微积分在经济学的应用毕业论文

.WORD.WORD版本.微积分在经济学的应用毕业论文目录标题 1中文摘要 1引言 1微积分在经济学的应用 1边际分析 1弹性分析 3弹性的概念 3需求弹性 3需求弹性与总收入的关系 4多元函数偏导数在经济分析中的应用 5边际经济量 5偏弹性 6偏导数求极值 8积分在经济分析中的应用 9边际函数求原函数 9消费者剩余与生产者剩余 9收益流的现值与未来值 10实际问题探索 12经济批量问题 12净资产分析 13核废料的处理 14结束语 16参考文献 17致谢 18外文页 19微积分在经济学的应用武亚南摘要关键词微积分边际分析弹性分析实际问题引言（公元263年）总结了前人的成果，提出了“割圆术顿（Newton，1642-1727）和德国数学家莱布尼茨微积分在经济学的应用边际分析在经济问题中，常常会使用变化率的概念.变化率一般分为平均变化率和即时或瞬时率，平均变化率就是函数的增量与自变量的增量之比，瞬时变化率就是函数对自变量的导数，在经济学中也将瞬时变化率即导函数称为边际函数.一般，称

y f

xf0

y

在

的平均变化率，它表示函数x x 0 0yf在x0 0

xyfxx处的导数0 y

fxff'x lim lim 0 00 x0x x0 xyfxfxxxf在点0 0xx0在经济学中边际函数定义如下1yfxffxfx处函数值0f'x为边际函数值.简称为边际.0根据边际函数的定义，可知边际成本、边际收入、边际收益、边际需求，是成本函数、收入函数、需求函数的导函数.1罐头厂生产的草莓罐头每瓶售价5.4（单位：千瓶）Q成本为2400100Q2(元).设价格不变，求可以获得利润的销售量围；每周销售量为多少瓶时，可以获得最大利润解 总收益总利润LQRQCQ100Q21400Q2400100Q2142412当2Q12时，0，即当销售量在2000瓶至12000 瓶之间可以获得利令L'Q200Q14000，得Q7L"(Q)2000故Q7时，取得极大值，因极值唯一，即为最大值，所以当销售量7000 瓶时，可获得大利.上述结果表明销售量为每周7000 瓶时此时获得最大利润，当销售量为每周2000Q7000瓶时，再增加一瓶，利润将增加，当销售量为每7000Q12000瓶时，再增加一瓶，利润将少.由此亦说明并非生产的产品数量越多利润越高通过对边际利润的分析可以减少工厂投资的盲目性，减少投资损失.弹性分析51200降价1元，结果，甲商品的需求量变化较大，这是为什么呢？原因是甲降价幅度即相对增量20%比乙降价的幅度0.5%大.为此我们有必要研究一下函数的相对改变率.弹性的概念

y f

xfx2y

x在点x处可导，函数的相对改变量 0 y0

0 f0

0 与自变yy量的相对改变量 之比0，称为函数

x

到xx

x两点间的平均相对变化率，x x 0 00x0y或称两点间的弹性.当x0时，

y0的极限称为fx在xx

处的相对变化率，也就是相对导x 0x0数，或称弹性.记作即

xxEyExEyEx

,或EEx

fx0EyExxEyEx0

f'x00 fx00fxxx的变化幅度fx

的大小x y影响，根据弹性函数公式推导可知，两点之间的弹性有正负之分.需求弹性在定义2中已介绍过弹性函数，由此可知需求弹性反映了当商品价格变动时需求变动的强度，由于需求函数Qf

为递减函数，所以f

'

0，从而f

'P0

P0 P0正数表示需求弹性，因此采用需求函数相对变化率的相反数来定义需求弹性.定义3设某商品的需求函数为Q

,P0

P

QP 0 为该商品从PQPP0

到PP0

P

'

Pf0

00'P00 fP0

为该商品在PP0

处的需求弹性.在经济学上，当1时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等.当11需求弹性与总收入的关系在经济学上总收入 RPQPf边际总收入 R

fPPf

'PfP

Pf

'PfffP1若1数为递增函数，也就是当价格上涨，总收入增加，价格下跌时，总收入减少；若1此时取得最大值；若1时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，此时边际总收入小于零，即总收入函数为递减函数，也就是当价格上涨，总收入减少，价格下跌，总收入增加.通过分析上述需求弹性与总收入的关系，可推导出涨价未必增收，降价未必减收，从而能够在市场经济中为企业或经营者提供有利的条件，为他们的决策提供了有利的分析方法和新思路.2P15，当商品价格处于哪种价格时，厂商可以用适当降价或涨价的办法提高总收入.解 由P15

，解出

QfP15P25设需求弹性为

，边际需求

Q'f'P125由需求弹性定义可知

f'P f P 25 PP25P15P再由需求弹性与总收入的关系可知P 15当15P1P2，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即当价格上涨时，总收入增加，价格下跌，总收入减少.P 15当15P1P2P 15当15P1P2，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即当价格上涨，总收入减少，价格下跌，总收入增加.

0P15时，通过由上述分析可知，若企业对该商品进行价格调整时，参照以上分析法，当 215提升价格来提高总收入，当时P2润，不会因为盲目的降低价格而使企业的总收入降低.多元函数偏导数在经济分析中的应用在上述的分析中，我们只是对一元函数进行了探讨，但是在市场经济中，并不是由一种元决定商品的销售策略，有时由多种元素来决定，这就要我们对其多元函数来进行分析.边际经济量设某企业生产某种产品的产量Q取决于投资的资本K和劳动力L，一般满足生产函数QcKL,其中c,,是正常数，且01,01由偏导数的定义可知，

Q Q K表示在劳动力投入保持不变的情况下，资本投入变化时，产量的变化率称为资本的边际产量.Q Q cKL表示在资本投入保持不变的情况下，劳动力投入变化时，产量的变化率称为劳动力的边际产量.偏弹性由一元函数的弹性概念可知，f

'x

x0 x

的弹性，由此可以推知在多元函数中的0 f 00弹性.

Ez

z x

z xx

fx,

，则函数对x的偏弹性Ex xfy fy，表示若y保持不zfyyEz

y

zy

，表示若x保持不变，yEy fy fy的相对变化率.ABPPA B

Q和QA B

，因此，它们的需求函数可表示为Q f,P

gP,PA A B⑴需求的自身价格弹性，即

B A BAAEQAEP QAA

EQ PBBBEP QBBBA⑵需求的交叉价格弹性，即EQ

A AP

B B BBEQ PBA A BEP Q

B AEP QB B A⑶两种商品的相互关系

A A BEQA0

0时，则表示当两种商品中任意一个价格降低，都将使其一个需求量增EP EPB A

EQ EQ加，另一个需求量减少，此时这两种商品就是替代商品，当 EPB

0或 EPA

0时，则表示当两种商品中任意一个价格降低，都将使其需求量Q 和Q 增加，则这两种商品为互补商品，当A BEQ EQ A 0或 EP EPB A

0时，则称这两种商品相互独立.例3某一种数码相机的的销售量QA

，除了与它自身的价格PA

相关外，还与彩色喷墨打印机的PB

有关，具体相关函数为

Q 120A

250PA

10PB

P2BPPA

5时QAQA

P的弹性；APB解 （1）QA

P的弹性为AEQ Q PA A AEP P QA A A250P2

PA250A120 10PP2P B BA 250 PPA

5时，

120P 250P 10P P2A A B B EQA 250 1 EP 12050250505025 10A（2）Q PA

的交叉弹性为ABEQAQ EP P QABB B A102PB

PB12025010P

P2PPA

5时，EQ

P B BA5A20 2EP 12055025B偏导数求极值假设某公司生产的产品有许多种，那么如何进行生产，才能使公司获得最大利润以及成本最低，这就需要用到偏导数求极值与最值.

例4x单位104m

，电力y单位：kW的总成本函数为

Cx,y1x2

3y

7xy134x12y2502 4xyy4x36，试求煤气和电力的销售量各为多少时，总成本最低？解构造拉格朗日函数

Fy,yy4x361 x23y27xy134x12y2504x361解方程组

2 4Fx7y13440 ①xF3y7x120 ②y 2由①②可知

Fy4x360 ③再由③④可知 29x13y860 ④x4.72,y17.12依题意Cx,y4.72104m311kW可使总成本最低，且最低成本为C4.72,17.12753.2.积分在经济分析中的应用边际函数求原函数积分是微分的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出原函数.设某个经济应用函数x的边际函数为'x，则有x'xdxx00则消费者剩余与生产者剩余

x0x'xdx0.WORD.WORD版本.在经济管理中，一般来说，商品的价格越低，需求量越大；反之，商品的价格越高，需求量就QfP此供给函数QgPP的单调递增函数.由于Qf和QgP两者都是单调函数，故两者都存在反函数，需求函数QfPf1也是需求函数，供给函数QgPPg1称为平衡点，在此点表示生产需求函数Pf1Q和供给函数Pg1Q的交点Q*,P*称为平衡点，在此点表示生产.WORD.WORD版本.剩余.假设所有消费者都是以他们打算支付的最终价格购买某种商品，其中包括所有打算以比P*高的价格支付商品的消费者确实支付了他们所情愿支付的，那么，* 1现考虑区间Q ，如上图，选

Q,Q

，消费者的消费量f

QQ.消费者消费总量Q0

f0到Q*现在，如果所有商品都以平衡价格出售，那么消费者实际上的消费额为P*Q*，为两条坐标轴及直线QQ*PP*消费者剩余

Q*fP*Q*需求曲线以下直线PP*0同理P*Q*是生产者实际售出商品的收入总额，Q*g1QdQ 是生产者愿意售出商品的收入0总额，因此，生产者剩余如下：P*Q*

Q*g1QdQ供给函数与直线PP*05已知某蔬菜市场的需求函数为P10QP70.5Q，求消费者剩余与解先求出市场的均衡价格P*和均衡产量Q*：P10Q70.5Q得Q*

P*8由消费者剩余和生产者剩余公式可知消费者剩余210QdQ2820生产者剩余2827QdQ10收益流的现值与未来值复利计息方式的基本思想：利息收入自动计入下一期的本金，就像常说的“利滚利”.4A0

（元，银行年利率为r，第一年末的利息为A0

r，本利和为AA1 0

ArA0

rA0

1rr，本利和为A A2 0

1rA0

1rrA0

1r2以此类推，可知，第n年末的本利和为

A An

1rn这就是以年为期的复利计算公式.定义5由于资金周转过程是不断连续进行的，若一年中分n期计算，年利率仍为r，则一年后的本利和为

AA1rn则由此可知t年后的本利和为

1 0 nAA

1

rntt 0 n如果计息期数n时，即每时每刻计算复利（称为连续复利，则t年后的本利和为 nrt 1 r 1AlimA

r nt1 lim

1 t n

0 n

n

0 n r 这就是连续复利公式.

Aert0rA元人民币从现在起存入银行，则年0后的价值（将来值）

BA0

ert若有一笔收益流的收益流量为Pt（元/年，考虑从现在开始（t0）到T年后这一段时间dt，在近似看做常数，则所应（元）.从现在（t0）这一金额是在年后的将来而获得，因此在收益流的现值PtdtertPtertdt从而总现值

TPtertdt0在计算将来值时，收入Ptdt在以后的Tt年期间获息，故在t,tdt，收益流的将来值tdterTtterTtdt将来值TPterTtdt06一位城镇居民想要购买一栋别墅，现在价值为30021万元，并且还必须在20年付清，并且银行的存款年利率为4%，若按照连续复利的方式计息，请你帮这位购房者提供一个决策：是采用一次付款合算还是分期付款合算？解2021万元，所以收益流的变化率21，于是分期付款的现值为200

21e0.04tdt

21

e0.0t2005251-e0.8289.1300所以分期付款合算.实际问题探索经济批量问题7Ay批采购进货.已知每批采购费用为B元，而未售商品的库存费用为C元／年·为最省？（ABCABC0）.解显然，采购进货的费用为

WyBy1A A因为销售商品是均匀的，所以平均库存的商品数应为每批进货的商品数y

2y

，因而商品的库存费用

WyAC2 2y总费用

WyW1

yW2

yBy

AC 02y令AC2B得AC2BAC2AC2B

.又AC2B AC2B

W'yBAC02y2W''yAC0y3所以W 为W y的一个最小.从而当批数y取一个接近于 的自然数时，才能使采 购与库存费用之和最省.净资产分析85%的连续复利产生利息而使总资产增加，同时，公司必须每年连续的支付200百万元人民币为职工的工资.1列出描述公司净资产W的微分方程假设公司的初始净资产为W03描述当W分别为3000,4000,5000时公司的情况.0解若存在一个初值W，使公司的净资产不变，则0利息盈取的速率=工资支付的速率即0.05W0

200,W0

4000因此，如果净资产为4000，那么此时的净资产不变，此时达到一个平衡，则4000是一个平衡解.但是若W 4000，则利息盈取超过工资支付，净资产增加，此时利息也会增长的快，从而净0资产也会增长的快；W 4000，则利息盈取低于工资支付，公司的净资产将减少，利息的盈取0也会减少，从而净资产减少的速率越来越快，这样一来，在不久的将来公司将面临破产的危险.净资产的增长速率=利息盈取的速率-工资支付的速率建立微分方程有即

dW200 ①dtdW4000 ②dt两边同时积分，得出

dW 0.05dt ③W4000 1W4000

dW0.05dt ④W4000Ce0.05t ⑤dW0，得出平衡解Wdt

4000.由当t0时，W0

4000，代入⑤中可得

CW 40000则W400040000.05t0若W 4000，则W4000若0若W 5000，则W40001000e0.05t若0若W 3000，W40001000e0.05t，此时净资产是减少的，并且当W0t，若0这说明，该公司在28年后将破产.核废料的处理91.14m的的海底（圆桶的质量m240kg,体积V0.208m3，海水的密度为1026kg/m3）.当时的一些桶的速度成正比，并且比例系数为k1.17kg/s12.2m/s，那圆桶到达海底时的速度为多少呢？这是一个我们值得探究的问题.xy轴的正向沿铅直向下.设在时间tyvy00v00.圆桶在下沉过程中所受的重力为Gmg240圆桶所受海水的浮力为

FVg10260.208海水的阻力为

fkv1.17v圆桶在下沉过程中所受的合力为F GFf235220911.17v2611.17v合由于加速度为a

dv，根据牛顿第二定律可知F

ma，mdv

GFkv，即dt 合 dtdvGFkv又由于

dt mdvdvdyvdvdt dydt dy故vdvGFdy m分离变量得出

vdv dy两边同时积分可得

GFkv my00v00，可得

vGk k2

lnGBkv

yCm此时可得方程为

CGFFk2 yvGFlnGF m k k2 GF y v

261

ln2611.17v240 1.17 1.172

261 若假设此时速度为临界速度v12.2m/s，则此时的圆桶的位置由方程可得y71m说明此时还没有到达海底.但是问题是海水的阻力会不会使其减速呢？由于加速度advGFdt ma0GFkv0即2611.17v0，此时v/s，也就说只能在v/s时才能减速，那么当v12.2m/s时GFkv

2611.1712.2

1.03m/s2m 240也就说圆桶的速度大约每秒提升约1m/s，到海底还有约20m需要近2s，因此必定会在14m/s左右碰壁而破裂.结束语本文前面部分先给出了有关微积分的发展历史，然后介绍了微分在经济学的应用的边际分析以及弹性分析，