沪科版七年级数学下册-第八章-8.3完全平方公式与平方差公式-完全平方公式-典型例题讲义

8.3完全平方公式与平方差公式——完全平方公式典型例题讲义例1利用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）．例2计算：（1）；（2）；（3）．例3用完全平方公式计算：（1）；（2）；（3）．例4运用乘法公式计算：（1）；（2）；（3）．例5计算：（1）；（2）；（3）．例6利用完全平方公式进行计算：（1）；（2）；（3）．例7已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）．例8若，求证：．

参考答案例1分析：这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进行计算．解：（1）；（2）；（3）．说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现的错误．例2分析：（2）题可看成，也可看成；（3）题可看成，也可以看成，变形后都符合完全平方公式．解：（1）（2）原式或原式（3）原式或原式 说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用．例3分析：第（1）小题，直接运用完全平方公式为公式中a，为公式中b，利用差的平方计算；第（2）小题应把化为再利用和的平方计算；第（3）小题，可把任意两项看作公式中a，如把作为公式中的a，作为公式中的b，再两次运用完全平方公式计算．解：（1）=（2）=（3）=说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误：，．例4分析：第（1）小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完全平方式计算．第（2）小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项，和互为相反数的项b，所以先利用平方差公式计算与的积，再利用完全平方公式计算；第三小题先需要利用幂的性质把原式化为，再利用乘法公式计算．解：（1）原式=（2）原式==（3）原式==．说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幂的性质，以达到简化运算的目的．例5分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式，我们继续应用公式．解：（1）；（2）；（3）．说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个整体来研究．例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成两个数的和或差．解：（1）；（2）．（3）＝说明：在利用完全平方公式，进行数的平方的简算时，应注意拆成的两个数必须是便于计算的两个数，这才能达到简算的目的．例7分析：（1）由完全平方公式，可知，可求得；（2）；（3）．解：（1）（2）（3）说明：该题是是灵活运用，变形为，再进行代换．例8分析：由已知条件展开，若能得出就可得到进而同时此题还用到公式．证明：由得则∵∴即得．课后提升1．计算．（1）（5x﹣2y）2+20xy；（2）（x﹣3）2（x+3）2；（3）（3x﹣5）2﹣（2x+7）2；（4）（x+y+1）（x+y﹣1）2．计算．（1）89.82；（2）472﹣94×27+272．3．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，求xy与x2+y2的值．4．南湖公园有一正方形草坪，需要修整成一长方形草坪，在修整时一边长加长了4m，另一边长减少了4m，这时得到的长方形草坪的面积比原来正方形草坪的边长减少2m后的正方形面积相等，求原正方形草坪的面积是多少．5．多项式4x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是_________．（填上正确的一个即可，不必考虑所有可能的情况）6．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．参考答案1．解：（1）（5x﹣2y）2+20xy=25x2﹣20xy+4y2+20xy=25x2+4y2；（2）（x﹣3）2（x+3）2=（x2﹣9）2=x4﹣18x2+81；（3）（3x﹣5）2﹣（2x+7）2=9x2﹣30x+25﹣（4x2+28x+49）=9x2﹣30x+25﹣4x2﹣28x﹣49=5x2﹣58x﹣24；（4）（x+y+1）（x+y﹣1）=[（x+y）+1][（x+y）﹣1]=（x+y）2﹣1=x2+2xy+y2﹣1．2．解：（1）（89.8）2=（90﹣0.2）2=902﹣2×0.2×90+0.22=8064.04；（2）472﹣94×27+272=472﹣2×47×27+272=（47﹣27）2=202=400．3．解：∵（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，∴x2+2xy+y2=25①，x2﹣2xy+y2=9②，①﹣②得，4xy=16，解得xy=4，①+②得，2（x2+y2）=34，解得x2+y2=17．故答案为：4，17．4．解：设原正方形草坪的边长为xm，则（x+4）（x﹣4）=（x﹣2）2，x2﹣16=x2﹣4x+4，解得：x=5，故原正方形的面积为：x2=52=25（m2）．5．解：∵4x2±4x+1=（2x±1）2，∴加上的单项式可以是±4x．故答案为：