高二物理竞赛圆管流动中的离散课件

圆管流动中的离散圆管流动中的离散均匀圆管紊流的流速分布函数图紊流中离散的分析可和层流的离散相比拟而得到解决。扩散时间足够长，可认为纵向离散与径向紊动扩散相平衡，和层流的分析相似。与层流的区别在于紊流的流速分布和紊动扩散系数的确定。𝒖𝒎−𝒖𝒓=

𝒇(𝝋)𝒖∗𝟏 𝟏𝑽=𝟐න𝒖𝒓𝝋𝐝𝝋=𝒖𝒎−𝟐𝒖∗න𝝋𝒇𝝋𝐝𝝋𝟎 𝟎=𝒖𝒎−𝟒.

𝟐𝟓𝒖∗圆管流动中的离散均匀圆管紊流的流速分布函数图𝟏න

𝒇(𝝋)𝝋𝐝𝝋𝟎圆管流动中的离散在恒定均匀的管道紊流中，剪切应力随距轴线的位置是线性分布的，也就是𝜏 =𝜏0 𝑟0𝒖∗𝒖𝒎−𝒖𝒓

=

𝒇(𝝋) 𝑽

=

𝒖 −𝟒.

𝟐𝟓𝒖𝒎 ∗𝑟00 0𝑟

，于是𝜏

= 𝑟

𝜏 =

𝜏 𝜑𝑬=

−𝝉=

−𝝉𝟎𝝋𝝆

𝐝𝒖

𝝆

𝐝𝒖𝐝𝒓 𝐝𝒓=

−

∗ 𝒖𝟐𝝋

𝐝𝒖𝐝𝒓𝒖∗

=𝝉𝟎/𝝆𝐝𝒖 𝐝=𝐝𝒓 𝐝𝒓𝐝𝒖𝒎

−

𝒖∗𝒇 𝝋 =

𝐝𝝋𝒖𝒎−𝒖∗𝒇

𝝋𝐝𝝋𝐝𝒓=

−𝒖∗𝐝𝒇

𝝋 𝟏𝐝𝝋 𝒓𝟎𝟏=

−𝒖∗𝒇′

𝝋 𝒓𝟎𝒓𝟎𝒖∗𝝋𝑬

=𝒇′(𝝋)𝐝𝒇

𝝋𝒇′(𝝋)

=𝐝𝝋圆管流动中的离散𝑬

=𝒓𝟎𝒖∗𝝋𝒇′(𝝋)𝜕𝐶+𝑢ො𝜕𝜏𝜕𝐶𝜕𝜉=

𝐷(𝜕2𝐶𝜕𝑟2+1

𝜕𝐶𝑟

𝜕𝑟)以紊动扩散系数E代替分子扩散𝜕𝜏系数D，同时令𝜕𝐶

=

0𝜕𝜕𝐶𝜕𝑟 𝜕𝑟𝐸𝑟 =𝑟𝑢ො𝜕𝐶𝜕𝜉𝑽=𝒖𝒎−𝟒.

𝟐𝟓𝒖∗𝒖𝒎−𝒖𝒓=

𝒇(𝝋)𝒖∗𝒖ෝ

=𝒖𝒓−

𝑽=𝒖∗(𝟒.𝟐𝟓−

𝒇(𝝋)𝜕𝜕𝑟𝐸𝑟𝜕𝐶 𝜕= 𝑟𝑟0𝑢∗𝜑 𝜕𝐶𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑓′(𝜑) 𝜕𝑟=𝜕 𝑟2𝑢∗

𝜕𝐶01 𝜕 𝑟2𝑢∗

𝜕𝐶=𝜕𝑟 𝑓′(𝜑)

𝜕𝑟𝑟2

𝜕𝜑 𝑓′(𝜑)

𝜕𝜑=𝜕 𝜑2𝑢∗

𝜕𝐶𝜕𝜑 𝑓′(𝜑)

𝜕𝜑=𝑟[𝑢∗4.25−𝑓

𝜑𝜕𝐶𝜕𝜉𝜕𝐶=𝑟0𝜑[𝑢∗4.25−

𝑓

𝜑 𝜕𝜉𝑟𝜑

=𝑟0𝜑2𝜕 𝜕𝐶𝜕𝜑𝑓′(𝜑)

𝜕𝜑𝜕𝐶=𝑟0𝜑[4.25−

𝑓

𝜑 𝜕𝜉圆管流动中的离散𝜑2𝜕𝐶𝜕𝜕𝜑 𝑓′(𝜑)

𝜕𝜑𝜕𝐶=𝑟0𝜑[4.25−

𝑓

𝜑 𝜕𝜉𝑎መ设𝐶

=

𝐶 +

𝐶，假定𝜕𝐶𝑎መ𝜕𝐶𝜕𝜑 𝜕𝜉=

0、 =

0෢𝜑，则𝐶

=

𝐶

，上式化为：𝜑2𝜕𝐶መ𝜕𝜕𝜑 𝑓′(𝜑)

𝜕𝜑𝜕𝐶𝑎=𝑟0𝜑[4.25−

𝑓𝜑 𝜕𝜉𝜑2𝜕𝐶መ𝑓′(𝜑)

𝜕𝜑𝜕𝐶𝑎=𝑟0

𝜕𝜉𝜑න 𝜑[

4.25

−

𝑓

𝜑 d𝜑0对φ积分𝑓′(𝜑)𝜑2𝜑න 𝜑[

4.25

−

𝑓

𝜑 d𝜑0令𝜂(𝜑)

=𝜕𝐶መ=

𝑟0𝜕𝜑𝜕𝐶𝑎𝜕𝜉𝜂(𝜑)መ0d𝐶𝑎 𝜑𝐶=𝑟0

d𝜉

න 𝜂(𝜑)

d𝜑剪切流的离散一、引言二、剪切流的一维移流离散方程三、圆管流动中的离散四、二维明渠中的离散五、河流中的纵向离散系数圆管流动中的离散

d𝐶𝑎𝜑0𝐶መ

=

𝑟0d𝜉

න 𝜂(𝜑)

d𝜑𝒖𝒎−𝒖𝒓=

𝒇(𝝋)𝒖∗𝟏 𝟏𝑽=𝟐න𝒖𝒓𝝋𝐝𝝋=𝒖𝒎−𝟐𝒖∗න𝝋𝒇𝝋𝐝𝝋𝟎 𝟎=𝒖𝒎−𝟒.

𝟐𝟓𝒖∗𝒖𝒓=𝑽+

𝒖ෝ𝒖ෝ

=𝒖𝒓−

𝑽= 𝒖𝒎−

𝒖∗𝒇

𝝋 − 𝒖𝒎−𝟒.

𝟐𝟓𝒖∗=

𝒖∗(𝒇

𝝋 −𝟒.

𝟐𝟓)圆管流动中的离散መ0d𝐶𝑎 𝜑𝐶=𝑟0

d𝜉

න 𝜂(𝜑)

d𝜑׬0

׬0其中，

1

𝜑[4.25

−

𝑓(𝜑)] 𝜑𝜂𝜑d𝜑

d𝜑可通过数值积分求得其值为﹣5.03。3=

−10.06𝜋𝑟 𝑢0 ∗d𝐶𝑎d𝜉0𝑄′𝜋𝑟2=−10.06𝑟

𝑢0 ∗d𝐶𝑎d𝜉d𝐶𝑎=−𝐸𝐿

d𝜉𝐸𝐿

=

10.06𝑟0𝑢∗𝐸=

0.05𝑟0𝑢∗𝑀=𝐸𝐿+𝐸=

10.11𝑟0𝑢∗𝒖ෝ

=

𝒖∗(𝒇

𝝋 −𝟒.

𝟐𝟓)二维紊动移流扩散方程针对二维明渠，对该式作如下处理：𝜕2𝐶ҧ 𝜕2𝐶ҧ1、忽略分子扩散项𝐷( + )𝜕𝑥2 𝜕𝑥22、忽略沿纵向的紊动扩散项𝜕

(𝐸𝜕𝑥 𝑥

𝜕𝑥𝜕𝐶ҧ)3、令𝑢𝑦

=

0𝑚∗𝑢

=

𝑢 −

𝑢

𝑓(𝜂)，其中𝑓

𝜂4、断面流速分布函数采用对数形式公式，1=

− ln(1−

𝜂)𝑘省略字母上方横线四、二维明渠中的离散𝜕𝑥= =𝜕 𝜕

𝜕𝜉 𝜕=𝜕 𝜕

𝜕𝜉𝜕𝑡 𝜕𝜉

𝜕𝑡𝜕𝜏

𝜕𝑡𝜕𝜉

𝜕𝑥

𝜕𝜉𝜕

𝜕𝜏 𝜕𝜕𝜏+ = −

𝑉𝜕𝜕𝜉𝜉=𝑥−

𝑉𝑡𝑡=

𝜏𝑢𝑥=𝑉+

𝑢ො𝜕𝐶/𝜕𝜏=

0𝜂=

𝑦/ℎ𝑎𝜕𝜂设𝐶

=

𝐶 +

𝐶መ，由于𝜕𝐶𝑎

=

0假定𝜕𝐶መ

=

0、𝜕𝐶𝑎

=

常数𝜕𝜉 𝜕𝜉积分𝑓(𝜂)10 011 1=න𝑓𝜂d𝜂

=

න − ln1−𝜂d𝜂

=𝑘 𝑘=﹣同时，考虑二维明渠中断面积𝐴

=

𝐵ℎ，dA=bdy=

bhdη，于是有：紊动扩散系数根据流速分布公式，断面平均流速为𝑉=𝑢𝑚−

𝑢∗/𝑘1𝑢ො

=𝑢−𝑉

=

𝑢∗ 𝑘−𝑓

𝜂=𝑢∗𝑘(1+ln1−𝜂

)例：某河流始端瞬时投放10kg示踪剂，河流流速为0.5m/s，纵向离散系数为50m2/s，河流断面积为20m2。求河流下游500m处河水示踪剂浓度随时间的变化曲线。𝑪

=𝑴𝑨 𝟒𝝅𝑬𝑳𝒕𝐞𝐱𝐩[−(𝒙−𝒖ഥ𝒕)𝟐𝟒𝑬𝑳𝒕]t≈14min时，示踪剂浓度最高约0.663mg/L，平均值

(𝑡ҧ=500/0.5=1000s

≈16.7min)。𝑪

=𝑴𝑨 𝟒𝝅𝑬𝑳𝒕𝐞𝐱𝐩[−(𝒙−𝒖ഥ𝒕)𝟐𝟒𝑬𝑳𝒕]𝜕𝐶令 =

0，得到𝜕𝑡例：一顺直矩形明渠中进行示踪剂试验，渠宽15m，水深2m，平均流速V=0.6m/s，设渠中水流可近似看作完全均匀的恒定一维流动。t=0时，在x=0的断面中心瞬时