2023届高考数学二轮复习微专题20圆锥曲线的离心率问题含解析

Page2微专题20圆锥曲线的离心率问题离心率问题是考查重点．每年高考中几乎是必考内容．不仅填空题经常考查，也经常在大题中出现，本专题着重研究圆锥曲线的离心率问题.例题1设F为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点．过点F的直线L与双曲线右支交点P，与圆O：x2＋y2＝a2恰好切于线段PF的中点M，则双曲线E的离心率为________________．例题2设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线离心率的取值范围为________________．变式1如图，已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________________．

变式2如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.若PF1＝PQ，求椭圆C的离心率e.串讲1设F1，F2是椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在右准线上存在点P，使线段PF1的中线过点F2，则椭圆E的离心率e的取值范围是________________．串讲2如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________________．

(2018·全国Ⅲ卷)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，则C的离心率为________________．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(b2,b2)＝1(a>b>0)左焦点F1和右焦点F2，上顶点A，线段AF2的中垂线交椭圆于点B，若左焦点F1在线段AB上，求椭圆的离心率．答案：eq\f(\r(3),3).解法1由题意可知AB＝BF2，1分设BF1＝x，则BF1＋BF2＝x＋x＋a＝2a，得x＝eq\f(a,2)，3分故eq\o(AF1,\s\up6(→))＝2eq\o(F1B,\s\up6(→))易得B(－eq\f(3,2)c，－eq\f(b,2))，6分代入椭圆方程可得e＝eq\f(\r(3),3).8分解法2(关键步提示)直线AF1：eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1与AF2中垂线y－eq\f(b,2)＝eq\f(c,b)(x－eq\f(c,2))2分的交点B(eq\f(a2c,2（c2－b2）)，b(1＋eq\f(a2,2（c2－b2）)))代入椭圆方程，5分微专题20例题1答案：eq\r(5).解析：设双曲线的右焦点为F2，连接PF2，因为OM为△FPF2的中位线，所以PF2＝2a，PF＝PF2＋2a＝4a，又因为OM⊥PF，所以PF2⊥PF，在△FPF2中，由勾股定理得(2c)2＝(2a)2＋(4a)2，所以离心率为eq\r(5).例题2答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).解析：PF1－PF2＝2a，得PF2＝eq\f(2,3)a≥c－a，又因为e＞1，所以双曲线的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).变式联想变式1答案：eq\f(\r(5),3).解析：连接PF1，OQ，因为OQ为△F1PF2的中位线，所以PF1＝2b.PF2＝2a－2b，又因为OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，在△F1PF2中，由勾股定理得(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，消去c2得2b2＋a2－2ab＝a2－b2，得3b＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).变式2答案：eq\r(6)－eq\r(3).解析：连接F1Q.从而有PF1＋PQ＋PF2＝4a，因为PF1＝PQ且PF1⊥PQ，所以PF1＝eq\f(4a,2＋\r(2))＝4a－2eq\r(2)a，PF2＝2eq\r(2)a－2a，因为△PF1F2为直角三角形，PF12＋PF22＝F1F22，(4a－2eq\r(2)a)2＋(2eq\r(2)a－2a)2＝4c2，所以(2a－eq\r(2)a)2＋(eq\r(2)a－a)2＝c2，e2＝(2－eq\r(2))2＋(eq\r(2)－1)2，e2＝3(eq\r(2)－1)2，椭圆C的离心率e＝eq\r(6)－eq\r(3).串讲激活串讲1答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).解析：如图，由题意知，PF2＝F1F2＝2c，又PF2≥AF2＝eq\f(a2,c)－c，2c≥eq\f(a2,c)－c，又0＜e＜1，所以，eq\f(\r(3),3)≤e＜1，椭圆E的离心率e的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).串讲2答案：eq\f(\r(6),3).解析：F(c，0)，直线y＝eq\f(b,2)与椭圆方程联立可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，由∠BFC＝90°可得eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(\r(3)a,2)，－\f(b,2)))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(\r(3)a,2)，－\f(b,2)))，则c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(1,4)b2＝0，由b2＝a2－c2可得，eq\f(3,4)c2＝eq\f(1,2)a2，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(6),3).新题在线答案：eq\r(3).解析：不妨设一