第一部分-函数与极限学习指导

第一部分函数与极限一、内容提要1．函数是微积分是研究的对象。它反映了客观世界中变量间的依赖关系，它有两个要素：对应规则和定义域。这是函数概念中最本质的东西，只要对应规则和定义域都相同，则就是同一个函数，而与函数中的自变量和因变量用什么字母表示是无关的。如果两个函数的对应规则和定义域不完全相同，则就是两个不同的函数。另外，在函数的定义中重要的是，自变量在定义域内每取得一个数值时，因变量总有确定的值与它对应。至于函数的表达方式，在定义中并没有限制；函数可以用公式(—个或几个)表示，也可用图形或表格表示。2．基本初等函数有六类，常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。初等函数是微积分研究的主要对象，而初等函数是由基本初等函数构成的。因此，熟练掌握基本初等函数的图形及特性就显得十分必要。3．极辗概念是在研究函数的变化趋势过程中抽象出来的一个重要概念，它是微积分的基本概念之一。极限方法又是微积分中的基本分析方法。所以对于极限概念和极限方法都应较好地掌握。函数极限的形式虽然很多，但主要的是及两种。只要把这两种形式的精确定义能理解清楚，那么其它各种极限形式的定义也就迎力而解了。因此，我们在学习过程中务必对这两种定义花较多的时间，反复体会定义中的绝对值不等式之间的联系。这两个定义既是重点又是难点，必须突破难点抓住重点。4．如果函数当（或）时的极限为零，这时函数称为（或）时的无穷小，无穷小的概念在极限理论中是一个重要的概念；特别是在定理2.1尤为重要，它指出与（其中）这两件事是等价的。它说明了无穷小与一般极限之间的关系，从无穷小量的性质过渡到极限运算法则，主要是根据上述关系而得到的。5．有了关于极限的运算法则以后，我们就可以解决有理分式(分母的极限不为零)的求极限问题。当分母的极限为零时，就要灵活地寻找其他方法求极限。6．根据两条极限存在准则，我们证明了两个重要极限：及。从而可使较多的求极限问题得以解决。7．无穷小的比较基本上有三种情形：如果，则称是比高阶的无穷小，记作；如果，则称是比低阶的无穷小；如果，则称与是同阶的无穷小。(特殊情形是，此时称与是等价无穷小，记作。)由无穷小比较的结果可以看出分子、分母中哪一个趋向于零比较快些；或者两者趋向于零的“快慢相仿”。另外，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替。8．函数在点处连续的定义可以用三种形式：或或用的说法来表达，这三种表达形式在本质上是没有区别的．9．函数的间断点分为第一类和第二类。如果是函数的间断点，但及都存在。则称为函数的第一类间断点。如果是函数的第一类间断点，且存在，则称为函数的可去间断点。除去第一类以外的间断点都称为第二类间断点，例如无穷间断点及振荡间断点都属于第二类间断点。10．我们首先说明了所有基本初等函数在它们的定义域内部是连续的。然后根据连续函数的和、积及商的连续性定理及复合函数的连续性定理就可以得到重要结论：一切初等函数在其有定义的区间内都是连续的。从而使得很多函数的极限可以方便地求到。11．对于在闭区间上连续的函数有两个重要定理：最大值最小值定理及介值定理。这些定理在解题和推理时，都是很有用的。因此，必须弄清定理中的条件和结论。二、学习指导1．为了帮助我们能顺利地理解极限的定义，熟悉一下有关绝对值不等式的解法是非常必要的。下面我们来举例说明绝对值不等式的几何意义。例1解，并说明它的几何意义。了当时的实质。7．初学极限的慨念时，多数学生对说法不太习惯。如果对(接近的状态．)和(在变化过程中所处的阶段)的含义反复体会，充分理解后，再经过适当的练习，就会感到习惯。在讲函数的极限概念时，用的是说法，它与说法的实质是相似的。因此，习惯了说法后，也就不准理解说法。从而为理解其他情形的极限定义而打下基础。由于微积分中的其他许多重要概念，如连续、导数，微分及定积分等等，都要用到极限的概念，因此，掌握极限的概念是十分重要的，务必予以足够重视。8．我们知道，如果不存在正数，使得当取函数的定义域内的任何一个值时，对应的函数值都可满足，则称在定义城内无界。因此，由无穷大的定义显然可知，如果函数是无穷大(即如果或)，则它在定义域内必是无界的。但反过来说不一定成立，因为在定义城内无界的函数可以不是无穷大。例如，函数的定义域是。在内函数是无界的，因为对于任意的总可以找到值使得，但是并不是无穷大，即没有的结论，因为当时，函数值为零。9．求极限有下面一些方法：（1）利用极限四则运算法则直接求极限；（2）如果是的连续点，则只要求出代替即可。（3）先进行代数处理(如消去公因子，分子分母同除最高次幂以及同乘共轭根式等)，再用第（1）条求出极限；（4）通过变量代换化为两个重要极限，从而求出极限。虽然我们有了一些计算极限的方法，但分子、分母同时为无穷小或同时为无穷大等情形，有时还不能依第（2）条或第（3）条求出极限。进一步的有效方法将有待于后续章节的罗必塔法则的学习。10．连续是函数的一种重要性态，而微积分中所研究的函数又绝大多数是连续函数，所以必须理解函数连续性的概念。函数连续性的概念包括‘一点处连续”及“在区间上连续”两个方面。重点是前者，其定义有三种等价的表达形式。第一种，常被用来判断一个函数在某区间上的连续性。第二种：常被用来判断函数在某一点是否连续，特别是用于判断分段函数布界点处”是否连续。第三种，“”的说法只要求了解一下就行了，因为它主要是用于理论性的探讨中。11．关于函数的间断点，要弄清每一种间