的公共点的坐标为(±)，∴＋＝1②，24a2b222联立①②得a＝9，b2C的方程为＋＝1.298第37页共90页：s.san177、己知集合A＝{x|x－3x＋2<0}，B＝{x|log}，则()42A．A∩B＝∅B．BAC．A∩(∁B)＝RD．A⊆B1[解析]A＝{x|x－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，B＝{x|log}＝{x|x>2}，∴A∩B＝∅.42[方法点拨]解不等式或由不等式恒成立求参数的取值范围是高考常见题型．．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．有理有据、层次清楚地求解．12347．解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解．．分段函数与解不等式结合命题，应注意分段求解．8、设a、b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析](1)若0<|a|<|b|，∴∴∴a>ba|a|>b|b|成立．(2)若a>0，22a≥0>－b2，<b，∴(a＋b)(a－b)<0，∴a>b，综上当a|a|>b|b|时有a>b成立，故选C．21b79、若直线2ax＋by－2＝0(a、b∈R)平分圆x＋y－2x－4y－6＝0，则＋的最小值是()aA．1B．5C．422[解析]直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x－1)＋(y－2)∴∴C(1,2)在直线上⇒2a＋2b－2＝0a＋b＝1.2121aa＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋≥3＋22，故选abababab第38页共90页1280、若实数a，b＋＝ab，则的最小值为()abA．2B．2C．22D．4[解析]考查基本不等式．121212根据＋＝＋≥2×求解ababab1a＋21212×＝2ab2＝ab，∴a＞0，b＞0，∵ab＝＋≥2，∴ab≥22，(当且仅当b＝2a时取bab等号)，所以的最小值为22，故选[方法点拨]1.用基本不等式≥2时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．2.不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．xy81、若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()abA．2B．3C．4D．51111[答案]C[解析]考查基本不等式．由已知得，＋＝1，a>0，b>0，则a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋ababba＋a≥2＋2ba·＝4，当＝a＝b＝2时取等号．abbabab182、a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为()14C．1A．B．4D．22答案][解析]∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，∴≥1，等号在a＝1，b＝2时成1[2第39页共90页x－4y≤－383、设z＝2x＋y，其中变量x，y满足条件3x＋5y≤25.若z的最小值为m的值为()x≥mA．1B．2C．3D．4x－4y≤－3[解析]作出不等式组z＝2x＋y的最小值为3x＋5y≤25ml0符合题意．方法点拨]1.线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．＝[23骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．x－2≤0，84、设变量x，y满足约束条件x－2y≤0，则目标函数z＝3x＋y的最大值为()x＋2y－8≤0，A．7B．8C．9D．1415[解析]z＝3x＋y＝(x－2)＋(x＋2y－8)＋9≤9，当x＝2，y＝3时取得最大值9，故选C．此题也22可画出可行域如图，借助图象求解．第40页共90页3x＋y－6≥0，85、设变量x、y满足约束条件x－y－2≤0，则目标函数z＝y－2x的最小值为()y－3≤0，A．－7B．－4C．1D．23x＋y－6≥0，解析]由满足的约束条件x－y－2≤0，y－3≤0，[由图可知当直线z＝y－2xB(5,3)时，z最小值为3－2×5＝－7.x＋y－2≥0，86、若x、ykx－y＋2≥0，且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为()y≥0，11A．2B．－222[解析]本题考查了线性规划的应用．若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意．若k<0，则不等式组所表示的平面区域如图所示．2由图可知，z＝y－x在点(－，0)处取最小值－4，k第41页共90页21故0－(－)＝－4，解得k＝－，即选项D正确．k2x＋y－1≥0x－1≤0ax－y＋1≥08为常数)所表示的平面区域的面积等于a的值为()A．－11B．3C．9D．9或－11[解析]由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，其中A(1,0)，B(0,1)，C(1,11＋a>－1，因为S＝5，所以×(1＋a)×1＝5，解得a＝9.2x＋1－y≥088、已知实数x，y满足x＋y－4≤0，若目标函数z＝2x＋y的最大值与最小值的差为2，则实数my≥m的值为()A．4B．3C．212x＋1－y≥0[解析]x＋y－4≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．第42页共90页x＋1－y＝0y＝m将直线向上平移至过点x＋y－4＝0得得z＝2(m－1)＋m＝3m－2，z＝2(4－m)y＝m＋m＝8－m，所以z－z＝8－m－(3m－2)＝10－4m＝2，解得m＝2.x＋y≥3，9、设变量x、y满足约束条件x－y≥－1，x－y≤3，8则目标函数z＝x＋y2的最大值为________．2x＋y≥3，解析]约束条件x－y≥－1，x－y≤3，[画出可行域如图，2x＝4，y＝5时，z有最大值，z＝4＋5＝41.90、x、y的取值如下表所示：xy0134.4从散点图分析，y与x线性相关，且y＝0.8x＋a，则a＝()A．0.8B．1C．1.2D．1.5＝0＋1＋3＋4＝0.9＋1.9＋3.2＋4.44y＝0.8x＋a过样本中xy[解析]4心点(2,2.6)所以2.6＝0.8×2＋a，解得a＝1.91、5第43页共90页x(万元)y(万元)7.58.08.59.8^^^^^^yx根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.据此估计，该社区一户年收入为万元家庭的年支出为()A．11.4B．11.8C．12.0D．12.28.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9＝10(万元)，x[解析]考查线性回归方程．由已知得56.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8＝8(万元)，故a＝8－0.76×10＝0.4.y5^^所以回归直线方程为y＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为万元家庭年支出为y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B．92、()A．74.5B．75C．75.55＋76D．76[解析]中位数为729某中学为了检验得到样本频率分布直方图如下图所示，则考试成绩的众数大约为()第44页共90页A．55答案][解析]最高小矩形中点的横坐标为众数．方法点拨]1.茎叶图C．75D．85[[当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．2．样本的数字特征(1)众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．34．求中位数、平均数、方差主要依据公式进行计算．中位数的估计值两侧直方图的面积相等；最高小矩形中点对应数据为这组数据的众数．4、已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(9)A．x与y正相关，x与z负相关C．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关D．x与y负相关，x与z正相关[解析]因为变量x和y满足关系x与yy与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选第45页共90页9某网络广告AA两个网站某月中天的日访问量n(单位：万次)，整理后得到如下茎叶图，已知A公司要从网站日访问量的平均值和稳定性两方面进行考量选择．(1)请说明A公司应选择哪个网站；(2)现将抽取的样本分布近似看作总体分布，A公司根据所选网站的日访问量n进行付费，其付费标准如下：选定网站的日访问量n(单位：万次)A公司的付费标准(单位：元/日)25≤n≤35求A公司每月(按天计)应付给选定网站的费用S.[解析](1)由茎叶图可知x＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，1S2＝×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(32甲－－2＋(35－30)＋(45－30)2x＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，1S2＝×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36乙2＋(35－30)＋(40－30)2xx∵＝，S2>S2，∴A公司应选择乙网站；乙甲乙第46页共90页(2)由(1)得A公司应选择乙网站，由题意可知乙网站日访问量n<25的概率为0.3，日访问量25≤n≤5的概率为0.4，日访问量n>35的概率为3∴A公司每月应付给乙网站的费用S＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1000×0.3)＝2190096、某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是分．上个月该网站共卖出了份团购产品，所第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第三，四，五组的频率；(2)该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．[解析](1)第三组的频率是0.050×(2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A，2由题意可知，从第三、四、五组中分别抽取3个，2个，1不妨设第三组抽到的是A，A，A；第四组抽到的是B，B；第五组抽到的是C，所含基本事件总123121数为：{A，1213231112112122213B}，{A，B}，{A，C}，{B}，{B，C}，{B}1323112112131P(A)＝＝.5第47页共90页97、某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动，他们把收集到的节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式，A、B、C三类课的节数比例为312(1)为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位：节)非高效新课堂模式传统课堂模式请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的节课中选出节课作为样本进行研究，并从样本中的B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率．参考临界值有：P(K≥k)010.828nad－bc2参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.c＋da＋cb＋d[解析](1)由列联表中的统计数据计算随机变量2的观测值为：60×50－40×302∵＝＝9>6.63560＋4030＋5060＋3040＋50由临界值表P(k≥6.635)≈0.010，∴有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关．(2)样本中的B模式课堂和C模式课堂分别是42分别记为B、B、C，从中取出2节课共有种情况：123412)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，B)，(C，C)，(B，1112131421222324121第48页共90页B)，(B，B)，(B)，(B)，(B)，(B，B)21314232434至少有一节课为C模式课堂的事件为9种11121314212223241293∴至少有一节课为C模式课堂的概率为＝.5y≤x，若不等式组y≥－x，x－y－3≤0.9表示的平面区域为M，x＋y所表示的平面区域为N，现随机向区2域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为()ππ8π6π3A．B．C．[解析]如图，不等式组表示的平面区域M为△OAB，A(1，－1)，B(3,3)，S＝3，πππ4N在M中的部分面积为，∴所求概率P＝＝.43[方法点拨]1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．3第49页共90页公式求解．9、在长为10cm的线段上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形9面积小于24cm2的概率为(1)A．B．1C．2D．46335[解析]设线段的长为－x)cm2，由x(10－x)<24，解得x<4或x>6.又0<x<10，所以0<x<4或6<x<10，故该矩形面积小于4cm2的概率为＋4＝，故选D．425100、在区间[1,6]上随机取一实数x，使得2∈[2,4]的概率为()1B．1C．12A．6535由2∈[2,4]知1≤x≤2，∴P(2∈[2,4]