辽宁省沈阳市重工第四高级中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析

辽宁省沈阳市重工第四高级中学2022-2023学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是（

）

参考答案：D2.执行右面的框图，若输出结果为3，

则可输入的实数值的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C本程序为分段函数，当时，由得，，所以。当时，由，得。所以满足条件的有3个，选C.3.在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是

(A)20

(B)22

(C)24

(D)36参考答案：C4.如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（

）

参考答案：A5.直线xsinβ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(

)A．相离

B．相切

C．相交

D．以上都有可能参考答案：答案:B6.在直角△ABC中，，，，若,则（）A.－18 B. C.18 D.参考答案：C【分析】在直角三角形ABC中，求得的值，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角三角形ABC中，，，，，若，则．故选:C．【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.7.椭圆的左右焦点分别为,过焦点的倾斜角为直线交椭圆于A,B两点,弦长,若的内切圆的面积为,则椭圆的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知，，，则，，的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.函数，若，则的值是（

）A．2

B．1

C．1或2

D．1或﹣2参考答案：A若，则由得，，∴．此时不成立．若，则由得，，∴，故选A．考点：函数的零点；函数的值．10.已知集合，，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：B【知识点】集合的运算【试题解析】

所以。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的周长等于，则其外接圆半径等于

.参考答案：1.考点：1、正弦定理的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，考查了学生应用知识的能力和知识的迁移能力，属中档题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对等式的性质运用不熟练，记忆不牢固，进而导致出现错误；其二是不能准确完整的运用正弦定理进行化简、整理、计算，从而导致出现错误.因此，其解题的关键是正确地运用正弦定理解决实际问题.12.函数f（x）=，则f()=

；方程f（﹣x）=的解是

．参考答案：﹣2；﹣或1【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式求出函数值，通过讨论x的范围，得到关于x的方程组，解出即可．【解答】解：f（）=log2=﹣2，由方程f（﹣x）=，得或，解得：x=1或x=﹣，故答案为：﹣2；﹣或1．13.已知是抛物线的焦点，过且斜率为的直线交于两点．设<,若，则λ的值为

．参考答案：14.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．参考答案：15.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：性别

专业非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为

____;参考答案：5%16.等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=

．参考答案：5【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{an}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．17.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则

．参考答案：平移后的函数的解析式为，此时图像与函数的图像重合，故,即.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.参考答案：

故

……9分（3）由（2）知当时，有，当时，即，令，则，即

…10分

.....................13分

19.（本小题满分14分）已知函数=，其中a≠0．

（1）若对一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合．（2）在函数的图像上取定两点，，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）若，则对一切，，这与题设矛盾，又，故．而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当．①令则当时，单调递增；当时，单调递减．故当时，取最大值．因此，当且仅当即时，①式成立．综上所述，的取值集合为．（Ⅱ）由题意知，令则令，则．当时，单调递减；当时，单调递增．故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且．故当且仅当时，．综上所述，存在使成立．且的取值范围为．20.已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围；（Ⅲ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围。参考答案：解：（Ⅰ）当时，.………………2分因为.

所以切线方程是

………………4分（Ⅱ）函数的定义域是.

………………5分当时，令，即，所以或.

……7分当，即时，在［1，e]上单调递增，所以在［1，e]上的最小值是；当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；当时，在（1，e）上单调递减，所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………9分（Ⅲ）设，则，依题意，只要在上单调递增即可。…………10分而当时，，此时在上单调递增；……11分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，………………12分对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即.

综上.

……………14分略21.(本题满分12分)如图，是以为直径的半圆上异于点的点，矩形所在的平面垂直于该半圆所在平面，且．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)设平面与半圆弧的另一个交点为

①.求证：//;②.若，求多面体的体积V.参考答案：(Ⅰ)∵E是半圆上异于A、B的点，∴AE⊥EB,又∵矩形平面ABCD⊥平面ABE，且CB⊥AB，由面面垂直性质定理得：CB⊥平面ABE，∴平面CBE⊥平面ABE，且二面交线为EB，由面面垂直性质定理得：AE⊥平面ABE，又EC在平面ABE内，故得：EA⊥EC…………4分(Ⅱ)①由CD//AB，得CD//平面ABE，又∵平面CDE∩平面ABE于直线EF，∴根据线面平行的性质定理得：CD//EF，CD//AB，故EF//AB

…………7分②分别取AB、EF的中点为O、M，连接OM，则在直角三角形OME中，，因为矩形所在的平面垂直于该半圆所在平面，即OM为M到面ABCD之距，又//，E到到面ABCD之距也为，

…………9