七年级数学上册专题3.2 解一元一次方程（知识解读）（解析版）

/专题3.2解一元一次方程（知识解读）【直击考点】【学习目标】1.会通过去分母解一元一次方程；2.归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程中化归和程序化的思想方法；3.体会建立方程模型解决问题的一般过程；4.体会方程思想，增强应用意识和应用能力．【知识点梳理】考点1解一元一次方程解一元一次方程的步骤：去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项注意：特别是去掉括号，符合变化3.移项（1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；（2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边．4.合并同类项（1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．5.系数化为1（1）定义：方程两边同除以未知数的系数a，得；（2）注意：分子、分母不能颠倒【典例分析】【考点1解一元一次方程】【典例1】解方程（1）（1）3x＝16﹣1，（2）3（x﹣2）＝x﹣（8﹣3x）．【解答】解：（1）3x＝16﹣1，3x＝15，x＝5；（2）去括号，可得：3x﹣6＝x﹣8+3x，移项，可得：3x﹣x﹣3x＝﹣8+6，合并同类项，可得：﹣x＝﹣2，系数化为1，可得：x＝2．【变式1-1】（2022春•南关区期末）方程4x＝3x﹣4的解是（）A．x＝﹣4 B．x＝4 C．x＝﹣1 D．x＝1【答案】A【解答】解：方程4x＝3x﹣4，移项得：4x﹣3x＝﹣4，合并得：x＝﹣4．故选：A．【变式1-2】（2022春•东坡区期末）解方程：5（﹣x+4）＝2（5x+3）﹣1．【解答】解：去括号，可得：﹣5x+20＝10x+6﹣1，移项，可得：﹣5x﹣10x＝6﹣1﹣20，合并同类项，可得：﹣15x＝﹣15，系数化为1，可得：x＝1．【变式1-3】（2021秋•南关区校级期末）解下列方程：（1）10x+9＝12x﹣1；（2）x﹣3（x﹣2）＝4；（3）5（x﹣1）＝8x﹣2（x+1）；（4）4x+3（2x﹣3）＝12﹣（x﹣4）；【解答】解：（1）10x+9＝12x﹣1，移项，得10x﹣12x＝﹣1﹣9，合并同类项，得﹣2x＝﹣10，系数化为1，得x＝5；（2）x﹣3（x﹣2）＝4，去分母，得x﹣6（x﹣2）＝8，去括号，得x﹣6x+12＝8，移项，得x﹣6x＝8﹣12，合并同类项，得﹣5x＝4，系数化为1，得x＝﹣；（3）5（x﹣1）＝8x﹣2（x+1），去括号，得5x﹣5＝8x﹣2x﹣2，移项，得5x﹣8x+2x＝5﹣2，合并同类项，得﹣x＝3，系数化为1，得x＝﹣3；（4）去括号得：4x+6x﹣9＝12﹣x+4，移项得：4x+6x+x＝12+4+9，合并得：11x＝25，系数化为1得：x＝；【典例2】（2022•昭化区模拟）解方程：．【解答】解：去分母，得：3（3x﹣1）﹣24＝8（5x﹣7），去括号，得：9x﹣3﹣24＝40x﹣56，移项，得：9x﹣40x＝﹣56+3+24，合并同类项，得：﹣31x＝﹣29，系数化为1，得：x＝．【变式2-1】（2022春•交城县校级期末）解方程，以下去分母正确的是（）A．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 B．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1 C．3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6 D．3（x+1）﹣2x+3＝6【答案】C【解答】解：，去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．故选：C．【变式2-2】（2022•藤县一模）解一元一次方程：．【解答】解：，3（x+1）﹣6＝2（x﹣3），3x+3﹣6＝2x﹣6，3x﹣2x＝6﹣3﹣6，x＝﹣3．【变式2-3】（2022春•眉山期中）解方程：．【解答】解：去分母，可得：3（x﹣2）﹣2（2x﹣1）＝6，去括号，可得：3x﹣6﹣4x+2＝6，移项，可得：3x﹣4x＝6+6﹣2，合并同类项，可得：﹣x＝10，系数化为1，可得：x＝﹣10．【典例3】（2022春•郸城县校级月考）解下列方程：＝x．【解答】原方程可化为﹣＝x，去分母得：3（3x﹣5）﹣2（12﹣5x）＝6x，去括号得：9x﹣15﹣24+10x＝6x，移项得：9x+10x﹣6x＝15+24，合并同类项得：13x＝39，系数化为1得：x＝3．【变式3-1】解方程：﹣＝3．【解答】方程整理得：﹣＝3，即5x﹣10﹣2x﹣2＝3，移项得：5x﹣2x＝3+10+2，合并得：3x＝15，系数化为1得：x＝5．【变式3-2】（2021秋•邹平市校级期末）解方程（1）x﹣＝+1；（2）＝1；【解答】解：（1）去分母，可得：15x﹣3（x﹣2）＝5（2x﹣5）+15，去括号，可得：15x﹣3x+6＝10x﹣25+15，移项，可得：15x﹣3x﹣10x＝﹣25+15﹣6，合并同类项，可得：2x＝﹣16，系数化为1，可得：x＝﹣8．（2）原方程可化为：﹣＝1，去分母，可得：30x﹣7（17﹣20x）＝21，去括号，可得：30x﹣119+140x＝21，移项，可得：30x+140x＝21+119，合并同类项，可得：170x＝140，系数化为1，可得：x＝．【典例4】（2022春•封丘县月考）已知代数式与代数式．（1）当x为何值时，这两个代数式的值相等？（2）当x为何值时，代数式的值比代数式的值大2？（3）是否存在x，使得这两个代数式的值互为相反数？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由，【解答】解：（1），去分母得：3x＝4（2﹣x），去括号得：3x＝8﹣4x，移项得：3x+4x＝8，系数化为1得：．（2），去分母得：3x﹣4（2﹣x）＝24，去括号得：3x﹣8+4x＝24，移项得：3x+4x＝24+8，合并同类项得：7x＝32，系数化为1得：．（3），去分母得：3x+4（2﹣x）＝0，去括号得：3x+8﹣4x＝0，移项得：3x﹣4x＝﹣8，合并同类项得：﹣x＝﹣8，系数化为1得：x＝8．故存在x使这两个代数式的值互为相反数，此时x＝8．【变式4-1】（2022春•蒸湘区校级月考）当x为何值时，代数比代数式多2？【解答】解：由题意得：﹣＝2，2（x﹣1）﹣（3x﹣4）＝8，2x﹣2﹣3x+4＝8，﹣x＝6，x＝﹣6．【变式4-2】（2021秋•武功县期末）若4（x﹣1）与﹣2（x﹣3）互为相反数，求x的值．【解答】解：∵4（x﹣1）与﹣2（x﹣3）互为相反数，∴4（x﹣1）+[﹣2（x﹣3）]＝0，去括号，可得：4x﹣4﹣2x+6＝0，移项，可得：4x﹣2x＝4﹣6，合并同类项，可得：2x＝﹣2，系数化为1，可得：x＝﹣1．【变式4-3】（2021秋•莱州市期末）当x为何值时，代数式与的差的值等于3？【解答】解：根据题意，得﹣＝3，﹣＝3，5x﹣10﹣2x﹣2＝3，5x﹣2x＝3+2+10，3x＝15，x＝5，所以当x＝5时，代数式与的差的值等于3．【考点2解一元一次方程-新定义运算】【典例5】（2021秋•义乌市期末）定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕5＝2×1﹣3×5＝﹣13．（1）求（﹣2）⊕3的值；（2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝2，求x的值．【解答】解：（1）∵a⊕b＝2a﹣3b，∴（﹣2）⊕3＝﹣2×2﹣3×3＝﹣4﹣9＝﹣13；（2）∵a⊕b＝2a﹣3b，∴（3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝2，∴2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝2，解得x＝3．【变式5-1】（2021秋•依安县期末）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：a※b＝a﹣2b，例如，3※2＝3﹣2×2＝﹣1．根据新运算法则，解答下列问题：（1）求（﹣2）※5的值；（2）若2※（x+1）＝10，求x的值．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：（﹣2）※5＝﹣2﹣2×5＝﹣2﹣10＝﹣12；（2）根据题中的新定义得：2﹣2（x+1）＝10，2﹣2x﹣2＝10，﹣2x＝10﹣2+2，﹣2x＝10，x＝﹣5．【变式5-2】（2020秋•饶平县校级期末）若规定这样一种新运算法则：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21．（1）求2*（﹣3）的值；（2）若（﹣4）*x＝﹣2﹣x，求x的值．【解答】解：（1）2*（﹣3）＝22﹣2×2×（﹣3）＝4+12＝16；（2）∵（﹣4）*x＝﹣2﹣x，∴16+8x＝﹣2﹣x，8x+x＝﹣2﹣16，9x＝﹣18，x＝﹣2．【变式5-3】（2022春•朝阳区期中）定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．（1）计算5※6值为．（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．（3）有理数的加法和乘法