福建省漳州市康美中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省漳州市康美中学2022-2023学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】cos2α=0?（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0?（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，即可判断出结论．【解答】解：cos2α=0?（cosα+sinα）（cosα﹣sinα）=0?（cosα+sinα）=0或（cosα﹣sinα）=0，∴“sinα+cosα=0”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．2.已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx，x=为y=f（x）的对称轴，且f（x）在区间（﹣，）单调，则ω=（）A．﹣4 B．﹣1 C．2 D．5参考答案：B【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用辅助角公式化简f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx），根据x=，可得f（）是最大值或最小值，可得ω的值，在根据f（x）在区间（﹣，）单调，确定ω即可．【解答】解：由题意，f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx），∵x=为y=f（x）的对称轴，∴当x=时，若f（）是最大值，令=，可得ω=2．则f（x）=2sin（2x），考查f（x）在区间（﹣，）不是单调函数．若f（）是最小值，令=﹣，可得ω=﹣1．则f（x）=2sin（﹣x），考查f（x）在区间（﹣，）是单调函数．故选B．3.若关于的不等式无解，则

（

）A.－3

B.－2

C.2

D.3参考答案：A4.已知，则使成立的的取值范围是（

）A.[0,1]

B.[3,4]∪{7}

C.[0,1]∪[3,4]

D.[0,1]∪[3,4]∪{7}参考答案：D5.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件

B．充要条件C．必要不充分条件

D．即不充分也不必要条件参考答案：B6.若在上是减函数，则m的最大值是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据辅助角公式，化简函数的解析式，再根据余弦函数单调减区间求得单调减区间，进而求得的最大值。【详解】，由辅助角公式可得：令，解得：，则函数的单调减区间为，又在上是减函数，则，当时，函数的单调减区间为，，解得：，故答案选D。【点睛】本题主要考查辅助角公式的用法，余弦函数的单调区间的求法，属于中档题7.若实数x，y满足|x﹣1|﹣lg=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A．B．C．D．参考答案：B考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．解答：解：∵|x﹣1|﹣lg=0，∴f（x）=（）|x﹣1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x﹣1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选B．点评：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．8.已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥外接球的半径为（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一个侧面与底面垂直，判断各面的形状及三视图的数据对应的几何量，可得答案．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，满足侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且高为2，可知外接球圆心为底面对角线的交点，可求得球半径为=．故选：B．9.函数y=2x2的焦点坐标为（）A．（） B．（1，0） C．（0，） D．（0，）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】由y=2x2得，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，且2p=，由此可得焦点坐标．【解答】解：由y=2x2得，所以抛物线的焦点在y轴正半轴，且2p=∴焦点坐标为故选C．【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的性质，属于基础题．10.已知{an}为等比数列且满足a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，则数列{an}的前5项和S5=（）A．15 B．31 C．40 D．121参考答案：B【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的通项公式列方程组求出a1公比q，再计算数列{an}的前5项和．【解答】解：等比数列{an}中，a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，∴，∴=10，即q（q2+1）=10，∴q3+q﹣10=0，即（q﹣2）（q2+2q+5）=0，∴q﹣2=0或q2+2q+5=0，解得q=2，∴a1=1；∴数列{an}的前5项和为S5===31．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为锐角，若，则参考答案：12.如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．参考答案：13.设变量满足，则的最大值是

.参考答案：由约束条件画出可行域如图所示，则目标函数在点取得最大值，代入得，故的最大值为。14.已知直线与曲线相切，则的值为

．参考答案：15.四棱锥的三视图如右图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为A.

B.24

C.

D.

参考答案：A将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，

且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为.设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF中点为G，连接OG，OA，AG.根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是,可得,所以正方体棱长,在直角三角形中，,,即外接球半径，得外接球表面积为,选A.16.函数的单调增区间为______．参考答案：(－∞，1)17.若复数z满足则=_____________.参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在锐角△ABC中，D，E是边BC上的点，的外心分别为O，P，Q.证明：（1）∽；（2）若，则.参考答案：（1）连结分别为的外心，为线段的垂直平分线．，．∽．（2）连结，延长与相交于点，由分别为的外心，知分别是线段的垂直平分线．．又，四点共圆，．又，，，四点共圆，．设的延长线分别与相交于，则四点共圆，又19.已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设M（x，y），由题意可得：，化简可得曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．可得k1+k2=m，k1?k2=﹣1．得到切线QD⊥QE．因此△QDE为直角三角形，|QD|?|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=（4+m2）（k2+1），利用两点之间的距离公式可得|QD|=，|QE|=，代入即可得出．解答： 解：（I）设M（x，y），由题意可得：，化为x2=4y．∴曲线C的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．（II）设Q（m，﹣1），切线方程为y+1=k（x﹣m），联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1?k2=﹣1．∴切线QD⊥QE．∴△QDE为直角三角形，|QD|?|QE|．令切点（2k，k2）到Q的距离为d，则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．点评：本题考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.参考答案：（1）设椭圆G的方程为：

（）半焦距为c;

则,解得,

所求椭圆G的方程为：.(2)点的坐标为

（3）若，由可知点（6，0）在圆外，

若，由可知点（-6，0）在圆外；

不论K为何值圆都不能包围椭圆G.21.（2016?晋城二模）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．（Ⅱ）函数f（x）的图象（图中红色部分）与直线y=a|x﹣1|有2个不同的交点，数形结合可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2、2对应点的距离之和，而3和﹣3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，故不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣3≤x≤3}．（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x﹣2|=，∴f（x）≥4，若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，则函数f（x）的图象与直线y=a|x﹣1|（图中红色部分）有2个不同的交点，如图所示：由于A（﹣2，4）、B（2，4）、C（1，0），∴﹣2＜﹣a＜KCA，或a≥KCB，即﹣2＜﹣a＜﹣，或a≥4，求得＜a＜2，或a≥4．【点评】本题主要绝对值的意义，方程根的存在性以及