第55讲空间角与距离的计算（2）（原卷版）

第55讲空间角与距离的计算（2）空间角与距离的计算eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探索性问题\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探点得位置关系,探点得角)),最值问题))1、【2021年甲卷理科】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?2、【2020年新高考1卷（山东卷）】如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．1、（2022·河北深州市中学高三期末）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.（1）证明：平面平面；（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.2、(2022·青岛二模)如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2eq\r(2)，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形．(1)设平面POH∩平面PBC＝l，求证：l∥BC；(2)设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成的角最大时，求MN的长．考向一利用空间向量解决探索性问题例1、（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））四棱锥中，底面是边长为的正方形，，点P在底面的射影为点O，且，点M是的中点．(1)求证：；(2)在线段上，是否存在点N，使二面角的余弦值为？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由．变式1、（2022年河北省衡水中学高三模拟试卷）如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1.（1）若点是的中点，证明：平面平面；（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.变式2、(2022·湖南长沙县第一中学模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，且AC＝AB＝AA1＝2.(1)求证：A1B⊥B1C；(2)M，N分别为棱CC1，BC的中点，点P在线段A1B1上，是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成角的余弦值为eq\f(4\r(21),21)，若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．方法总结：用向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的方法：(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．考向二运用向量研究空间距离例2、（2022年福建省福州市高三模拟试卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PAB是边长为2的等边三角形．梯形ABCD满足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．（1）求证：PD⊥AB；（2）若PD＝2，求点D到平面PBC的距离．变式1、如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，求点A到平面MBC的距离．方法总结：(1)作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)等体积法．(3)向量法．其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便．考向三运用向量研究最值问题例3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′BCDE.(1)在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；(2)当四棱锥A′BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE所成角的余弦值．变式1、（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.（1）证明：；（2）若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值..方法总结:建立关于角距离等所求的函数的关系式，然后运用基本不等式或者求导进行研究。1、（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）求点A到平面的距离.2、（2022年广州第十七中学高三模拟试卷）如图所示，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，且平面，．（1）求证：平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角的正弦值为．3、（惠州市高三期末试题）如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线.（1）求证：直线平面；（2）直线上是否存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.4、（江门市高三期末试卷）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，且，，，．(1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥体积；若不存在，请说明理由．5、（2023·江苏泰州