四川省德阳市高三二诊考试数学（理）试卷

2021年四川省德阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∩B等于（）A．[1，2） B．（1，2） C．[0，1] D．（0，1]2．设z是复数，若z（1﹣i）＝|﹣i|（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为 B．z＝ C．|z|＝1 D．z+＝13．（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．﹣160 B．160 C．﹣80 D．804．如图是2010﹣2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（）A．2015年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过160万人 C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低5．如图是某著名高校的课程结业成绩“绩点”计算框图，输入课程结业考试成绩x∈[0，100]，输出的s就是该门课程成绩x对应的“绩点”．本学期小王同学一共有三门课程结业，考试成绩分别是60分（1）、80分（2）、100分（2），括号里面的数字是该门课程对应的学分．已知每学期“平均绩点”（简称GPA）是该学期各门课程的绩点乘以该门课程的学分的和除以总学分，那么小王同学本学期的“GPA”为（）6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A． B．8 C． D．47．正项等比数列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1+log3a2+…+log3a2021＝（）A．4042 B．2021 C．4036 D．20188．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若AD＝4，BD＝2，那么•＝（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣69．已知函数f（x）＝asinx﹣2cosx，若f（t）＝0，f′（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一个最大值点，那么φ的取值范围是（）A． B． C． D．（0，π]10．对圆x2+y2＝1上任意一点P（x，y），若|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣5 B．﹣5≤a≤5 C．a≤﹣5或a≥5 D．a≥511．已知O为坐标原点，F是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|＝λ|ON|，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．12．已知向量＝（，1），＝（1，﹣）函数f（x）＝•，若关于x的方程f（x）＝k（x+1）只有一个实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0]∪（1，+∞） C．[1，+∞） D．（0，1]二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13．如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n＝200），若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临界生”人数约为．14．已知等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，那么等差数列{an}的通项公式为an＝．15．把如图的平面图形分别沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三点始终可以重合于点D得到三棱锥D﹣ABC，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为．16．已知点A在抛物线y2＝3x上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线的焦点为F，若∠BAF＝30°，则A的坐标为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，且BD＝6．（1）若AD＝3，求△ABC的面积；（2）若BC＝4，求sinC．18．已知在空间几何体ABCDE中，△ABC、△BCD、△ECD都是边长为2的正三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）A、E、B、D四点是否共面？说明理由；（2）求二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值．19．针对时下的“网络文学热”，某班团委对“学生性别是否与喜欢网络文学有关”作了一次抽样调查，在抽取的样本中，女生人数是男生人数的，男生喜欢“网络文学”的人数占男生人数的，女生喜欢“网络文学”的人数占女生人数的．设抽取的男生人数为x（x∈N*）．（1）完成2×2列联表，若有95%以上的把握认为喜欢“网络文学”与性别有关求男生人数x的最小值；喜欢网络文学不喜欢网络文学总计男生x女生总计（2）当x取（1）中的最小值时，从喜欢网络文学的同学中抽取3名同学进行问卷调查，记3名同学中女生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k20．已知直线m与椭圆C：＝1相切于点P（1，），直线n与椭圆C分别交于点A、B（异于点P），与直线m交于点Q，线段AB的中点H在直线y＝﹣x上．（1）求直线m的方程；（2）证明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比数列．21．设函数f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）．（1）当a＝时，求g（x）＝f′（x）•e1﹣x的单调区间（f′（x）是f（x）的导数）；（2）若f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），且正实数λ使1+λ＜x1+λx2成立，求正实数λ的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答注意只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修44：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2sin2θ＝2．（1）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（2）若直线l截曲线C所得线段的中点坐标为（1，），求l的斜率．[选修45：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|+|x|．（1）解不等式f（x）≥3x；（2）已知f（x）的最小值为m，正实数a、b满足a+2b＝m，求的最小值，并指出此时a、b的值．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∩B等于（）A．[1，2） B．（1，2） C．[0，1] D．（0，1]解：集合＝{x|1﹣x≥0}＝{x|x≤1}，集合B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故选：D．2．设z是复数，若z（1﹣i）＝|﹣i|（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为 B．z＝ C．|z|＝1 D．z+＝1解：∵z（1﹣i）＝|﹣i|＝1，∴z＝＝，故B错误；z的虚部为，故A错误；|z|＝，故C错误；，故D正确．故选：D．3．（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．﹣160 B．160 C．﹣80 D．80解：二项式的展开式的通项公式为T＝C，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故常数项为C，故选：A．4．如图是2010﹣2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（）A．2015年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过160万人 C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低解：对于选项A：由条形图可知，2015年以来我国考研报名人数逐年增多，所以选项A正确，对于选项B：由条形图可知，考研人数最大是330万左右，最小是145万左右，极差估计为185万，所以选项B正确，对于选项C：由条形图可知，报考人数最少的一年是2010年，所以选项C错误，对于选项D：由折线图可知，2015年的报录比最低，所以选项D正确，故选：C．5．如图是某著名高校的课程结业成绩“绩点”计算框图，输入课程结业考试成绩x∈[0，100]，输出的s就是该门课程成绩x对应的“绩点”．本学期小王同学一共有三门课程结业，考试成绩分别是60分（1）、80分（2）、100分（2），括号里面的数字是该门课程对应的学分．已知每学期“平均绩点”（简称GPA）是该学期各门课程的绩点乘以该门课程的学分的和除以总学分，那么小王同学本学期的“GPA”为（）解：设三门课程的绩点分别为S1，S2，S3，则S1＝4﹣＝3，S2＝4﹣＝3.75，S3＝4﹣＝4，所以GPA＝＝3.7．故选：C．6．某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A． B．8 C． D．4解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，则该四棱锥的体积V＝．故选：A．7．正项等比数列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1+log3a2+…+log3a2021＝（）A．4042 B．2021 C．4036 D．2018解：正项等比数列{an}中，a1011＝3，a1×a2×…×a2021＝＝32021，∴log3a1+log3a2+…+log3a2021＝log3（a1×a2×…×a2021）＝＝＝2021．故选：B．8．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若AD＝4，BD＝2，那么•＝（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6解：由题意可知，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠AEC＝∠CFB＝∠BDA＝120°，又∵AD＝4，BD＝2，∴BF＝CE＝AD＝4，BD＝DF＝CF＝EF＝AE＝DE＝2，∴＝＝＝＝2+4+2﹣2＝6．故选：C．9．已知函数f（x）＝asinx﹣2cosx，若f（t）＝0，f′（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一个最大值点，那么φ的取值范围是（）A． B． C． D．（0，π]解：函数f（x）＝asinx﹣2cosx＝，其中，则f（x）的最小正周期为2π，又f（t）＝0，f'（t）＞0，且f（x）在（t，t+φ）上恰有一个最大值点，所以，解得φ．故选：A．10．对圆x2+y2＝1上任意一点P（x，y），若|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣5 B．﹣5≤a≤5 C．a≤﹣5或a≥5 D．a≥5解：设直线l1：3x﹣4y+a＝0，l2：3x﹣4y﹣9＝0，则点P到直线l1的距离，点P到l2的距离，因为|3x﹣4y+a|﹣|3x﹣4y﹣9|的值都与x，y无关，所以d1﹣d2为常数，所以两条直线在圆的同一侧，且与圆不相交，因为直线l2在圆的下方，所以直线l1也在圆的下方，则有圆心（0，0）到直线l1的距离，解得a≥5或a≤﹣5，因为直线l1也在圆的下方，所以a≤﹣5．故选：A．11．已知O为坐标原点，F是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|＝λ|ON|，则双曲线C的离心率为（）A． B．2 C． D．解：由题意知，F（﹣c，0），不妨取点P在第二象限，设点M为（﹣c，m），则m＞0，∵A（﹣a，0），B（a，0），∴直线AM的方程为y＝（x+a），直线BM的方程为y＝（x﹣a），∴E（0，），N（0，），∵|OE|＝λ|ON|，∴||＝λ||，即（λ﹣1）c＝（1+λ）a，∴离心率e＝＝．故选：C．12．已知向量＝（，1），＝（1，﹣）函数f（x）＝•，若关于x的方程f（x）＝k（x+1）只有一个实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0]∪（1，+∞） C．[1，+∞） D．（0，1]解：由题意，f（x）＝•＝﹣＝，f（﹣1）＝＝﹣2≠k（﹣1+1）＝0，f（0）＝0，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝﹣f（﹣x），x＞1时，f（x）＝﹣f（﹣x），可得f（x）在R上为奇函数，当x＞0时，f′（x）＝，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且f（1）＝2，当x→+∞时，f（x）→0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，且f（﹣1）＝﹣2，当x→﹣∞时，f（x）→0，作出f（x）的大致图象，如图所示：直线y＝k（x+1）恒过定点（﹣1，0），当直线经过点（1，2）时，斜率k＝＝1，因为方程f（x）＝k（x+1）只有一个实数根，所以函数f（x）的图象与直线y＝k（x+1）只有一个交点，结合图象可知k≤0或k＞1，即实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪（1，+∞）．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13．如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n＝200），若成绩在60分到80分之间的学生称为“临界生”，那么样本中“临界生”人数约为30．解：由频率分布直方图可得，样本中“临界生”人数约为：200×＝2×（6+9）＝2×15＝30（人）．故答案为：30．14．已知等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，那么等差数列{an}的通项公式为an＝2n+10．解：设等差数列{an}的公差为d，∵a10＝30，a20＝50，∴a1+9d＝30，a1+19d＝50，联立解得：a1＝12，d＝2，那么等差数列{an}的通项公式为an＝12+2（n﹣1）＝2n+10．故答案为：2n+10．15．把如图的平面图形分别沿AB、BC、AC翻折，已知D1、D2、D3三点始终可以重合于点D得到三棱锥D﹣ABC，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为50π．解：在三棱锥D﹣ABC中，当且仅当DA⊥平面ABC时，三棱锥的体积达到最大，此时，设外接球的半径为R，球心为O，球心O到平面ABC的投影点为F，则有R2＝OA2＝OF2+AF2，又OF＝＝，AF＝＝，所以R，所以球的表面积为S＝4πR2＝4，故答案为：50π．16．已知点A在抛物线y2＝3x上，过点A作抛物线的切线与x轴交于点B，抛物线的焦点为F，若∠BAF＝30°，则A的坐标为（，）．解：设A（，n），由y2＝3x，两边对x求导，可得2yy′＝3，即有y′＝，可得A处的切线的斜率为，抛物线y2＝3x的焦点F（，0），由直线AF的斜率为＝，所以tan30°＝＝，化为＝，解得n＝，＝，可得A（，）．故答案为：A（，）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知等腰△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，且BD＝6．（1）若AD＝3，求△ABC的面积；（2）若BC＝4，求sinC．解：（1）因为AB＝AC，D是AC的中点，且BD＝6，AD＝3，所以在△ABD中，由余弦定理可得cosA＝＝＝，可得sinA＝＝，所以S△ABC＝AB•AC•sinA＝＝．（2）设CD＝x，由题意可得AB＝AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理可得：cosC＝＝＝，在△BCD中，由余弦定理可得：cosC＝＝＝，所以＝，解得x＝2，所以cosC＝，可得sinC＝＝．18．已知在空间几何体ABCDE中，△ABC、△BCD、△ECD都是边长为2的正三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD．（1）A、E、B、D四点是否共面？说明理由；（2）求二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值．解：（1）A、E、B、D四点共面，理由如下：取DC中点M，因为△ECD是正三角形，所以EM⊥DC，因为平面CDE⊥平面BCD，平面CDE∩平面BCD＝DC，所以EM⊥平面BCD，取BC中点N，同理AN⊥BC，AN⊥平面BCD，连接MN，所以MN∥BD，又因为△ABC、△BCD、△ECD都是边长为2的正三角形，所以EM＝AN，EM∥AN，所以四边形AEMN为平行四边形，所以AE＝MN，AE∥MN，所以AE∥BD，所以A、E、B、D四点共面．（2）取AE中点P，连接PC，因为CA＝CE，所以PC⊥AE，取BD中点Q，连接PQ，因为四边形AEDB为等腰梯形，所以PQ⊥AE，所以∠CPQ为二面角B﹣AE﹣C的平面角，连接CQ，交MN于O，连接PO，所以PO∥EM，PO是CQ的垂直平分线，设∠QPO＝θ，则tanθ＝＝，所以cos2θ＝＝，所以二面角B﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．19．针对时下的“网络文学热”，某班团委对“学生性别是否与喜欢网络文学有关”作了一次抽样调查，在抽取的样本中，女生人数是男生人数的，男生喜欢“网络文学”的人数占男生人数的，女生喜欢“网络文学”的人数占女生人数的．设抽取的男生人数为x（x∈N*）．（1）完成2×2列联表，若有95%以上的把握认为喜欢“网络文学”与性别有关求男生人数x的最小值；喜欢网络文学不喜欢网络文学总计男生x女生总计（2）当x取（1）中的最小值时，从喜欢网络文学的同学中抽取3名同学进行问卷调查，记3名同学中女生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）k解：（1）2×2列联表为：喜欢网络文学不喜欢网络文学总计男生x女生总计x所以，解得，因为为正整数，所以男生人数x的最小值为12；（2）当x取最小值12时，由题意可知，喜欢网络文学的同学中有男生2人，女生4人，故ξ的可能取值为1，2，3，所以P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，所以ξ的分布列为：ξ123P所以ξ的数学期望为E（ξ）＝1×+2×+3×＝2．20．已知直线m与椭圆C：＝1相切于点P（1，），直线n与椭圆C分别交于点A、B（异于点P），与直线m交于点Q，线段AB的中点H在直线y＝﹣x上．（1）求直线m的方程；（2）证明：|AQ|、|PQ|、|BQ|成等比数列．解：（1）设切线m的方程为y﹣＝k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2+（﹣8k2+12k）x+4k2﹣12k﹣3＝0，所以△＝（﹣8k2+12k）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12k﹣3）＝0，解得k＝﹣，所以直线m的方程为y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣4＝0．（2）设直线n：y＝x+a，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，解得x＝2﹣a，y＝+1，所以Q（2﹣a，+1），联立，得x2+x+﹣1＝0，所以△＝﹣×（﹣1）＝＞0，即﹣2＜a＜2，所以|AQ||BQ|＝|2﹣a﹣x1|•|2﹣a﹣x2|，＝|2﹣a﹣x1||2﹣a﹣x2|＝|（2﹣a）2﹣（2﹣a）（x1+x2）+x1x2|＝|（2﹣a）2﹣（2﹣a）（﹣a）+a2﹣3|＝|a2﹣3a+2|＝﹣3a+2，又|PQ|＝（+1﹣）2+（2﹣a﹣1）2＝﹣3a+2，所以|AQ||BQ|＝|PQ|2，所以|AQ|，|PQ|，|BQ|成比数列．21．设函数f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）．（1）当a＝时，求g（x）＝f′（x）•e1﹣x的单调区间（f′（x）是f（x）的导数）；（2）若f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），且正实数λ使1+λ＜x1+λx2成立，求正实数λ的取值范围．解：（1）因为a＝，f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex，f′（x）＝﹣e2x+xex，g（x）＝f′（x）•e1﹣x＝（﹣e2x+xex）•e1﹣x＝﹣ex+ex，g′（x）＝﹣ex+e，令g′（x）＝0，可得x＝1，当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．（2）因为f′（x）＝﹣ae2x+xex＝ex（﹣aex+x），令f′（x）＝0，可得a＝，设h（x）＝，y＝a，由题意可知，y＝a与h（x）＝的图象有两个交点x1、x2（x1＜x2），因为h′（x）＝，令h′（x）＞0，可得0＜x＜1，令h′（x）＜0，可得x＞1，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以0＜x1＜1＜x2，所以x2﹣1＞﹣（1﹣x1），由1+λ＜x1+λx2得﹣λ（x2﹣1）＜x1﹣1，得λ（x2﹣1）＞﹣（1﹣x1），当x