第14讲 椭圆离心率6种常考题型（原卷版）

第14讲椭圆离心率6种常考题型【知识点梳理】椭圆的离心率，【题型目录】题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示题型二：利用与建立一次二次方程不等式题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率题型四：利用焦半径的取值范围为，求离心率范围题型五：利用最大顶角求离心率范围问题题型六：利用不等式、二次函数等方法解决离心率范围综合问题【典型例题】题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示在处理问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题．【例1】（四川高二期末（文））椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（）．A． B． C． D．【例2】（2022·全国·高二课时练习）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【例4】已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(

)A． B． C． D．【题型专练】1.（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（

）A． B．C． D．2.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．4.（2019全国II文20）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．（1）若为等边三角形，求C的离心率；【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是．题型二：利用与建立一次二次方程不等式在处理此类问题的时候，一般要用到余弦定理，或者带入椭圆，总之就是找到之间的关系【例1】（黄冈天有高级中学高二月考）已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知椭圆：的两个焦点为，，过的直线与交于A，B两点.若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【例4】（2022·全国·高二）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，直线与直线的交点为P，若的面积是面积的2倍（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【例5】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【题型专练】1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．2.（2015届四川省成都市高三第一次诊断性检测理科数学试卷（带解析））已知椭圆，是椭圆的右焦点，为左顶点，点在椭圆上，轴，若，则椭圆的离心率为A． B． C． D．3.已知是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A．B．C．D．5.（2022·江西·模拟预测（文））如图，椭圆的左、右焦点分别为，两平行直线分别过交M于A，B，C，D四点，且，则M的离心率为（

）A． B． C． D．6.（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率【例1】（2021·四川省内江市第六中学高二开学考试）已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【例2】（2014新课标2）设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；【例3】（2022·新疆·乌市八中高二期中（理））已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于直线对称点在上，且，则椭圆的离心率为____________．【题型专练】1．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左右焦点分别为，点A是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为若则椭圆的离心率为____.2.（2022·江苏·高二）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过作的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为______.题型四：利用焦半径的取值范围为，求离心率范围【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．【例2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，若，则该椭圆的离心率不可能是（

）A． B． C． D．【题型专练】1．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．2.已知、分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．题型五：利用最大顶角求离心率范围问题【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是______．【例2】（2022·江苏·高二期末）已知椭圆，对于C上的任意一点P，圆上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型专练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则椭圆离心率的取值范围为____．2.（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．3.（2022·全国·模拟预测）已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是(

)A． B． C． D．4.（2019·内蒙古赤峰市·高二期末（理））已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上不存在点使，则椭圆的离心率的取值范围是A． B． C． D．题型六：利用不等式、二次函数等方法解决离心率范围综合问题【例1】（2021全国卷乙卷）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【例3】（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【题型专练】1.（2022·全国·高二专题练习）已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．2.（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．.3.（2022·山西运城·模拟预测（理））已知椭圆的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得，则的最小值是（