高一数学人教A版2019试题2.1等式性质与不等式性质（第1课时）

2.1等式性质与不等式性质（第1课时）（2种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：用不等式(组)表示不等关系1．完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工人，瓦工人，则，满足的关系式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件直接列出不等式即可判断作答.【详解】因请木工每人需付工资800元，木工人，则需付木工工资元，因请瓦工每人需付工资700元，瓦工人，则需付瓦工工资元，于是得完成这项装修工程，共需付工资()元，而工人工资预算为20000元，因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，所以，满足的关系式是：.故选：D2．如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母的不等式表示出来（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【详解】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积．图（2）是一个矩形，面积．可得：．故选：A3．如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知条件及矩形面积公式即可求解.【详解】解：由题意知，根据面积公式可以得到.故选:C．4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由边长表示出面积，再由边长与面积的范围求解即可；（2）由长与宽的范围都不超过11m，求解即可【详解】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为，所以，这时菜园的另一边长为，，所以菜园的面积，依题意有，即，故该题中的不等关系可用不等式组表示为（2）因为矩形的另一边长，所以，又，且，所以.题型二：比较两个实数(代数式)大小5．设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.【详解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.6．已知，那么的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比较大小.【详解】解：，，．，．．故选：B．7.请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．【答案】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．【详解】克糖水中有克糖，糖水的浓度为：；克糖水中有克糖，若再添克糖，则糖水的浓度为，又糖水变甜了，说明浓度变大了，，，，，.故答案为：，8.（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小关系为__.【答案】（x+1）（x+5）＜（x+3）2【分析】作差，判断差的符号，即可得到答案.【详解】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，故答案为：（x+1）（x+5）＜（x+3）29.（1）比较和的大小；（2）已知，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）直接利用不等式的性质求出的取值范围.【详解】（1）因为，所以．（2）因为，所以．因为，所以，故．10.比较与)的大小.【答案】【分析】做差化简，分情况讨论比较大小.【详解】当时，，，即；当时，，，即；综上所得.11.已知，证明：.【分析】利用作差法即得.【详解】∵，，，即.12．已知，证明：.【分析】利用作差法即得.【详解】∵，，，，.【能力提升】一、单选题1．（2023·高一课时练习）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A：因为，故，又因为，，所以，从而，故A错误；对于B：由题意可知，，因为，所以，故，即，从而，故B正确，对于C：因为，所以，所以，故C错误；对于选项D：因为，所以，即，故D错误.2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于，当，则，故选项错误；对于，因为，当时，可得：，故选项错误；对于，作差：，因为，所以，但的符号无法判断，所以选项错误；对于，因为，由不等式的性质可得：，故选项正确，3．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由可得，则，由可得，利用完全平方可得所以，，，综上，二、多选题4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）若是不为0的实数，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】对于A，当，时，，故A不正确；对于B，因为，，即，故B正确；对于C，当时，，故C不正确；对于D，由可得或或，当时，则，故，即，当时，则，故，当时，则，所以由可得，故D正确.5．（2023秋·云南大理·高一统考期末）设为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【详解】对于A，若，则，即，，，即，A命题正确；对于B，若，可得，,即得，B命题正确；对于C，若，可取，，则，C命题不正确；对于D，若，可取，，则，D命题不正确，6．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）下列结论正确的是（

）A．， B．若，则C．若，则 D．若，，，则【答案】BD【详解】当时，为负数，所以A不正确；若，则，考虑函数在R上单调递增，所以，即，所以B正确；若，则，，所以C不正确；若，，，根据基本不等式有所以D正确.故选：BD7．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AB【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；对于B，，因为，所以，故B正确；对于C，当时，故C错误；对于D，当时，，故D错误；8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）若，，则下列不等式一定成立的是（

）.A． B．C． D．【答案】BD【详解】对于A：，只有当时，，故A错误；对于B：，因为，所以，故B正确；对于C：，因为，所以，故C错误；对于D：因为所以，，所以，故D正确；三、双空题9．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为，月租费为万元；每间肉食水产店面的建造面积为，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则的最大值为万元．【答案】161【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,（1）由题意知，，化简得：，又，所以，解得：，共种；（2）由题意知，，，，，即的最大值为1万元，10．（2022·全国·高一专题练习）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③生人数为，则女学生人数的最小值为；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.【答案】【详解】设男学生、女学生、教师的人数分别为、、，则.若，则，可得，则，当时，取最小值，即男学生人数为，则女学生人数的最小值为；若的值未知，当时，则，不满足题意，当时，则，不合乎题意，当时，则，此时，，则，合乎题意.故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.故答案为：；.四、解答题11．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）（1）设，，.试比较P与Q的大小.（2）已知，，.求证：；【答案】（1），（2）证明见解析【详解】（1）解：∵，∴，∴．（2），，，又，.12．（2023秋·高一课时练习）比较大小：(1)和；(2)和，其中．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，所以.13．（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，．(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；(2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则.因为，所以.又因为，所以.因此，即.所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.14．（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考期中）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.【答案】(1)，证明见解析(2)见解析【详解】（1）该不等式为证明：因为，所以，于是.（2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，又，所以当时，两种方案一样；当时，第二种方案比较经济.15．（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）（1）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：种糖每千克元，种糖每千克元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量）【答案】（1）不等式为，证明见解析；（2）答案见解析.【详解】解：（1）克糖水中含有克糖，则糖在糖水中所占的比例为，再添加克糖（假设全部溶解），则糖在糖水中所占的比例，糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有，证明如下：，则；（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克），对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克，故华华买到的糖的平均价格为（元/千克），，即东东买到的糖的平均价格较高.16．（2022秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）已知bg糖水中有ag糖，往糖水中加入mg糖，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式(2)证明这个不等式(3)利用（1）的结论证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题可得（2）证明：因为，b>a>0，m>0，所以a－b<0，b＋m>0，从而，即.（3）证明：因为

，故，所以17．（2022·全国·高一专题练习）已知，试比较与的值的大小．【答案】时，；时，．【分析】用做差法比较可得答案.【详解】，可得，当时，，，则，即；当时，，则，即．综上可得时，；时，．18．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)(2)【分析】利用作差法得出大小关系.(1)因为，所以，当且仅当时，取等号.即(2)因为，所以，当且仅当时，取等号.故.19．比较下列各组数的大小.（1）与，；（2）与.【答案】（1）；（2）.【解析】利用作差法求解即可.【详解】（1），，且，，.，即.（2）（当且仅当时取等号），又，，..【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于较难题.20.设试证:对任意实数有【分析】利