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构造三角形求15。角的三角函数值朱育光宁夏固原市原州区四中（756000）我们知道特殊角,,的三角函数值.也是一个比较特殊的角，那么它的三角函数值是多少，又怎样去求，本文以求正弦函数值为例来说明。求解的基本思想是，从含有特殊角的直角三角形中作出含角的直角三角形,或在含角的三角形中作出含特殊角的直角三角形，再恰当地设出一条边的长，一种方法是，设法把角的直角三角形的斜边用设出的未知数和表示,再通过图形的本身特征，建立含的等式，解出即可。另一种方法是，用设出的未知数表示出角的对边和斜边，再用正弦函数定义求出。解法一如图1，在△ABC中，∠B=，,.在AB上取一点D，使BD＝BC，连结CD，过D作DE⊥AC于E，则.设BC＝BD＝a，则AC＝2a，AB＝，CD＝,.∵S△ADC=S△ABC-S△BCD.∴AC·DE＝AB·BC－BC·BD.∴2·＝·－·.∴.如图2，在△ABC中，∠B=，AB＝BC,.在∠BAC中作∠BAD＝，交BC于D，再过D作DE⊥AC于E，则∠DAC=.设AB＝BC＝a，用同样的方法可求出.解法二如图3，在△ABC中，AB=AC,∠ABC＝∠ACB=.过C作BA的垂线,交BA的延长线于D，再作AE⊥BC于E,则.设AB＝AC＝a，则CD＝AC＝a，AD＝，AE＝ACsin=a.∴BD＝AB＋AD＝（1＋）a.BC＝＝a＝.∵S△ABC＝AE·BC＝AB·DC.即asin·＝a·a.∴.说明上面解法中，在设出末知数后，利用特殊三角形的边和角之间的关系及勾股定理，表示出有用的边后，由三角形面积关系建立各数量之间的联系，由此求出结果。解法三如图4，在△ABC中，∠C=，.作∠BAC的平分线AD交BC于D,则.设BC＝a，DC＝x,则BD＝a-x,AB＝2a，.AD平分∠BAC，有，即.∴.由勾股定理有.∴＝.解法四构造Rt△ABC，如图5，在△ABC中，∠B=,∠C=.在BC上取一点D，使BD＝AB，过D作DE⊥AC于E，则.设AB＝a，则，，.再设，，由△ABC∽△CDE知，即.∴，＝.中.即.化简有.由于DC＞CE＞0，解得.∴解法五如图6，在△ABC中，∠ABC=,∠ACB=.延长AB到D，使BD＝AB，连结DC，作AE⊥DC于E.则AC＝DC，∠ACE=.设AC＝DC＝a，则AB=asin,AD=2asin,AE=a.由勾股定理有DE==a.∵△ABC∽△ADE，∴.即.化简整理成.∴.即说明上面解法是在表示出有用的边后，由

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