物理高一教科版必修2学案第2章3圆周运动的实例分析

3圆周运动的实例分析学习目标重点难点1．进一步理解圆周运动的规律，了解圆周运动在现实生活中的一些应用．在具体问题中会分析向心力的来源．2．知道向心力和向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动，会计算非匀速圆周运动中物体在特殊点的向心力和向心加速度．3．知道离心现象，会根据离心运动的条件判断物体的运动，了解离心运动的利用和防止.重点：向心力的理解和来源．难点：1．临界问题的讨论和分析．2．对变速圆周运动的理解和处理.1．铁路的弯道（1）火车转弯时的特点：火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有向心加速度，需要向心力．（2）如果转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样，铁轨和车轮极易受损．（3）如果转弯处外轨略高于内轨，火车转弯处铁轨对火车的支持力不再是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧，它与重力的合力指向圆心，为火车提供一部分向心力，减轻了轮缘对外轨的挤压．适当设计内外轨的高度差，火车以规定的速度行驶时，转弯需要的向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．2．拱形桥汽车以速度v过半径为R的弧形（凸形或凹形）桥时受力如图甲、乙所示，在最高点（或最低点）处，由重力G和支持力FN的合力提供向心力．在最高点处，FN＝G－eq\f(mv2,R)，在最低点处，FN＝G＋eq\f(mv2,R).3．离心运动（1）定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离的运动．（2）原因：向心力突然消失或外力突然减小．一、火车转弯问题1．当火车在平直轨道上匀速行驶时，思考下列问题：（1）火车受几个力作用？（2）这几个力的关系如何？答案：（1）火车受重力、支持力、牵引力、摩擦力及空气阻力．（2）这几个力的合力为零，其中重力和支持力合力为零，牵引力和摩擦力及空气阻力的合力也为零．2．在火车转弯时火车的受力情况会有何不同呢？结合所学知识讨论分析，火车所受的合力如何？答案：转弯时需要向心力，而在平直轨道前行不需要．根据受力分析得：需提供一个向心力（效果力），火车在竖直方向受力平衡，其合力在水平方向指向内侧，用以提供向心力．3．火车车轮的轮缘和铁轨之间挤压的后果会怎样？应该如何解决这一实际问题？答案：（1）由于火车质量、速度比较大，故所需向心力也很大．这样的话，轮缘和铁轨之间的挤压作用力将很大，导致的后果是铁轨容易损坏，轮缘也容易损坏．（2）解决方法：让转弯处外轨比内轨高，使铁轨对火车的支持力不再是竖直向上，此时重力和支持力不再平衡，它们的合力指向“圆心”，提供向心力，从而减轻铁轨和轮缘的挤压．4．为什么火车在转弯时，通常要求以规定的速度通过呢？答案：（1）当v＝v0，F向＝F合时内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力．（2）当v＞v0，F向＞F合时外轨道对外侧车轮轮缘有向里的压力．（3）当v＜v0，F向＜F合时内轨道对内侧车轮轮缘有压力．要使火车转弯时损害最小，应以规定速度转弯，此时内外轨道对火车两侧车轮轮缘都无压力．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度决定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是（）．①当以速度v通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力②当以速度v通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力③当速度大于v时，轮缘挤压外轨④当速度小于v时，轮缘挤压内轨A．①③B．①④C．②③D．②④答案：A解析：火车转弯时，若重力和轨道支持力的合力充当向心力，即有mgtanθ＝meq\f(v2,r)成立时（v为规定行驶速度），火车轮缘对外轨和内轨均无挤压；当行驶速度大于v时，重力和轨道支持力的合力不足以提供向心力，轮缘挤压外轨，反之，轮缘将挤压内轨，由以上分析知，选项A正确．1．弯道的特点在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即，如图所示，则.其中R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度．2．明确圆周平面虽然外轨高于内轨，但整个外轨是等高的，整个内轨是等高的．因而火车在行驶的过程中，重心的高度不变，即火车重心的轨迹在同一水平面内．故火车的圆周平面是水平面，而不是斜面．即火车的向心加速度和向心力均是沿水平面而指向圆心．3．速度与轨道压力的关系（1）当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用．（2）当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度v＞v0时，外轨道对轮缘有侧压力．②当火车行驶速度v＜v0时，内轨道对轮缘有侧压力．二、竖直面上的圆周运动1．汽车过拱形桥时，汽车静止在桥顶与通过桥顶时受力情况是否相同？答案：不相同，汽车静止在桥顶或通过桥顶，虽然都受到重力和支持力，但前者这两个力的合力为零，后者这两个力的合力不为零．2．汽车过拱桥桥顶时，可认为是圆周运动模型，那么汽车过拱桥桥顶的向心力如何产生？方向如何？答案：汽车在桥顶受到重力和支持力，如图所示，向心力由二者的合力提供，方向竖直向下．3．汽车过拱形桥桥顶时，运动有什么特点？答案：（1）动力学方程由牛顿第二定律G－N＝meq\f(v2,R)解得N＝G－meq\f(v2,R)＝mg－meq\f(v2,R)（2）汽车处于失重状态汽车具有竖直向下的加速度，N＜mg，对桥的压力小于重力．这也是为什么桥一般做成拱形的原因．（3）汽车在桥顶运动的最大速度为eq\r(Rg)根据动力学方程可知，汽车行驶速度越大，汽车对桥面的压力越小，当汽车的速度为eq\r(Rg)时，压力为零，这时汽车保持在桥顶运动的最大速度，等于或超过这个速度，汽车将离开桥顶，做平抛运动．4．汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力为什么比汽车的重力大呢？答案：汽车通过凹形桥最低点时，汽车具有竖直向上的加速度，N＞mg，对桥的压力大于重力．一辆质量m＝2.0t的小轿车，驶过半径R＝90m的一段圆弧形桥面，重力加速度取g＝10m/s2，求：（1）若桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？（2）若桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？（3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？答案：（1）2.89×104N（2）1.78×104N（3）30m/s甲解析：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到桥面向上的支持力N1和向下的重力G＝mg，如图甲所示．圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力N1与重力G＝mg的合力为N1－mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F＝N1－mg，由向心力公式知：N1－mg＝meq\f(v2,R).解得桥面的支持力大小为N1＝mg＋meq\f(v2,R)＝2.89×104N，根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.89×104N.乙（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G＝mg和桥面向上的支持力N2，如图乙所示．圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G＝mg与支持力N2的合力为mg－N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F＝mg－N2，由向心力公式知：mg－N2＝meq\f(v2,R)，解得桥面的支持力大小为N2＝mg－meq\f(v2,R)＝1.78×104N，根据牛顿第三定律，汽车在桥的最高点时对桥面压力的大小为1.78×104N.（3）设汽车速度为v′时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零．根据牛顿第一定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G＝mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F＝mg，由向心力公式知mg＝eq\f(v′2,mR)解得：v′＝eq\r(gR)＝30m/s，即汽车以30m/s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．1．轻绳模型如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则，则.在最高点时：（1）时，拉力或压力为零．（2）v＞时，物体受向下的拉力或压力．（3）v＜时，物体不能达到最高点．即绳类的临界速度为.2．轻杆模型如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：（1）v=0时，小球受向上的支持力FN=mg.（2）0＜v＜时，小球受向上的支持力0＜FN＜mg.（3）v=时，小球除受重力之外不受其他力．（4）v＞时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．即杆类的临界速度为.三、匀速圆周运动的处理方法1．试推导圆锥摆运动中，绳与中心轴的夹角满足cosα＝eq\f(g,lω2).答案：根据牛顿第二定律mgtanα＝m（lsinα）ω2可推得cosα＝eq\f(g,lω2).2．试根据上面的式子，分析细绳与竖直中心轴的夹角与什么因素有关？与小球的质量有什么关系？答案：由cosα＝eq\f(g,lω2)可知绳与中心轴的夹角跟圆锥摆的角速度和绳长有关，跟物体的质量无关．3．圆锥摆运动的周期如何求出？答案：mgtanα＝m（lsinα）ω2＝m（lsinα）（eq\f(2π,T)）2得T＝2πeq\r(\f(lcosα,g)).长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示．摆线L与竖直方向的夹角是α，求：（1）线的拉力F；（2）小球运动的线速度的大小；（3）小球运动的角速度及周期．答案：（1）eq\f(mg,cosα)（2）eq\r(gLtanαsinα)（3）eq\r(\f(g,Lcosα))2πeq\r(\f(Lcosα,g))解析：做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和绳子的拉力F.因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是水平方向．由平行四边形定则得小球受到的合力大小为mgtanα，线对小球的拉力大小为.由牛顿第二定律得mgtanα=.由几何关系得r=Lsinα.所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为.小球运动的角速度：.小球运动的周期：.1．指导思路凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力，而物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．2．解题步骤（1）明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．（2）找出物体做匀速圆周运动的圆心，求出Fn.（3）列方程：Fn＝mrω2＝meq\f(v2,r)＝mvω.（4）解方程求出结果．3．几种常见的匀速圆周运动的实例图表：图形受力分析力的分解方法满足的方程及向心加速度或mgtanθ＝mlsinθ·ω2a＝gtanθ或mgtanθ＝mrω2a＝gtanθ或mgtanθ＝mrω2a＝gtanθa＝mBg/m四、离心运动1．做匀速圆周运动的物体，突然间外力消失，物体沿切线方向飞出．思考为什么物体会沿切线方向飞出而不是沿着其他方向飞出呢？答案：这是由于惯性的作用．做匀速圆周运动的物体，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动．一旦失去外力作用，物体由于惯性将沿着物体速度的方向飞出．2．结合生活实际，举出物体做离心运动的例子．你能说出这些例子中离心运动是怎样发生的吗？答案：（1）离心运动的例子：①汽车转弯②洗衣机脱水③棉花糖④魔盘游戏⑤转动的砂轮打磨工件时脱落颗粒的运动⑥制作无缝钢管（2）①汽车转弯时的离心运动发生的原因：当汽车转弯时速度过大，所需要的向心力增大，而地面能够提供的最大静摩擦力不足以提供向心力时，会因离心运动造成交通事故．②洗衣机脱水时水滴做离心运动的原因：当洗衣机脱水筒转速增大时，湿衣服里的水滴速度增大，所需要的向心力增大，当衣服对水的附着力不足以提供水滴所需要的向心力时，会因离心运动造成水滴和衣服的分离．3．讨论并思考当提供的外力F大于、等于、小于所需的向心力时，物体做什么样的运动？答案：如图所示（1）提供的外力F超过所需的向心力，物体靠近圆心运动．（2）提供的外力F恰好等于所需的向心力，物体做匀速圆周运动．（3）提供的外力F小于所需的向心力，物体做远离圆心运动．（4）当F＝0时物体将沿切线方向飞出，做直线运动．4．日常生活中，我们见到的哪些现象（或机械）是离心运动的应用？答案：①离心干燥器②离心沉淀器③洗衣机的脱水筒④用离心机把体温计的水银柱甩回玻璃泡内．体温计盛水银的玻璃泡上方有一段非常细的缩口，测定体温后，升到缩口上方的水银柱因受缩口的阻力不能自动缩回玻璃泡内，在医院里将许多用过的体温计装入水袋内放在离心机上，转动离心机，可把水银柱甩回到玻璃泡内．当离心机转得比较慢时，缩口的阻力F足以提供所需的向心力，缩口上方的水银柱做圆周运动；当离心机转得很快时，阻力F不足以提供所需的向心力，水银柱做离心运动而回到玻璃泡内．在日常生活中我们通常是用手将体温计中的水银柱甩回玻璃泡内的．5．日常生活中，我们见到的哪些现象（或机械）中是防止出现离心运动的？答案：例如汽车、火车在转弯时若速度超过允许范围，就会因离心现象而造成严重交通事故．高速转动的砂轮，若转速过大，使构成砂轮的砂粒间的作用力不足以提供其所需的向心力，就会引起砂轮某些组成部分的离心现象而造成事故．一根长l＝0.625m的细绳，一端拴一质量m＝0.4kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：（1）小球通过最高点时的最小速度；（2）若小球以速度v＝3.0m/s通过圆周最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动？答案：（1）2.5m/s（2）1.76N沿切线方向飞出做离心运动解析：（1）如图所示，此时小球的速度就是通过圆周最高点的最小速度v0，由向心力公式有：mg＝meq\f(v\o\al(2,0),l)，解得：v0＝eq\r(gl)＝2.5m/s.（2）小球通过圆周最高点时，若速度v大于最小速度v0，所需的向心力F向将大于重力G，这时绳对小球要施拉力F，如图所示，此时有F＋mg＝meq\f(v2,l)，解得：F＝meq\f(v2,l)－mg＝1.76N．若在最高点时绳子突然断了，则提供的向心力mg小于需要的向心力meq\f(v2,l)，小球将沿切线方向飞出做离心运动（实际上是平抛运动）．1．物体做离心运动的条件：做圆周运动的物体，一旦提供向心力的外力突然消失，或者外力不能提供足够的向心力时，物体做远离圆心的运动，即离心运动．2．离心运动的受力特点：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于外力不能提供足够的向心力．所谓“离心力”也是由效果命名的，实际并不存在．3．合外力与向心力的关系（如图）（1）若F合＝mrω2或F合＝eq\f(mv2,r)，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．（2）若F合＞mrω2或F合＞eq\f(mv2,r)，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．（3）若F合＜mrω2或F合＜eq\f(mv2,r)，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，而做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”．（4）若F合＝0，则物体做直线运动．1．下列说法中正确的是（）．A．在光滑水平面上汽车无法转弯B．火车转弯时受到的支持力提供向心力C．火车转弯时的速度大于转弯时规定速度，则内轨受压力D．圆锥摆所受的合外力就是向心力答案：AD解析：光滑面没有摩擦力，无法产生向心力，故A正确；火车转弯时是合力提供向心力，故B错误；火车转弯时速度大于规定速度，外轨受压力，故C错误；圆锥摆所受的合外力就是向心力，故D正确．2．如图所示，一质量为m的物块，在细线的拉力作用下，沿较大的