第02讲平面向量基本定理及坐标表示（解析卷）

第02讲平面向量基本定理及坐标表示【考试要求】1.理解平面向量的基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐标运算（1）向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝x1（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB＝（x2－x1，y2－y1），｜AB｜＝(x若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b⇔x13.平面向量共线的坐标表示设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.（1）a∥b的充要条件不能表示为x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x21.判断下列结论正确的是()A平面内的任意两个向量都可以作为一个基底．B设{a，b}是平面内的一个基底，若λ1a＋λ2b＝0，则λ1＝λ2＝0.C若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).D平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．【答案】BDO是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是 （）A.①②B.①③C.①④ D.③④【解析】B平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图，对于①，AD与AB不共线，可作为基底；对于②，DA与BC为共线向量，不可作为基底；对于③，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；对于④，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底.A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），则向量BC＝ （）A.（－7，－4） B.（7，4）C.（－1，4） D.（1，4）【解析】A根据题意得AB＝（3，1），∴BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故选A.4.（2021·全国乙卷）已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，则λ＝.

【解析】因为a∥b，所以a＝kb，即（2，5）＝k（λ，4），得kλ=2,4【答案】85.（2023·周口模拟）给出以下说法，其中正确的是 （）b＝λa（λ∈R），则a∥ba∥b，则存在实数λ，使b＝λaa，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0【解析】AA项，由向量的数乘运算的几何意义，正确；B项，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在实数λ，使b＝λa，错误；C项，若a，b为相反向量，则a＋b＝0，此时λ＝μ∈R，错误；D项，由平面向量基本定理可知，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误.故选A.考点一平面向量基本定理的应用角度1判断向量能否构成基底例1如果e1,eA．e2,eC．e1−2e【解题思路】根据平面基底的定义和判定，逐项判定，即可求解.【解答过程】根据平面基底的定义知，向量e1,e2为不共线非零向量，即不存在实数对于A中，向量e2和e1+e2对于B中，向量e1−2e2和e2可得1=−2λ−2=λ，此时方程组无解，所以e1−2对于C中，向量e1−2e2和4e可得1=−2λ−2=4λ，解得λ=−12，所以e对于D中，向量e1+e2和e1可得1=λ1=−λ，此时方程组无解，所以e1+故选：C.【对点演练1】设e1,eA．e1+e2和e1C．e1+3e2和e2【解题思路】根据向量是否成倍数关系可判断是否共线,即可确定是否可作为基底向量.【解答过程】∵e1，e2是平面内的一组基底，∴e1，e则根据向量共线定理可得，4e2−6其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.故选:D.【对点演练2】下列各组向量中，不能作为平面的基底的是（

）A．e1=2,−1，e2=C．e1=3,3，e2=【解题思路】根据基底的定义分别判断各个选项即可得出答案.【解答过程】解：对于A，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；对于B，因为e1=−2e对于C，因为两向量不共线，所以能作为一组基底；对于D，因为两向量不共线，所以能作为一组基底.故选：B．角度2用基底表示向量例2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，则eq\o(ED,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))【答案】C【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，且eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EO,\s\up6(→))，所以eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【对点演练1】（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为．【答案】．【解析】中，，，是中点，，如图：．【对点演练2】如图所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，AB＝a，AC＝b，则CE＝（）A.16a－13b B.16a－23bC.a－13b D.【答案】B【解析】CE＝AE－AC＝12AD－AC＝12AB+23BC－AC＝12AB＋13（AC－AB）－AC角度3求参数例3（2023福建模拟）△ABC中，D为BC中点，AE=2EC，AD交BE于P点，若AP=λAD，则A．23 B．35 C．45【解题思路】根据D为BC中点，得到AD=12AB+12AC，因为B,P,E三点共线，推导出AP=aAB+bAE，则a+b=1，结合【解答过程】因为D为BC中点，所以AD=因为AE=2EC，所以因为B,P,E三点共线，所以设BP=mPE即AP−AB=m令a=11+m,b=m1+m其中AP=a因为AP=λAD，所以故AD=因为AD=所以aλ=1解得：λ=4故选：C.【对点演练1】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB（λ，μ∈R），则λμ＝.【答案】1【解析】由题图可设CG＝xCE（0＜x＜1），则CG＝x（CB＋BE）＝xCB+12CD＝x2CD＋xCB.因为CG＝λCD＋μCB，CD与CB不共线，所以λ＝x2，μ【对点演练2】(2023·天津模拟)已知在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，D，F分别为BC，AC的中点，P为AD与BF的交点，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝xa＋yb，则x＋y＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】因为D，F分别为BC，AC的中点，所以DF是△ABC的中位线，所以eq\f(DF,AB)＝eq\f(PD,AP)＝eq\f(1,2)，则eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，所以x＝－eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)，所以x＋y＝－eq\f(1,3).【对点演练3】如图，已知平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.【答案】6【解析】方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OA1,\s\up6(→))，因为eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以|eq\o(OA1,\s\up6(→))|＝|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，eq\r(3))．由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6.【对点演练4】已知在△ABC中，点O满足OA＋OB＋OC＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且OP＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是.

【答案】（－2，0）【解析】依题意，设OP＝λOC（0＜λ＜1），由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－（OA＋OB），所以OP＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.考点二平面向量的坐标运算角度1已知向量坐标进行运算例4已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标为()A．(－2,3) B．(2，－3)C．(－2,1) D．(2，－1)【答案】D【解析】设D(x，y)，则eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，根据eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))所以点D的坐标为(2，－1)．（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；（2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解.【对点演练1】已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且eq\o(PN,\s\up6(→))＝－2eq\o(PM,\s\up6(→))，则P点的坐标为()A．(2,4) B．(－14,16)C．(6,1) D．(22，－11)【答案】A【解析】设P(x，y)，则eq\o(PN,\s\up6(→))＝(10－x，－2－y)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－2－x,7－y)，由eq\o(PN,\s\up6(→))＝－2eq\o(PM,\s\up6(→))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10－x＝－2－2－x，,－2－y＝－27－y))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4.))【对点演练2】已知向量，，，若，则实数m的值是（

）A．－10 B．－8 C．10 D．8【答案】A【详解】；故选：A.角度2构建直角坐标系进行运算例5如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.eq\f(6,5)B.eq\f(8,5)C．2D.eq\f(8,3)【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)．不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,2)，eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(DB,\s\up6(→))＝(1,2)，∵eq\o(CA,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋μ＝－2，,λ＋2μ＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).对于一些特殊的几何图形，可以根据垂直关系建立直角坐标系，根据平面向量的坐标运算求解问题。【对点演练1】已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b))表示c，则()A．c＝2a－3b B．c＝－2a－3bC．c＝－3a＋2b D．c＝3a－2b【答案】D【解析】如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则A(1,0)，B(2,1)，C(0,4)，D(7,1)，所以a＝(1,1)，b＝(－2,3)，c＝(7，－3)，设向量c＝ma＋nb，则c＝ma＋nb＝(m－2n，m＋3n)＝(7，－3)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2n＝7，,m＋3n＝－3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－2，))所以c＝3a－2b.【对点演练2】已知，点C在内，且.设，则等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以,又因为点C在内，且，建立如图所示的坐标系：则,,又因为，所以，所以，所以.故选：B.考点三向量共线的坐标表示角度1判断向量是否共线例6（2023春·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知向量，，，则“”是“∥”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由题意得＝（2，2＋m），由，得－1×（2＋m）＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，＝（2，－4）＝－2（－1，2），可得，则“m＝－6”是“”的充要条件.故选：A.【对点演练1】已知点，，则与平行的单位向量的坐标为（

）A． B．C．和 D．和和和【答案】C【详解】由题,,由题意可判断,D选项中和不与平行,A、B选项向量不全,故选：C角度2利用向量共线求参数例7（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），则λ＝；

（2）已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（－k，10），且A，B，C三点共线，则k＝.

【答案】（1）12（2）－【解析】（1）因为2a＋b＝（4，2），c∥（2a＋b），所以4λ＝2，解得λ＝12（2）AB＝OB－OA＝（4－k，－7），AC＝OC－OA＝（－2k，－2）.因为A，B，C三点共线，所以AB，AC共线，所以－2×（4－k）＝－7×（－2k），解得k＝－23利用向量共线的坐标表示求参数的步骤（1）根据已知条件求出相关向量的坐标；（2）利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组；（3）根据方程或方程组求解得到参数的值.【对点演练1】已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，则x＋2y的值为()A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－3)，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(4＋x，y－2)，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－x－4,2－y)，因为eq\o(BC,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))，所以x(2－y)＝y(－x－4)，所以2x＋4y＝0，即x＋2y＝0.【对点演练2】已知向量，且，则的值为（

）A．4 B．4 C．1 D．1【答案】B【详解】，故，则，解得.故选：B【对点演练3】已知向量，，，若，，三点共线，则_________．【答案】6【详解】因，，则，又，且A，B，D三点共线，即，因此，解得，所以.故答案为：6角度3利用向量共线求向量或点的坐标例8设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为()A．(3,1) B．(1，－1)C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)【答案】C【解析】∵A(2,0)，B(4,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，∵点P在直线AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AP,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1,1)或eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1)．平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．【对点演练1】(1)已知向量a＝(－3,2)，b＝(4，－2λ)，若(a＋2b)∥(a－b)，则实数λ的值为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(7,4)D.eq\f(7,5)【答案】B【解析】由已知得a＋2b＝(5,2－4λ)，a－b＝(－7,2＋2λ)，∵(a＋2b)∥(a－b)，∴5×(2＋2λ)－(－7)×(2－4λ)＝0，解得λ＝eq\f(4,3).【对点演练2】已知向量a＝（1，1），点A（3，0），点B为直线y＝2x上的一个动点，若AB∥a，则点B的坐标为.

【解析】设B（x，2x），则AB＝（x－3，2x）.∵AB∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3，∴B（－3，－6）.【答案】（－3，－6）【对点演练3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝eq\f(π,3)，若m＝(c－eq\r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq\r(6))，且m∥n，则△ABC的面积为()A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)【答案】C【解析】∵m＝(c－eq\r(6)，a－b)，n＝(a－b，c＋eq\r(6))，且m∥n，∴(a－b)2＝(c－eq\r(6))(c＋eq\r(6))，化为a2＋b2－c2＝2ab－6.∴cos

eq\f(π,3)＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(2ab－6,2ab)＝eq\f(1,2)，解得ab＝6.∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).1．(多选)(2023·潮汕模拟)已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意a，b∈E，t∈(0,1)，均有ta＋(1－t)b∈E，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有()A．{(x，y)|y≥ex} B．{(x，y)|y≥lnx}C．{(x，y)|x＋2y－1≥0} D．{(x，y)|x2＋y2≤1}【答案】ACD【解析】设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝ta＋(1－t)b，则C为线段AB上一点，因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意．2.如图，矩形LMNK，LM＝6，sin∠MLN＝eq\f(2,3)，⊙E的半径为1，且E为NK的中点，P为圆E上的动点，设eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(ML,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值是________．【答案】eq\f(5,4)【解析】如图，建立平面直角坐标系，由LM＝6，sin∠MLN＝eq\f(2,3)，解得MN＝eq\f(12\r(5),5)，则M，N(3,0)，L，设P(cosθ，sinθ)，因为eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(ML,\s\up6(→))＋μeq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MP,\s\up6(→))＝，eq\o(ML,\s\up6(→))＝(－6,0)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝.所以eq\o(MP,\s\up6(→))＝＝λ(－6,0)＋μ，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ－3＝－6λ，,sinθ＋\f(12\r(5),5)＝\f(12\r(5),5)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3－cosθ,6)，,μ＝\f(\r(5),12)sinθ＋1.))所以λ＋μ＝eq\f(3,2)＋eq\f(\r(5),12)sinθ－eq\f(1,6)cosθ＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,4)sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝－1时，λ＋μ取最小值eq\f(5,4).一、单选题1．若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，，则．故选：A．2．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1－2e2与－e1＋2e2【答案】D【解析】对A项，设e1＋e2＝λe1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝0，))无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对B项，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,－2＝2λ，))无解，故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对C项，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,1＝－λ，))无解，故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底；对D项，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底．3.已知，，若与共线，则（

）A． B．4 C．9 D．【答案】A【详解】因为与共线，所以，解得.故选：A.4．已知向量，，若，则（

）A．－1 B．6 C．－6 D．2【答案】B【详解】向量，，则，由，得，解得.故选：B5．已知点P是△ABC所在平面内一点，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))C.eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))【答案】D【解析】由题意得，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))＝0，∴3eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－2eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴3eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→)).6.已知点A（8，－1），B（1，－3），若点C（2m－1，m＋2）在直线AB上，则实数m＝ （）A.－12B.13C.－13 D.12【答案】C【解析】因为点C在直线AB上，所以AC与AB共线.又AB＝（－7，－2），AC＝（2m－9，m＋3），故2m-9-7＝m+3-2，所以m＝－7.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点.OA＝（2，4），OB＝（1，3），若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为 （）A.-23,-2C.13,13【解析】A易知OC＝OB－OA＝（－1，－1），则C（－1，－1），设E（x，y），则3EC＝3（－1－x，－1－y）＝（－3－3x，－3－3y），由OC＝3EC知-3-3x=−1,-3-3y=−1,解得8.如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BQ,\s\up6(→))，则x等于()A.eq\f(11,13)B.eq\f(6,5)C.eq\f(5,6)D.eq\f(3,2)【答案】C【解析】分别以AB，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝(－1,2)，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BQ,\s\up6(→))，则有2＝2x－y且1＝2x＋2y，解得x＝eq\f(5,6).多选题9.已知点，，则下列向量与平行的向量是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】由已知，存在实数，使，存在实数，使，存在实数，使，不存在实数，使，故选：ABC.10.若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是()A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0【答案】ACD【解析】由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，当a与b共线时，k1＝k2＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，所以D错误．11.已知O为坐标原点，A（2，－1），B（1，2），则 （）A.与AB同方向的单位向量为-B.若AP＝2PB，则点P的坐标为5C.若a＝（1，－3），则a∥ABD.若C（1，－3），则四边形OBAC为平行四边形【解析】ACD因为AB＝（－1，3），｜AB｜＝10，所以与AB同方向的单位向量为-110,310＝-1010,31010，选项A正确；设P（x，y），则（x－2，y＋1）＝2（1－x，2－y），所以x-2=2(1-x),y+1=2(2−y),解得x=43,y=1,所以P43,1，选项B错误；因为a＝（1，－3），AB＝（－1，3），AB＝－a，所以a∥AB，选项C正确；因为OB＝（1，2），CA＝（1，2），所以OB＝CA，又显然O，B，C12.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，则 （）A.P为线段OC的中点时，μ＝1B.P为线段OC的中点时，μ＝1C.无论μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，λ＝1【解析】ACOP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因为OP与OC共线，所以1−λμ＝λ3μ，解得λ＝