2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A.斐波那契螺旋线 B.笛卡尔心形线

C.赵爽弦图 D.科克曲线2.若a>b，则下列关系式不成立的是(

)A.a−5>b−5 B.6a>6b C.−a>−b D.a−b>03.下列命题中，逆命题是真命题的是(

)A.对顶角相等 B.全等三角形的面积相等

C.两直线平行，内错角相等 D.如果a=b，那么a4.如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(

)A.AC=A′C′，BC=B′C′ B.∠A=∠A′，AB=A′B′

C.AC=A′C′，AB=A′B′ D.∠B=∠B′，BC=B′C′5.不等式2x+1>3的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B. C. D.6.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD=1，则BD等于(

)A.1

B.3

C.2

7.如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是(

)A.BP平分∠APC

B.BP平分∠ABC

C.BA=BC

D.PA=PC8.如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD=BC，则点D在(

)

A.AC的垂直平分线上 B.∠BAC的平分线上

C.BC的中点 D.AB的垂直平分线上二、填空题（本大题共5小题，共15分）9.等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为______．10.用反证法证明：“在△ABC中，已知AB≠AC，则∠B≠∠C”的逆命题，应首先假设______．11.不等式组2<x−3≤7的解集是______．12.如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°，则∠C的大小为______．

13.如图，在△ABC中，AC=BC=6，AD，DC分别平分∠BAC，∠ACB，E为BC上一点，若∠ADC=105°，则CD+DE的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）14.解不等式组：x−3(x−2)≥4,1+2x3四、解答题（本大题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(本小题8.0分)

如图，有一块三边长分别为3cm，4cm，5cm的三角形硬纸板，现要从中剪下一块底边长为5cm的等腰三角形．

在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形(不写作法，保留作图痕迹)．16.(本小题8.0分)

已知点M(x−1,x+y)与点N(−y,−3)关于原点对称，求点M、N两点的坐标．17.(本小题8.0分)

如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC=45°，BC=6，求△EBC的面积．18.(本小题8.0分)

若关于x的不等式组x≥a−3x≤15−5a无解，求a的取值范围．19.(本小题8.0分)

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点(网格线的交点)．

(1)将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；

(2)以边AC的中点20.(本小题8.0分)

如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称．

(1)画出对称中心O；(保留作图痕迹)

(2)若BC=3，AC=4，AB=5，则△DEF的面积=______．21.(本小题8.0分)

如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，求∠ABO度数．22.(本小题8.0分)

如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴和y轴相交于C、A(0,3)两点，且与正比例函数y2=−2x的图象交于点B(−1,m)．

(1)求一次函数的解析式；

(2)当y23.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，M.求证：点M在BC的垂直平分线上．24.(本小题8.0分)

北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱，人们争相购买．现有甲、乙两种型号的“冰墩墩”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元．

(1)求甲、乙两种型号的“冰墩墩”单价各是多少元？

(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的“冰墩墩”共50个，求最多可购买多少个甲种型号的“冰墩墩”？25.(本小题8.0分)

如图，BD是△ABC的角平分线，DE/​/BC，交AB于点E．

(1)求证：∠EBD=∠EDB．

(2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．26.(本小题8.0分)

已知，∠MON=90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB，连接OB，BP．

(1)如图1，当∠OAP=45°时，试判断OB与AP的位置关系：______；

(2)如图2，当∠OAP=60°，OA=2时，求线段OB的长度；

(3)如图3，将线段OB绕点O顺时针旋转60°，得到线段OC，连接PC，BC，请证明△ABO≌△PBC；

(4)如图4，当∠OAP=α时，在(3)的条件下，作CH⊥ON于点H.当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证明．

答案和解析1.【答案】D

解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．2.【答案】C

解：A、若a>b，则a−5>b−5，原变形成立，故本选项不符合题意；

B、若a>b，则6a>6b，原变形成立，故本选项不符合题意；

C、若a>b，则−a<−b，原变形不成立，故本选项符合题意；

D、若a>b，则a+2>b+2，原变形成立，故本选项不符合题意；

故选：C．

根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案．

此题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．3.【答案】C

解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；

B、逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；

C、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题，符合题意；

D、逆命题为如果a2=b2，那么a=b，错误，为假命题，不符合题意．

故选：C．4.【答案】C

【解析】[分析]

根据直角三角形全等的判定方法(HL)即可直接得出答案．

此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握.关键是熟练“HL”的判定定理．

[详解]

解：A选项：可以证明全等，但用的判定定理是“SAS”，不符题意；

B选项：可以证明全等，但用的判定定理是“AAS”，不符题意；

C选项：∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AC=A′C′，AB=A′B′，

∴Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，且用的判定定理是“HL”，符合题意；

D选项：可以证明全等，但用的判定定理是“ASA”，不符题意；

故选C．5.【答案】C

解：不等式2x+1>3的解集为：x>1，

故选C．

解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．

本题考查的解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．6.【答案】D

解：∵AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，

∴AD=CD=1，

∴∠A=∠ACD=45°，

∴∠ADC=90°，

∴AC=AD2+CD2=2，

∴AB=AC=2，

∴BD=AB−AD=2−1；

故选：D．

7.【答案】B

解：如图，过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，

∵△ABC的两个外角平分线相交于点P，

∴PD=PE=PF，

∴BP平分∠ABC．

故选：B．

过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得到PD=PE=PF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出BP平分∠ABC．

本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．8.【答案】A

解：∵BD+DC=BC，BD+AD=BC，

∴DC=DA，

∴点D在AC的垂直平分线上，

故选：A．

根据题意得到DC=DA，根据线段垂直平分线的判定定理解答即可．

本题考查的是线段的垂直平分线的判定，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键9.【答案】15

【解析】【分析】

本题主要考查了三角形的三边关系问题，能够利用三角形的三边关系求解一些简单的计算、证明问题．由三角形的三边关系可知，其两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

解：由三角形的三边关系可知，由于等腰三角形两边长分别是3和6，

所以其另一边只能是6，

故其周长为6+6+3=15．

故答案为15．10.【答案】AB=AC

解：“在△ABC中，已知AB≠AC，则∠B≠∠C”的逆命题是“在△ABC中，已知∠B≠∠C，则AB≠AC”，

用反证法证明时，应首先假设AB=AC，

故答案为：AB=AC．

先写出原命题的逆命题，再根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．

本题考查的是反证法的应用、逆命题的概念，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．11.【答案】5<x≤10

解：由x−3>2，得：x>5；

由x−3≤7，得：x≤10，

∴不等式组的解集为：5<x≤10．

故答案为：5<x≤10．

分别解出两个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．

本题考查求不等式组的解集．正确求出每一个不等式的解集是解题的关键．12.【答案】30°

解：∵AB=AC且∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=12×60°=30°．

故答案为：30°．13.【答案】3

解：如图，连接BD，在AB上截取BE′=BE，连接DE′，

∵AD，DC分别平分∠BAC，∠ACB，

∴∠CAD=12∠BAC，∠ACD=12∠ACB，

∵∠ADC=105°，

∴∠CAD+∠ACD=75°，

∴∠BAC+∠ACD=150°，

∴∠ABC=30°，

∵AD，DC分别平分∠BAC，∠ACB，

∴BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

在△BDE和△BDE′中，

BD=BD∠CBD=∠ABDBE=BE′，

∴△BDE≌△BDE′(SAS)，

∴DE=DE′，

∴CD+DE=CD+DE′，

∴当C，点D，点E′三点共线，且CE′⊥AB时，CD+DE有最小值，

此时，CE′=12BC=3，

∴CD+DE的最小值为3，

故答案为3．

由角平分线的性质和内角和定理可求∠ABC=30°，由“SAS”可证△BDE≌△BDE′，可得DE=DE′，则当C，点D，点14.【答案】解：x−3(x−2)≥4①1+2x3>x−1②,

解不等式①得：x≤1，

解不等式②得：x<4，

【解析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．15.【答案】解：作线段AB的垂直平分线MN，交BC于点D，连接AD，则△ABD即为所求，如图所示：

【解析】作线段AB的垂直平分线MN，交BC于点D，连接AD即可得．

本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题关键．16.【答案】解：∵M(x−1,x+y)与点N(−y,−3)关于原点对称，

∴x−1=yx+y=3，解得x=2y=1，

∴点M(1,3)，点【解析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列式求解即可．

本题考查已知关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键．17.【答案】解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴BD=CD=12BC=3,AD⊥BC，

在Rt△EBD中，∠EBC=45°，

∴∠BED=45°=∠EBC，

∴ED=BD=3，

【解析】根据等腰三角形三线合一，得到BD=CD=12BC=3,AD⊥BC，易证ED=BD18.【答案】解：∵不等式组无解，

∴a−3>15−5a，

解得：a>3．

故a的取值范围是a>3．

【解析】先把a当作已知条件求出不等式组的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出实数a的取值范围．

本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)【解析】本题主要考查了作图−平移变换，旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．

(1)根据平移的性质，将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位可得△A1B1C1；

(2)根据旋转的性质，将20.【答案】6

解：(1)连接AD，CF，AD与CF的交点就是对称中心O，如图所示：

(2)∵BC=3，AC=4，AB=5，

∴BC2+AC2=25=AB2，

∴△ABC为直角三角形，

∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，

∴S△ABC=S△DEF=12BC⋅AC=6．

故答案为：6．

(1)连接AD，CF，AD21.【答案】解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，

∴∠OMB=∠ONB=90°，

在Rt△OMB和Rt△ONB中，

OM=ONOB=OB，

∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，

∴∠OBM=∠OBN，

∵∠ABC=30°，

∴∠ABO=15°．【解析】证明Rt△OMB≌Rt△ONB(HL)，得到∠OBM=∠OBN，即可得出结果．

本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．22.【答案】解：(1)把B(−1,m)代入y2=−2x中得m=2，

∴B(−1,2)，

把A(0,3)、B(−1,2)代入y1=kx+b得：b=3−k+b=2，解得k=1b=3，

∴y1=x+3．

(2)观察图象知，当x>−1时，函数y1=x+3的图象在函数【解析】(1)先求出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；

(2)利用图象法，进行求解即可．

本题考查一次函数的图象和性质．正确地求出一次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．23.【答案】证明：连接CM，

∵DM是AC的垂直平分线，

∴∠ADM=90°，AD=DC，AM=CM，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADM=90°，

∴DM//CB，

∴AM=BM，

在Rt△ACB中，点M是AB的中点，

∴CM=MB，

∴点M在BC的垂直平分线上．

【解析】连接CM，利用线段垂直平分线的性质可得∠ADM=90°，AD=DC，AM=CM，从而可得DM//CB，进而可得AM=BM，然后在Rt△ACB中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得CM=BM，即可解答．

本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24.【答案】解：(1)设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是(x+20)元，

根据题意得：10(x+20)+10x=1760，

解得：x=78，

∴x+20=78+20=98，

答：甲种型号的单价是98元，乙种型号的单价是78元；

(2)设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”(50−a)个，

根据题意得：98a+78(50−a)≤4500，

解得：a≤30，

∴a最大值是30，

答：最多可购买甲种型号的“冰墩墩”30个．

【解析】(1)根据题意，设乙种型号的单价是x元，则甲种型号的单价是(x+20)元，根据“购买甲、乙两种型号各10个共需1760元”的等量关系列出一元一次方程，解出方程即可得出答案；

(2)根据题意，设购买甲种型号的“冰墩墩”a个，则购买乙种型号的“冰墩墩”(50−a)个，根据“计划用不超过4500元”列出不等式，即可得出答案．

本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和数量关系是本题的关键．25.【答案】(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠CBD=∠EBD，

∵DE/​/BC，

∴∠CBD=∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB．

(2)解：CD=ED，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵DE/​/BC，

∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE，

又AB=AC，

∴CD=BE，

由(1)得，∠EBD=∠EDB，

∴BE=DE，

∴CD=ED．

【解析】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；

(2)利用平行线的性质可得∠ADE=∠AED，则AD=AE，从而有CD=BE，由(1)得，∠EBD=∠EDB，可知BE=DE，等量代换即可．

本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，