高中数学§3.5《对数与对数函数》知识点讲解附真题课件

§3.5对数与对数函数高考数学§3.5对数与对数函数高考数学考点对数与对数函数1.对数的概念(1)对数的定义如果ax=N(a>0且a≠1),那么指数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a

叫做对数的底数,N叫做真数.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN考点清单考点对数与对数函数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>02a.

=①

N

(a>0且a≠1,N>0);b.logaaN=②

N

(a>0且a≠1).(2)对数的重要公式a.换底公式:logbN=

(a,b均大于零且不等于1,N>0);b.logab=

,推广:logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于零且不等于1,d大于零);c.lo

Mn=

logaM(a>0且a≠1,m,n∈R,m≠0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么a.loga(MN)=③

logaM+logaN

;b.loga

=logaM-logaN;2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质a. =①

N

(a>0且a≠1,N>0);2.3c.logaMn=④

nlogaM

(n∈R).3.对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

性质定义域:(0,+∞)

值域:R

过点(1,0),即x=1时,y=0

当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0

是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数c.logaMn=④

nlogaM

(n∈R).44.反函数指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它

们的图象关于直线y=x对称.其图象关系如图所示.

4.反函数5考法一对数式大小的比较方法知能拓展例1(1)已知a=

,b=lo

,c=log3

,则

()A.b>c>a

B.a>b>c

C.c>b>a

D.b>a>c(2)设

<a<1,m=loga(a+1),n=loga(1-a),p=loga

,则m,n,p的大小关系是

(

)A.n>m>p

B.m>p>nC.p>n>m

D.n>p>m考法一对数式大小的比较方法知能拓展例1(1)已知a= ,6解析(1)∵a=

,b=lo

,c=log3

,∴0<a=

<20=1,b=lo

>lo

=1,c=log3

<log31=0.∴b>a>c.故选D.(2)因为

<a<1,所以a+1-

=

=

>0,

-(1-a)=

=

>0,所以a+1>

>1-a,又

<a<1,所以loga(a+1)<loga

<loga(1-a),即m<p<n.故选D.答案(1)D(2)D解析(1)∵a= ,b=lo  ,c=log3 ,∴0<a7方法总结对数式大小的比较方法

方法总结对数式大小的比较方法8考法二对数函数的图象与性质的应用例2(1)若函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象

大致是

()(2)已知a>0,且a≠1,函数f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函数,则a的取值范围

是

()A.

≤a≤

或a>1

B.a>1C.

≤a<

D.

≤a≤

或a>1(3)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实

数a的取值范围为

.考法二对数函数的图象与性质的应用例2(1)若函数y=a|9解题导引

(1)

(2)(3)解析(1)因为函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},所以a>1,故y=loga|x|

为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故函数y=loga|x|的大致图象如选项B所示.

故选B.(2)令y=g(x)=|ax2-x|,由题意知g(x)≠0,作出其图象如下:函数f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上是增函数,解题导引解析(1)因为函数y=a|x|(a>0,且a≠110若a>1,则y=logax在(0,+∞)上单调递增,0<

<1,由g(x)的图象可知g(x)在[3,4)上递增,故f(x)=loga|ax2-x|在[3,4)上单调递增,故a>1时成立;若0<a<1,则

解得

≤a≤

.综上可知,a的取值范围是

≤a≤

或a>1.(3)当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由于f(x)>1在[1,2]上恒成立,

所以f(x)min=loga(8-2a)>1,故8-2a>a,即1<a<

;当0<a<1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是增函数,由于f(x)>1在[1,2]上恒成立,

所以f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0,所以a>4,且a<4,故这样的a不存在.综上可知,实数a的取值范围是

.答案(1)B(2)A(3)

若a>1,则y=logax在(0,+∞)上单调递增,0< <11方法总结1.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题,在

求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.2.研究复合函数y=loga

f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函数

u=f(x)及y=logau的单调性(最值)确定函数y=loga

f(x)的单调性(最值)(其中a>

0,且a≠1).方法总结1.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问12如何学好高中数学1、培养良好的学习兴趣。兴趣是最好的老师。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢?(1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。(2)听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。(3)思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。(4)听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的?(5)把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、直角坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。如何学好高中数学1、培养良好的学习兴趣。132、建立良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。良好的学习数学习惯还包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。2、建立良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯，会使自143、有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。3、有意识培养自己的各方面能力。数学能力包括：逻辑推理能力、154、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。解数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考：选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西。4、及时了解、掌握常用的数学思想和方法。学好高中数学，需要我165、逐步形成“以我为主”的学习模式。数学不是靠老师教会的，而是在老师的引导下，靠自己主动的思维活动去获取的。学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神;正确对待学习中的困难和挫折，败不馁，胜不骄，养成积极进取，不屈不挠，耐挫折的优良心理品质;在学习过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一题多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质。