自学考试专题：线性代数复习材料

02198线性代数一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质（7条），克莱姆法则；2、矩阵——运算（包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆）；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换（包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等）；行等价标准形（行阶梯形、行简化阶梯形）及标准形；矩阵的秩；分块矩阵3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、 线性方程组求解：i）齐次的Ax=0，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系（不唯一）一格式化的求基础解系的步骤；ii）非齐次的Ax=b，讨论有解的条件（唯一解、无穷多解），解的性质和结构一格式化的解题步骤2、 向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、 特征值特征向量：i）特征值、特征向量一一格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii）矩阵对角化：矩阵可对角化的条件;特征向量的性质；相似矩阵iii）实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质（特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交）一一格式化的对角化步骤4、 二次型：i）二次型与对称矩阵的关系ii） 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵（与等价、相似的关系）iii） 二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv）正定二次型与正定矩阵：如何判别？一一四个等价的条件（正定；正惯性指数为n；存在P使PTP=A；所有特征值大于零）第一章行列式关键字：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理克莱默法则、1.行列式定义及相关概念：（这是行列式的递推法定义）由n2个数叩，j=…，n）组成的n阶行列式aa -…aa -…a11121nD=aa -…a特别当n=1时21■■■22■■■2n■■■是一个算式，aa -…an1n2nn定义D=1a1=a1111当n>2时,M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后按照原顺序D=aA+aA+•••+aA=aA苴中A=(—M1j是D中去掉第1行第j列全部元素后按照原顺序1111 1212 inin 1j1j 1j 1jj=1拍成的n-1阶行列式，称为元素幕的余子式，A1j为元素纪的代数余子式。D中a门，a22<-*，a所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元。另一条对角线称为副对角线11 22 nnn阶行列式的性质a） 行列式的行与列（按原顺序）互换，其值不变；b） 行列式对任一行按下式展开，其值相等，即D=化A.1+a2A2+•••+aA=工a.A.，其中A=（―1）i+jM..，M.•是D中i1i1 i2i2 inin ijij ij ij ijj=1去掉第i行第j列全部元素后按照原顺序排成的n一1阶行列式，称为元素a.的余子式，A.为元素a.的代数余子式；ij ij ijc） 线性性质——加法和数乘；推论：某行元素全为零的行列式其值为0d） 行列式中两行对应元素全相等，其值为0；推论：行列式中两行对应成比例，其值为0e） 在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变；

f） 行列式的两行互换，行列式的值反号g） 行列式的某一行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和为0。3．计算行列式，利用行列式的性质。（需要记住范德蒙行列式和反对称行列式的值）计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵（习惯上化成上三角阵），或按零元素最多的行或列按定义展开等等二、定理（克莱默法则）设线性非齐次方程组”j=二、定理（克莱默法则）设线性非齐次方程组”j=bi（i=12…，n），其系数行列式：D=j=1a11a21a12a22aIna2n主0，这方程组an1an2annD有唯一解Xj=万（j=12…,n）。其中D•是用常数项仆冬…,bn替换D中第j列所成的行列式。推论：若齐次线性方程组£ax=0（i=12…,n）的系数行列式D丰0，则方程组只有零解,x.=0（j=12…,n）j丿 丿j=1第二章矩阵一、矩阵相关概念：数域F中mxn个数a(i=1,2,•…，m;nij=】，2，…，n）排成m行n列，并扩以圆括弧（或方括弧）的数表aa …a11121naa …a称为数域F上的21■■■22■■■2n■■■，mXn矩阵，通常用大写字母记做aa …an1n2nn」A或A,<!或A =(a)(i=1,2，…,m;j=1,2，…,n)，其中a.称为矩阵A的第i行第j列元素。F=R时为实矩阵，F=Cmxn ijmxn ij时为复矩阵；mXn个元素全为0的矩阵称为零矩阵；m=n时称A为方阵（或为n阶方阵）；线性方程组的未知元系数排成的矩阵A，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为（A，b）。【注】矩阵与行列式的区别：行列式D是一个算式，是一个值；矩阵A是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称为矩阵的行列式，记为1A1或det（A）。若1A|=0，称A为奇异矩阵；若1A圧0，称A为非奇异矩阵。二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初等行和列变换1、1）如果两个矩阵A=（a.）和B=（b）的行数和列数分别相等，且对应元素也相等，即a.=b（i=…，m;b=12…，n），就j j jj称A和B相等，记做A=B2） 加法：设A=（a.）和B=（b.）eFmXn，规定A+B=（a.+b），并称A+B为A和B之和。ij ij ijij【注】i）两个矩阵可相加的条件是行数和列数均相同（同型矩阵），且结果行数和列数也相同；ii）矩阵加法满足以下运算律：交换率、结合律、存在零矩阵、存在负矩阵（由此定义减法）3） 数乘：设k是数域F中任意的一个数，A=（a.）&FmXn，规定kA=（ka.）ij ij【注】i）矩阵数乘指k乘A的每一个元素a.按原来的次序排成的矩阵，区别于行列式kD，若A是n阶方阵，则1kA|=kn1A1；ii）ij矩阵数乘满足以下运算律：1A=A；（kl）A=k（lA）;（k+1）A=kA+lA;k（A+B）=kA+kB4） 乘法：设A是一个mXn矩阵，B是一个nXs矩阵，则A和B的乘积AB（记作C=（cij））是一个mXs矩阵，且c.=a1b1.+ab.+…+ab.=£ab，即C=AB的第1行第j列元素c.是A第1行n个元素与B第j列n个元素分别相iji11j 122j innj ikkJ jk=1

乘的乘积之和［注］a）矩阵乘法满足：（AB）C=A（BC）；k（AB）=（kA）B=A（kB）;A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA；b）有了矩阵乘法，线性方程组可以写为：Ax=bb）若AB=0，能否推知A=0或B=0?逆否命题是什么？左零因子、右零因子C）当A丰0时，由AB=AC能否有B=C?当1A圧0时，由AB=AC能否有B=C？d）如果A=2（B+E），证明：A2=A当且仅当B2=ETOC\o"1-5"\h\z5）特殊矩阵（方阵A=（a.））：主对角元全为1,其余元素均为零时称为n阶单位矩阵，记作1或1或E；主对角元全为非零常数k，ijnxn n其余元素全为零时称为n阶数量矩阵，记作kI或kI或kE；非主对角元皆为零时称为n阶对角矩阵，记作人=diag（a「a2<-*，a）；n 1 2 n当i>j，a=0（j二1,2,•…，n-1）时称为上三角矩阵，当i<j，a=0（j二2,3,•…，n）时称为下三角矩阵jij相关结论：a）1A=A1=A；mmxn mxnn mxnb） 对角阵a=diag（a,a，…，a）左乘A等于a（i二1,2,…，n）乘以A中第i行的每一个元素，右乘A等于a（i二1,2,…，n）乘\o"CurrentDocument"1 2 n i i以A中第i列的每一个元素；c） 两个上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；d） 设A、B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B行列式的乘积，即1AB曰A11B12、 1）矩阵的转置：把一个mxn的矩阵A行和列互换得到一个nxm的矩阵，称之为A的转置矩阵，记做AT或A'=（aT），其nxm jinxm中aT=a。转置满足如下运算：（AT）T=A；（A+B）t=at+Bt；（kA）T=kAT;（AB）T=BTATjiij2） 设矩阵A=（a.），若a.=a..（i，j=】,…，n），则称A为对称矩阵；若a.=-a..（i,j二】,…,n），则称A为反对称矩阵。jnxn j ji j ji3） A为对称矩阵的充要条件是AT=A；A为反对称矩阵的充要条件是AT=—A3、 可逆矩阵：矩阵可逆的条件是什么？可逆矩阵怎么求？（伴随矩阵，初等行变换）1）逆矩阵：对于矩阵AEFnxn，如果存在矩阵BEFnxn使得AB=BA=1，就称A为可逆矩阵（简称A可逆），并称B是A的逆矩阵，记作A-1=B。同样对于存在的B，其也可逆，且A是B的逆矩阵；A和B互为逆矩阵。2） 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的3） 伴随矩阵：设n阶矩阵A=（a.） ，A.是行列式detA中元素a.的代数余子式，称CofA=（A.）为A的代数余子式矩阵，并ijnxn ij ij ijnxn称CofA的转置矩阵为A的伴随矩阵，记作adjA或A*，即A*=（cofA）T4）（利用伴随矩阵求逆矩阵）矩阵4）（利用伴随矩阵求逆矩阵）矩阵A可逆的充分必要条件是A丰0，且A-11rAiA*5)可逆矩阵满足运算率：a)(A-1)-1 -A；b) (kA)-1 =k-1A-1(k丰0)；c) (AB)-1 -B-1A-1 ；d) (AT)-1 = (a-1)t;e)det(A-1)=1/detA，即IA-11=1A1-1b)设A是nxn矩阵，证明：存在非零矩阵B使AB=0的必要条件是1A|=°(充分也成立)C）设方阵A满足A2+2A-31=0，证明：i）A和A+21都可逆，求出它们的逆；ii）A+31和A-1不同时可逆;d）设A和B都是n矩阵，下列命题是否成立？若成立则证明，不成立，举出反例⑴若A，B皆不可逆，则A+B也不可逆；（ii）若AB可逆，则A，B都可逆；（iii）若AB不可逆，则A，B都不可逆；（iv）若A可逆，则kA可逆（k是数）4、矩阵的初等变换和初等矩阵1） 初等行变换：以非零常数c乘矩阵的某一行一一倍乘变换；将矩阵的某一行乘以常数c加到另一行一一倍加变换；将矩阵的某两行对换位置——对换变换。类似的有初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。2） 初等变换矩阵：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。a）初等倍乘矩阵E（c）二diag（l,…丄c丄…,1），E（c）是由单位阵第i行（或列）乘c（c丰°）得到i i1Ej（c）是由单位矩阵第iEj（c）是由单位矩阵第i行乘c加到第j行得到的，第j列乘c加到c1第i列得到的；c）初等对换矩阵E是由单位矩阵第i，j行（或列）对换而得到的ij3）结论：a）初等矩阵左乘矩阵A，相当于做相应的行变换；右乘矩阵B，相当于做列变换b） 初等矩阵是可逆阵，且有E（1/c）E（c）二1；E（-c）E（c）二I；EE二Ii i ij ij ijijc） 可逆矩阵可以经过若干次初等行变化化为单位矩阵，可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积；如果对可逆矩阵A和同阶的单位阵1做同样的初等变换，当A变为单位阵时1变为A-1，即（A」）初等行变换＞（1,A-1）第三章线性方程组一、n维向量及其线性相关性1、1）n元（维）向量：数域F上n个数a,《，…，a构成的有序数组，记做Q二（耳，《，•••，a）or（a2，…，a）T，分别称为行向1 2 n 1 2 n 1 2 n量和列向量，其中a称为J的第i个分量，全体n元向量的集合记为Fni2） 向量的运算：两向量相等当且仅当对应元素全相等；和为对应元素相加；数乘为各元素都乘上数k。【注】n维行、列向量事实上可以看做F上1xn和nX1矩阵，适用矩阵的运算和运算性质；矩阵的行、列可分别看成对应维数的行、列向量3） 向量空间：F上全体n维向量集合，在其上定义了加法和数乘，称为F上的n维向量空间，仍记Fn，当为实数域R时为n维实向量空间记为Rn2、1)线性组合：设a&Fn，k&F(i=1,2，…,m)，则向量另ka=ka+ka+…+ka称为向量组a,a，…,a在数域TOC\o"1-5"\h\zi i ii 11 2 2i=1F上的一个线性组合。如果记卩二区ka，就说卩可由巴，a2,…,a线性表示ii 1 2 mi=12）线性相关：如果对m个向量H，a2，…,a&Fn，有m个不全为零的数k,k2，…，kuF，使kiai+ +•••+ka=°成\o"CurrentDocument"1 2 m 1 2 m 11 2 2 mmn

立，则称a・・・,a线性相关；否则，称为线性无关。1 2 m3）充要条件：向量组ai,a2,•…,a（m>2）线性相关的充要条件是H，a2,•…,a中至少有一个向量可由其余的m-1个向量线性表1 2 m 1 2 m示。【注】i）逆否命题：向量组a1,a2,•…,a（m>2）线性无关的充要条件是aa•…,a中任一个向量都不能由其余的m—1个向量线1 2 m 1 2 m性表示ii）n维单位（基本）向量：n维向量耳，，•…，8称为n维单位向量;任一个n维向量a=（a，•…，a）都可表示为向量组耳,，•…，8的1 2 n 1 n 1 2 n一个线性组合a=a巴+a82十…。8,其中8=（°,・「°,i,°,•••,°）（1在第i个位置，其余位置均为°）。11 22 nn i4）向量相关与方程组的关系：设a4）向量相关与方程组的关系：设a.=（a「，《.，•••，i 1i21a)tnieFn(i二1,2,…,m)，则aaa …ax11121m1aa …axAx=°有非零解，其中A二（巴勺，…,a）二21222m，x二21 2 man1a •…n2a_nm_x_miii）零向量是任一向量组的线性组合，所以任一含零向量的向量组总是线性相关线性相关的充要条件是齐次方程组m【注】i）逆否命题：a严2,…巴线性无关的充要条件是Ax=°只有零解；ii）如果n<m，由高斯消元法知线性方程组必有自由未知量，即必有非零解；任何n+1个n维向量都是线性相关的；Rn中，任何一组线性无关的向量最多只能含n个向量TOC\o"1-5"\h\z5）向量组扩充的相关性质：i）如果向量组a「aa中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；整个向量组线性无关，则1 2 m部分向量组也线性无关ii）若向量组ara2<--,a线性无关，而卩,ara2<--,a线性相关，则卩可由ara2<--,a线性表示，且表示法唯一；特别的，1 2 m 1 2 m 1 2 m若Fn中的n个向量匕，.，•••,a线性无关，则Fn中的任一向量a可由巴，a2，…,a线性表示，且表示法唯一1 2 n 1 2 niii）如果一个n维向量组巴，冬，…,a线性无关，那么把这些向量各任意添加1个分量得到新的向量（n+1维）组a1*，冬*，…,a*也1 2 m 1 2 m是线性无关的；如果a「aa是线性相关的，则去掉相同位置的若干个分量所得到的新的向量组也是线性相关的。【齐次方程组的1 2 m零解、非零解】二、向量组的秩及其极大线性无关组1、 秩：如果向量组巴，a2，…,a中存在r个线性无关的向量，且其中任一个向量都可由这r个向量线性表示，则数r称为向量组的秩，1 2 m记做秩0,a…，a}=r1 2 m【注】i）如果a「a2，…,a线性无关，则秩{匕，a2，…,a}=m；ii）秩为r的向量组中，任意丫+1个向量是线性相关的；iii）秩的1 2 m 1 2 m等价定义：若向量组中存在r个线性无关的向量，且任何r+1向量都线性相关，则称数r为向量组的秩2、 等价：如果向量组片，卩2,…，P中每个向量可由向量组a「a2，…,a线性表示，就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示。1 2 1 1 2 m如果两个向量组可相互线性表示，则称这两个向量组是等价的3、 如果向量组卩「卩2,…，P可由向量组巴，.，•••，a线性表示，且1>m，则卩「卩2,…，P线性相关。1 2 1 1 2 m 1 2 1

【注】如果向量组卩「卩2'…，3可由向量组a1,汽‘…,a线性表示，且卩「卩2'…，P线性无关，则1<m1 2 1 1 2 m 1 2 14、极大线性无关组：秩为r的向量组中，任一个线性无关的部分组最多只能含有r个线性无关的向量；将只含有r个线性无关向量的向量组，称为极大线性无关组。一般情况下，极大线性无关组不唯一。【注】设秩0,a…,a}=p，秩{卩「仪'…，卩}=q，如果片，仪'…，卩可由aa…,a线性表示，则q<p；特别的1 2 m 1 2 1 1 2 1 1 2 m等价的向量组，秩相等。二、矩阵的秩、等价(相抵)标准形1、 矩阵的秩：对于矩阵A，把它的每一行(列)称为A的一个行(列)向量，把A的行(列)向量组的秩称为其行(列)秩；mxn的矩阵A的行秩<m;列秩<n；2、 初等变换与矩阵的秩：a)如果对矩阵A做初等行变换将其化为B，则B的行秩等于A的行秩；对矩阵A做初等行变换化为B，则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性，即：A=(a,a，…,a)初等行变换>(g,g，…・,g)=B，则列向量组a,a，…，a与g,g，…,g(1<i<i<・・<i<n)12 n 12 n Li2 ir Li2 ir 1 2 「有相同的线性相关性初等变换不改变矩阵的行秩和列秩；矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵A的秩，记做秩(A)或丫(A)丫(A)=n的n阶矩阵也称为满秩矩阵；n阶矩阵A满秩的充要条件是A为非奇异矩阵(即1A圧0)；【矩阵可逆的充要条件是A为满秩矩阵】3、 加法、乘法运算与矩阵的秩：a)丫(A+B)<丫(A)+丫(B)；r(AB)<min{r(A),r(B)}(I)设A是mxn矩阵，P,Q分别是m阶、n阶可逆矩阵，则丫(A)=丫(PA)=丫(AQ)=丫(PAQ)4、子式及其与秩的关系：a)矩阵A=(a.) 的任意k个行('・‘•••，〈行)和任意k个列(j…，j列)的交点上的k2个元素按照jmxn 1 2 k 1 2 k原顺序排成的k阶行列式称为A的k阶子行列式，简称A的k阶子式；当k阶子式等于零(不等于零)时，称为k阶零子式(非零子式)；当\=jI= …,\=j时，称为A的k阶主子式1 12 2 kkb)r(A)=r的充要条件是A的非零子式最高阶数为r5、 矩阵的等价：a)若矩阵A经过初等变换化为B(或：存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B)，就称A和B等价，记作A=Bb)矩阵等价的性质：i)反身性、对称性、传递性；ii)若A为mxn矩阵，且丫(A)=丫，则一定存在可逆矩阵P(m阶)和Q(n阶)，使得PAQ=rQPAQ=rQ〔00、0丿mxn=U，其中1为r阶单位矩阵，右端的矩阵称为等价标准形【秩相同的同型矩阵等价，且全都等价于同一标准形】r三、线性方程组Ax=b1、齐次线性方程组(有非零解的条件和解的结构)：Ax=0，A为mxn矩阵a)将A的列看成向量即A=(a1，a2,…,an)，因此AX=0等价于节1+X2a2+…+Xnan=0，于是=0有非零解的充要条件是匕巴，…巴线性相关，即厂(A)<n；特别的，若A为方阵，1A〔=0b)解的性质：若珥，X2是齐次方程组AX=0的两个解向量，则X=k1X1+k2X2也是它的解c)(i)基础解系：设叫，x2‘…，x是Ax=0的解向量，如果叫，x2‘…，x线性无关，Ax=0的任一个解都能由叫，x2‘…，x线性表示,1 2 p 1 2 p 1 2 p

则称x15xj…，x是Ax=0的一个基础解系1 2 p(ii)解的存在与表示：设A是mxn矩阵，若厂(A)二丫<n，则齐次方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系含n-丫个解向量；若记基础解系的n―r个解向量为叫，◎，•••，x，则Ax=0的一般解为x=k1x1+k2x2+•••+kx，其中…,k为任意12 n-r 11 22 n-rn-r 12 n-r实数(iii)矩阵的乘法与秩的关系II：设A,B分别是mxn和nxs矩阵，且AB=0，则丫(A)+丫(B)<n；特别的，r(ATA)=r(A)2、非齐次线性方程组(有解的条件和解的结构)：Ax=b，A为mxn矩阵a)将A的列看成向量即A=(a严…O)，因此Ax=b等价于x1a1+x2.+…+xa=b，于是Ax=b有解的充要条件是1 2 n 11 2 2 nnb可由a ,a，…,a线性表示，即r(a 5a，…,a 5b) =r(a5a，…,a)即r((A,b))二r(A)【增广矩阵的秩等于系数矩阵的1 2 n 1 2 n 1 2 n秩】特别的，r((A，b))二r(A)二A的列数时，AX=b有唯一解。b)解的性质(结构)：(i)若X]，X2是AX=b的解向量，则X=X]-X2是对应的齐次方程组AX=0的解向量(ii)若AX=b有解，则一般解为X=X0+X，其中X0是AX=b的一个特解(某一个解)，X是AX=0的一般解x=kx+kx+ +kx,r=r(A)11 22 n-rn-r第四章向量空间与线性变换一、什么是向量空间(前面已介绍：集合+线性运算)？如何刻画？1、Rn的基与向量关于基的坐标：设有序向量组B=｛冲，仪，…，P｝URn5如果B线性无关，则Rn中任一向量a均可由B线性表1 2 n示，即a=aP+a卩2+•••+a卩，就称B是Rn的一组基(或基底)，有序数组(a15化，…5a)是向量a关于基B(在基B下)的坐11 2 2 nn 1 2 n标，记做aB=(a15a2<-5an)或aB=(a15行…5an)T，并称之为a的坐标向量；特别的“个单位向量组成的基称为自然基或标准基2、不同的基之间有什么关系？过渡矩阵，坐标变换公式a）设B1a）设B1={a15aj…•,a}n是Rn的一组基,且'aa…a11121ndetA丰05其中A=aa…a21■■■22■■■2n■■■iaa…a‘Jn1n1丿nn耳=aa+aa+•••+aa1 11 1 21 2 n1 n耳=aa+aa+•••+aaJ2 12 1 22 2 n2 n耳=aa+aa+•••+aa'n 1n1 2n2 nnn则WWY线性无关的充要条件是b)将a)中｛耳5耳，…,耳｝与｛a5a，…,a｝的关系写成矩阵形式有(H 5耳，…,耳)=(a 5a，…,a)A，若B= ｛耳5耳，…,耳｝TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n 2 12 n与B=｛aa…,a｝均为Rn的基，则称A为旧基B到新基B2的过渡矩阵(或称A是基B1到基BJ勺变换矩阵)。事实上，根据a),1 12 n 1 2 1 2A的第j列是耳•在旧基B1下的坐标j1C)向量在不同基下的坐标关系：设向量a在两组基B1=｛a15a2<-*5a｝和B2=｛n15H2<--5H｝下的坐标分量分别为1 1 2 n 2 12 n

x=（x,x，…•，x"和y=（y，y，…•，y）t。基B到基B的过渡矩阵为A,则Ay二x或y=A-1x1 2 n 1 2 n 1 2二、欧式空间、标准正交基和正交矩阵1、什么是欧式空间？向量空间（向量集合+线性运算）+长度、角度度量（内积运算）内积：设a=（a,a，…，a）T和卩=（b,b，…，b）T&Rn，规定d与卩的内积为：1 2 n 1 2 n（d,卩）=ab+ab+•—Fab11 22 nn°a）当d，卩均为列向量，看成矩阵有（d，卩）=dTP=PTd；若均为行向量类似。b）性质：交换性（d，卩）=（卩，d）；线性（加法、数乘）；非负性（d，d），0，等号成立当且仅当d=0c）向量的长度||d||=\：'（d，d）；向量内积满足|（d，卩）|^1^IIPlI,称为柯西-施瓦茨不等式d）向量dd）向量d，卩之间的夹角定义为<d，卩>=arccos—dP非零向量d,卩正交（垂直）的充要条件是（d,卩）=02、特殊的基：标准正交基a）Rn中两两正交且不含零向量的向量组（称为非零正交向量组）d1,dj…,d是线性无关的1 2 sb）设d,d，b）设d,d，…,deRn1 2 n若（d,d）=10,ri,j=1,2,..ij|0,心j,•,n则称d1,d2,…,d是Rn的一组标准正交基，如单位向量组,1 2 n或d1=（cos0,sin0）,d2=（sin0,-cos0）gR2等等c）非正交基如何化成标准正交基：施密特正交化方法。将Rn一组线性无关向量d,,d2,・・・,d化为标准正交向量组步骤：i）正交化:1 2 mPP （d,卩）P （d,卩）P（.、2）p=d；p=d- p jP-1、p （j之2）/j（卩,卩）1（卩，卩）j-11 1 j1j1①单位化：耳7=侖叮j=1,2,…,m），叫弋，…叫为一标准正交向量组（当m=n时为基）j3、正交矩阵及其性质：a）设AgRnxn，如果ATA=1，就称A为正交矩阵；（以后二次型用）b） A为n阶正交矩阵的充要条件是A的列向量组为一组标准正交基；c） 设A,B皆是n阶正交矩阵，则有i）detA=1或-1；ii）A-1=AT；iii）A-1,AT也是正交阵；iv）AB也是正交阵d）若列向量x,ygRn在n阶正交矩阵A作用下变换为Ax,AygRn则向量的内积、长度、夹角均不变，即（Ax,Ay）=（x,y）;llAx11=11xII;<Ax,Ay>=<x,y>第五章特征值与特征向量矩阵对角化一、什么是矩阵的特征值和特征向量？怎么求（步骤）？有什么性质？1、 设A为复数域C上的n阶矩阵，如果存在数九gC和非零的n维向量t使得AE=九7，就称九是矩阵A的一个特征值，，是A属于（或对应于）特征值九的一个特征向量2、 如何求？根据定义特征值就是使得（九E-A）t=0有非零解的九值，即满足det（九E-A）=0的九是特征值；因此步骤为i）求

det(EA)0的根］,…，“可能有重根）；ii求每个特征根•所对应方程组i（iE A） 0的非零解（基础解系），即为特征值•所对应的特征向量。iaa •…a11121n、 aa •…a事实上，称f()det(EA) .21■■22■■■2n为矩阵A的特征多项式；EA为特征矩阵；aa •…an1n2nndet（EA）0为特征方程3、特征值和特征向量的性质a）若J2都是A的属于特征值0的特征向量，则£k (k•k12212任意，但k11k22 0）也是A的属于0的特征向量^设口阶矩阵A （aij的口个特征值为J『.…，n，则i) .n 1naiitrA）（A的迹）；i1i1ii）detAii1c） 若是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则i）k是kA的特征值；i）“是人“的特征根；ii当A可逆时，1是A1的特征根；且仍是对应的特征向量d） 矩阵A和At的特征值相同，即det（EA）det（EAt）121例9：设A2 4 2 ,求A的特征值和特征向量，并求可逆矩阵P使P1AP为对角矩阵121结论：一般的，求可逆矩阵P使卩1AP为对角矩阵的步骤为i）求A的特征值和特征向量；，取TOC\o"1-5"\h\z1ii将A. ..（ih…，n）（包括重根，如果存在的话）排成矩阵的形式AJ,昇…，n） 昇…，），取iii 12 n 12 nnP（/昇…，）即可1 2 n二、相似矩阵及其性质（什么是相似矩阵？比较前面学的等价矩阵）1、对于矩阵A和B,若存在可逆矩阵P,使P1APB,就称A相似于B,记作A~B2、 矩阵的相似关系也是一种等价关系，满足反身性、对称性、传递性3、 关于乘积的：i）P 1A1A2P p 1A1pp 1A2p ；订若A~B，则Am~Bm （m为正整数）;axn

n1Bn11 •…aBaE10ii若axn

n1Bn11 •…aBaE10f(A)aAnaAn1 …aAaE,f(B)n n1 1 04、相似矩阵的特征值相同，但是逆命题不成立例10：设A，B为同阶方阵，i）如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相同；ii） 举一个二阶方阵的例子说明i）的逆命题不成立；（过渡到后面的矩阵可对角化条件）iii） 当A，B均为实对称矩阵时，试证i）的逆命题成立（后话）第五章特征值与特征向量矩阵对角化第六章二次型1、 相似标准形：若A与对角阵人相似，则人的主对角元都是A的特征值，若不计九的顺序，则人是唯一的，称人为A的相似标准形i2、 矩阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的；因此若A有n个互不相同的特征值，则A与对角阵相似3、 矩阵A的属于不同特征值的线性无关特征向量组成的向量组仍是线性无关的4、 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数四、实对称矩阵、二次型、合同阵1、 实对称矩阵的特征值和特征向量：实对称矩阵A的任一个特征值都是实数，且对应于不同特征值的特征向量是正交的2、 对于任一个n阶实对称矩阵A,存在n阶正交矩阵Q使得Q1AQ=diag｛九，九，…，九｝TOC\o"1-5"\h\z1 2 n【如何寻找正交矩阵Q使得Q1AQ=diag｛〜，九2，…，九｝】格式化的步骤如下：1 2 n第一步：求特征值。由特征方程1九1—A1二叩（九一九）ri二0得到全部互异特征值〜，九2,•…，九；i 1 2 mi=1第二步：求特征向量并正交化。由w-A）x二0求出每个厂重特征值九所对应的厂个特征向量勺，£，•••，勺并用施密特正交化方2 2 2 2 I '2 ri法得到厂个单位化正交向量q,q,・・・,q;由于不同特征值所对应的特征向量正交，因此得到u,q