数字电路讲义PPT 第一章

第一节数制与编码第二节逻辑代数基础第三节逻辑函数的标准形式第四节逻辑函数的化简小结第一章数字逻辑基础

第一章数字逻辑基础

本章将依次讨论数字系统中数的表示方法、常用的几种编码，然后介绍逻辑代数的基本概念和基本理论，说明逻辑函数的基本表示形式及其化简。逻辑函数及其化简。重点:二进制数、常用的几种编码、逻辑代数基础、第一节数制与编码数制不同数制之间的转换二进制正负数的表示及运算常用的编码第一节数制与编码一、数制232×103×1203++23十位数字2个位数字3权值基数：由0~9十个数码组成，基数为10。位权：10210110010-110-210-3计数规律：逢10进一权值10的幂十进制（Decimal）

10-1权权权权任意一个十进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(652.5)D位置计数法按权展开式(N)D=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)D=Kn-110n-1

++K1101

+K0100+K-110-1

++K-m

10-m十进制（Decimal）第一节数制与编码=6

102+5

101+2

100+5下标D表示十进制二进制（Binary）第一节数制与编码只由0、1两个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值2i。基数2，逢二进一任意一个二进制数，都可按其权位展成多项式的形式。(N)B=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)B=Kn-12n-1

++K121

+K020

+K-12-1

++K-m2-m下标B表示二进制任意R进制只由0~（R-1）R个数码和小数点组成，不同数位上的数具有不同的权值Ri，基数R，逢R进一。(N)R=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)R=Kn-1Rn-1

++K1R1

+K0R0

+K-1R-1

++K-m

R-m任意一个R进制数，都可按其权位展成多项式的形式。常用数制对照表十进制二进制八进制十六进制十进制二进制八进制十六进制012345678910111213141500000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456701234567101112131415161789ABCDEF第一节数制与编码二、不同数制之间的转换二进制转换成十进制

十进制转换成二进制二进制转换成十六进制

十六进制转换成二进制

例：(10011.101)B=(？)D(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20

＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3

二进制转换成十进制

利用二进制数的按权展开式，可以将任意一个二进制数转换成相应的十进制数。＝（19.625）D第一节数制与编码十进制转换成二进制整数部分的转换除基取余法：用目标数制的基数（R=2）去除十进制数，第一次相除所得余数为目的数的最低位K0，将所得商再除以基数，反复执行上述过程，直到商为“0”，所得余数为目的数的最高位Kn-1。例：（29）D=（？）B29147310222221K00K11K21K31K4LSBMSB得（29）D=（11101）B第一节数制与编码十进制转换成二进制小数部分的转换乘基取整法：小数乘以目标数制的基数（R=2），第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位K-1，将其小数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去，直到小数部分为“0”，或满足要求的精度为止（即根据设备字长限制，取有限位的近似值）。例：将十进制数（0.723）D转换成ε不大于2-6的二进制数。

ε不大于2-6，既要求保留到小数点后第六位。例：将十进制数（0.723）D转换成ε不大于2-6的二进制数。0.7232K-110.446K-20.892K-30.784K-40.568K-50.136由此得：(0.723)D=(0.101110)B十进制二进制八进制、十六进制第一节数制与编码0.2722222201110K-6

从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。例：

（1011101.101001）B=（?）H

(1011101.101001）B=（5D.A4）H1011101.101001小数点为界000D5A4二进制与十六进制之间的转换

第一节数制与编码第一节数制与编码二进制与八进制之间的转换

从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得目的数。例：（11010111.0100111）B=（?）Q（11010111.0100111）B=（327.234）Q11010111.0100111小数点为界000723234补码分为两种：基数的补码和降基数的补码。上一节介绍的十进制和二进制数都属于原码。各种数制都有原码和补码之分。第一节数制与编码三、二进制正负数的表示及运算n是二进制数N整数部分的位数。二进制数N的基数的补码又称为2的补码，常简称为补码，其定义为例：[1010]补=24-1010=10000-1010=0110[1010.101]补=24-1010.101=10000.000-1010.101=0101.011二进制原码、补码及反码

[1010.101]反=(24-2-3)-1010.101=1111.111-1010.101=0101.010n是二进制数N整数部分的位数，m是N的小数部分的位数。第一节数制与编码例：[1010]反=(24-20)-1010=1111-1010=0101二进制数N的降基数补码又称为1的补码，习惯上称为反码，其定义为二进制原码、补码及反码

[N]反=01001001第一节数制与编码二进制原码、补码及反码

例：N=10110110根据定义，二进制数的补码可由反码在最低有效位加1得到。[N]补=无论是补码还是反码，按定义再求补或求反一次，将还原为原码。01001001+000000010100101001001010即[N]补=[N]反+1即[[N]补]补=[N]原第一节数制与编码例：(+43)D二进制正负数的表示法有原码、反码和补码三种表示方法。对于正数而言，三种表示法都是一样的，即符号位为0，随后是二进制数的绝对值，也就是原码。二进制正负数的表示法

符号位绝对值二进制负数的原码、反码和补码=00101011例：[-25]原=10011001[-25]反=11100110[-25]补=11100111符号位“1”加原码符号位“1”加反码符号位“1”加补码补码运算：

[X1]反+[X2]反=[X1+X2]反符号位参加运算[X1]补+[X2]补=[X1+X2]补符号位参加运算

在数字电路中，用原码求两个正数M和N的减法运算电路相当复杂，但如果采用反码或补码，即可把原码的减法运算变成反码或补码的加法运算，易于电路实现。补码的算术运算

反码运算：第一节数制与编码例：X1=0001000，X2=-0000011，求X1+X2解：[X1]反+[X2]反=[X1+X2]反[X1]反=00001000[X2]反=11111100+）100000100+）1[X1]反+[X2]反=00000101反码在进行算术运算时不需判断两数符号位是否相同。当符号位有进位时需循环进位，即把符号位进位加到和的最低位。故得X1+X2=+0000101例：

X1=-0001000，X2=0001011，求X1+X2解：[X1]补+[X2]补=[X1+X2]补[X1]补=11111000[X2]补=00001011+）100000011[X1]补+[X2]补=00000011符号位参加运算。不过不需循环进位，如有进位，自动丢弃。故得X1+X2=+0000011自动丢弃第一节数制与编码四、常用的编码

二—十进制码

格雷码

校验码

字符编码（一）二—十进制码（BCD码）

有权码8421BCD码用四位自然二进制码的16种组合中的前10种，来表示十进制数0~9，由高位到低位的权值为23、22、21、20，即为8、4、2、1，由此得名。用文字、符号或数码表示特定对象的过程称为编码。

此外，有权的BCD码还有2421BCD码和5421BCD码等。

无权码余三码是一种常用的无权BCD码。常用的BCD码十进制8421BCD码012345678900000001001000110100010101100111100010012421BCD码5421BCD码余三码8421b3b2b1b0位权0000000100100011010010111100110111101111000000010010001101001000100110101011110000110100010101100111100010011010101111002421b3b2b1b05421b3b2b1b0无权

二—十进制码

格雷码

校验码

字符编码四、常用的编码：（二）格雷码2.编码还具有反射性，因此又可称其为反射码。1.任意两组相邻码之间只有一位不同。第一节数制与编码注：首尾两个数码即最小数0000和最大数1000之间也符合此特点，故它可称为循环码。十进制B3B2B1B00123456700000001001100100110011101010100十进制G3G2G1G08910111213141511001101111111101010101110011000

最常用的误差检验码是奇偶校验码，它的编码方法是在信息码组外增加一位监督码元。（四）字符编码ASCII码:七位代码表示128个字符96个为图形字符控制字符32个（三）校验码第二节逻辑代数基础逻辑变量及基本逻辑运算逻辑函数及其表示方法逻辑代数的运算公式和规则（一）逻辑变量取值：逻辑0、逻辑1。逻辑0和逻辑1不代表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻辑状态。（二）基本逻辑运算逻辑与

逻辑或

逻辑非

第二节逻辑代数基础一、逻辑变量及基本逻辑运算逻辑符号逻辑表达式F=A

B

=

AB与逻辑真值表与逻辑关系表逻辑与

开关A开关B灯F断断断合合断合合灭灭灭亮ABF101101000010ABF

与逻辑运算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示。UFAB第二节逻辑代数基础只有决定某一事件的所有条件全部具备，这一事件才能发生。逻辑符号或逻辑真值表或逻辑关系表逻辑或

开关A开关B灯F断断断合合断合合亮亮亮灭ABF101101001110第二节逻辑代数基础决定某一事件的条件有一个或一个以上具备，这一事件才能发生。逻辑表达式F=A+BABFUFAB≥1或逻辑运算符，也有用“∨”、“∪”表示。非逻辑真值表非逻辑关系表逻辑非

开关A灯FAF第二节逻辑代数基础当决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。逻辑表达式F=A“-”非逻辑运算符UFAR断合亮灭1001逻辑符号ABF1与非逻辑运算F1=AB或非逻辑运算F2=A+B与或非逻辑运算F3=AB+CD（三）复合逻辑运算第二节逻辑代数基础ABF

ABF≥1ABFCD≥1

ABF101101001100逻辑表达式F=A

B=AB+AB

ABF=1逻辑符号逻辑表达式F=ABABF101101001100第二节逻辑代数基础

异或运算

同或运算“

”异或逻辑运算符=A

B“⊙”同或逻辑运算符ABF=1逻辑符号ABF=1（四）正逻辑与负逻辑（与门）（或门）第二节逻辑代数基础ABFVLVLVL电平关系VLVHVLVHVLVLVHVHVH正逻辑ABF负逻辑ABF0

0

00101001111

1

1101011000VH：高电平

VL：低电平逻辑0：VH逻辑1：

VL逻辑1：VH逻辑0：

VL高电平VH用逻辑0表示，低电平VL用逻辑1表示。

正、负逻辑间关系正或=负与正与=负或正与非=负或非正或非=负与非≥1逻辑符号等效

在一种逻辑符号的所有入、出端同时加上或者去掉小圈。

原来的符号互换（与←→或、同或←→异或）高电平VH用逻辑1表示，低电平VL用逻辑0表示。第二节逻辑代数基础

≥1

≥1正逻辑正与正与非正或正或非≥1

≥1负逻辑负与负与非负或负或非第二节逻辑代数基础二、逻辑函数及其表示方法用有限个与、或、非等逻辑运算符，应用逻辑关系将若干个逻辑变量A、B、C等连接起来，所得的表达式称为逻辑函数。F=(A，B)=A+BF=(A，B，C)=A+BC输出变量逻辑函数的表示方法：逻辑图逻辑表达式

波形图

真值表

输入变量例：三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定。试建立该问题的逻辑函数。ABCF00000100110111100101011111011000三个人意见分别用逻辑变量A、B、C表示表决结果用逻辑变量F表示同意为逻辑1，不同意为逻辑0。表决通过为逻辑1，不通过为逻辑0。1.真值表2.逻辑函数表达式

找出函数值为1的项。

每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。

这些乘积项作逻辑加。F=ABC+ABC+ABC+ABC输入变量取值为1用原变量表示;反之，则用反变量表示ABC、ABC、ABC、ABC。1011111010111111第二节逻辑代数基础3.逻辑图F=ABC+ABC+ABC+ABC乘积项用与门实现和项用或门实现4.波形图ABF

CAB

CAB

CAB

C≥1ABCFA+0=AA+1=1A0=0A1=AA

A=0

A+A=1A

A=AA+A=AA

B=B

AA+B=B+A

(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A

(B+C)=A

B+A

CA+BC=(A+B)(A+C)0-1律互补律重叠律交换律结合律分配律第二节逻辑代数基础三、逻辑代数的运算公式和规则反演律A

B=A+BA+B=AB还原律

A=A吸收律A+A

B=AA

(A+B)=AA+A

B=A+BA

(A+B)=A

BAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)第二节逻辑代数基础三、逻辑代数的运算公式和规则例：证明吸收律成立互补律重叠律第二节逻辑代数基础例：证明反演律A

B=A+B和

A+B=ABABAB

A+BA

BA+B000110111110111010001000由真值表得

第二节逻辑代数基础证：利用真值表A

B=A+B，

A+B=AB1110111010001000反演律又称摩根定律，常变形为A

B=A+B和

A+B=AB逻辑代数的运算公式和规则

三个基本运算规则

代入规则：任何含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立。例：

A

B=A+BBC替代B得由此反演律能推广到n个变量：利用反演律

ABC=A+BC=A+B+C基本运算规则

反演规则：对于任意一个逻辑函数式F，做如下处理：

若把式中的运算符“•”换成“+”,“+”换成“•”；

常量“0”换成“1”，“1”换成“0”；

原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么得到的新函数式称为原函数式F的反函数式。例：F(A，B，C)CBAB

)C

A(BA

+++=其反函数为)CBA(BCA)BA(F++++=

保持原函数的运算次序--先与后或，必要时适当地加入括号。基本运算规则

对偶式：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1）若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”；2）常量“0”换成“1”，“1”换成“0”。得到的新函数为原函数F的对偶式F′，也称对偶函数。

对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即若F1=F2

则F1′=F2′。使公式的数目增加一倍。

求对偶式时运算顺序不变，且它只变换运算符和常量，其变量是不变的。注：

函数式中有“

”和“⊙”运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符“

”换成“⊙”，“⊙”换成“

”。

其对偶式例：FB1C

ABA

++=)(

+F’B0C

ABA

++=)

()(第三节逻辑函数的标