第18讲 双曲线离心率常考题型总结（原卷版）

第18讲双曲线离心率常考题型总结【知识点梳理】椭圆的离心率，【题型目录】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值题型二：双曲线的离心率范围范围问题题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式）题型四：利用中点弦公式（点差法）求离心率【典型例题】题型一：利用双曲线的定义、几何性质求离心率的值【例1】（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，是双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【例2】（云南省三校2023届高三上学期高考备）已知双曲线的左、右焦点为，，过且垂直于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【例3】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（

）A．6 B．3 C． D．【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（

）A． B． C． D．【例5】（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【例6】（2022·江苏南通·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是双曲线上关于原点对称的两点，，四边形的面积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【例7】（2022·陕西安康·高二期末（理））已知双曲线C：（，）的左，右焦点分别为，，A为C的左顶点，以为直径的圆与C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【例8】（2022·辽宁·高三期中）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若＝0，则C的离心率为（

）A． B．＋1 C．3 D．2【例9】（2022·浙江·温岭中学高二期末多选）设双曲线的左右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与交于､两点，且，则的离心率可以为（

）A． B． C． D．当直线与双曲线交于一支时，记切点为，连接，则，【例10】（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C．3 D．4【题型专练】1.（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．2.（2022·河北保定·高一阶段练习）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．3.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．C． D．4.（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（

）A．2 B． C． D．25.（2023·全国·高三专题练习）如图，双曲线的左､右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知双曲线

=1的右焦点，过点F作一条渐近线的垂线垂足为M，若与另一条渐近线交于点，且满足5，则该双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．7．（2022·河南·高三开学考试（文））设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为___________.8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．10．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知点，是双曲线的左､右顶点，过点作倾斜角为的直线交于点，点是线段的中点.若，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．题型二：双曲线的离心率范围范围问题【例1】设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A．B．C．D．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（

）A． B． C． D．【例3】（2022四川成都七中高三开学考试（理））已知双曲线，，是实轴顶点，F是右焦点，是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（

）．A． B． C． D．【例4】（2022河南高三开学考试（文））已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【例5】（2022·湖南·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上存在点（点不与左、右顶点重合），使得，则双曲线的离心率的可能取值为（

）A． B． C． D．2【题型专练】1．2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线的焦距为为其左右两个焦点，直线l经过点且与渐近线平行，若l上存在第一象限的点P满足，则双曲线C离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．2.（2022·全国·高二专题练习）设双曲线：的右焦点为，双曲线的一条渐近线为，以为圆心的圆与交于点，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是______．3.（2022·全国·模拟预测（文））已知点F为双曲线的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A．若△OAF（点O为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4.（2022·山西·模拟预测（理））双曲线的右顶点为在轴上，若上存在一点（异于点）使得，则的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．5.（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.6．（2022·全国·高二课时练习）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为______，的取值范围为______．题型三：椭圆和双曲线共焦点离心率之间的关系（利用定义或者焦点三角形面积公式）【例1】（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（

）A． B． C． D．【例2】（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（

）A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习多选）已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是（

）A． B． C． D．2.（2022·全国·高二专题练习多选）已知椭圆与双曲线，有公共焦点（左焦点），（右焦点），且两条曲线在第一象限的交点为，若△是以为底边的等腰三角形，，的离心率分别为和，且，则（

）A． B．C． D．3．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．题型四：利用中点弦公式（点差法）求离心率【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线、的倾斜角分别为、，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C