用空间向量研究直线平面的位置关系（第2课时）导学案原卷版高二数学系列（人教A版2019选择性）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时）导学案学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系；3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．重点难点重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系课前预习自主梳理知识点1：直线、平面垂直的向量表示1.线线垂直的向量表示:设直线的方向向量分别为,则2.直线和平面垂直的向量表示:设直线的方向向量为,平面的法向量为,则3.平面和平面垂直的向量表示:设平面的法向量分别为,则.自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．()(2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面垂直．()(3)若两平面垂直，则这两个平面的法向量所成的角一定是90°.()(4)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于直线l在平面α内的投影，则l与m垂直．()【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×【解析】(1)正确．由线线垂直的向量表示可知正确．(2)错误．若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行或在平面内．(3)正确．若两平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直，所以这两个平面的法向量所成的角一定是90°.(4)错误．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，但也不能得出l⊥m的结论．2.空间向量与几何中的平行关系位置关系向量表示图示线线平行设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则，使得．线面平行设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则面面平行设，分别是平面，的法向量，则，使得3.空间向量与几何中的垂直关系位置关系向量表示图示线线垂直设直线，的方向向量分别为，，则．线面垂直设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，使得面面垂直设平面，的法向量分别为，，则新课导学学习探究环节一：创设情境，引入课题知识点1：空间中直线、平面的平行类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题．思考由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？如图，设，分别是直线，的方向向量．由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行．所以，使得．环节二：观察分析，感知概念类似地，如图，设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则．如图，设，分别是平面，的法向量，则，使得．例2证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：如图，，，，，．求证：．例3如图，在长方体中，，，．上是否存在点，使得平面？练习（第31页）1．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．1．解析：已知直线，和平面，其中，，且，求证：．证明：2．如图，在四面体中，是的中点．直线上是否存在点，使得？解析：3．如图，在正方体中，，分别是面，的中心．求证：平面．解析：环节三：抽象概括，形成概念知识点2：空间中直线、平面的垂直思考类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．如图1.413(1)，设直线，的方向向量分别为，，则．如图1.413(2)，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，使得．如图1.413(3)，设平面，的法向量分别为，，则．我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？环节五：课堂练习，巩固运用例4如图，在平行六面体中，，，求证：直线平面．分析：例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．已知：如图，，，求证：．证明：环节六：归纳总结,反思提升1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？环节七：目标检测，作业布置完成教材：第33页练习第1，2，3题第41页习题1.4第5，8，11题备用练习1.已知正方体的棱长为1，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意求出相关点的坐标，求得，，设平面的法向量为，可得，解方程组，可得答案.【详解】如图，，则，，设平面的法向量为，则，即，取，则，∴平面的一个法向量为∶,选项中的向量与不共线，D中向量符合题意，故选︰D．2.（多选题）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（

）A．直线的一个方向向量为B．直线的一个方向向量为C．平面的一个法向量为D．平面的一个法向量为【答案】AC【分析】求出即